[Abaqus] 비선형 문제의 해결

구조물의 비선형 하중-변위 곡선은 다음 그림과 같다. 해석 목적은 이 응답을 찾는 것이다.

그림. 비선형 하중-변위 곡선

 

다음 그림 (a)와 (b)와 같이 하나의 물체에 작용하는 외력 $ P $와 내력(절점력) $ I $을 고려한다. 절점에 작용하는 내부 하중은 절점이 속하는 요소의 응력으로 발생한다.

그림. 물체에 대한 내부 하중과 외부 하중

 

이 물체가 정적 평형 상태가 되려면 각 절점에서 작용하는 순 힘이 모두 ‘0’이어야 한다. 따라서 정적 평형의 기본 조건은 내력 $ I $와 외력 $ P $가 서로 균형을 이루어야 한다.

 

Abaqus/Standard는 뉴턴-랩슨(Newton-Raphson)법을 사용하여 비선형 문제를 해결한다. 일반적으로 비선형 해석에서 선형 문제와 달리 해는 연립 방정식을 한 번 풀어서 계산할 수 없다. 대신 해법은 지정된 하중을 단계적으로 제공하고, 최종 결과를 향해 증분으로 계산하여 결정한다. 따라서 Abaqus/Standard는 해석을 여러 하중 증분으로 나누고, 각 하중 증분이 끝날 때 근사 평형 상태를 찾는다. 대부분 주어진 하중 증분에 만족스러운 해가 필요할 때까지 Abaqus/Standard의 반복이 여러 번 수행된다. 이런 모든 증분 응답의 합은 비선형 해석의 근사해이다. 따라서 Abaqus/Standard는 증분 방법과 반복 방법을 결합하여 비선형 문제를 해결한다.

 

Abaqus/Explicit는 동적 평형 방정식($ P - I = M \ddot{u}$)의 해를 반복 계산하지 않고 운동학적 상태를 이전 증분의 끝에서 외연적으로 진행하여 찾는다. 문제를 외연적으로 풀면 접선 강성 행렬을 만들 필요가 없다. 외연적 중앙 차분법은 증분이 시작할 때 $ t $에서 동적 평형 방정식을 만족시킨다. 시간 $ t $에서 계산된 가속도를 사용하여 속도의 해를 ($ (t+ \Delta t/2) $) 시간으로 진행하고, 변위의 해를 ( $ t+ \Delta $ ) 시간으로 진행한다. 선형과 비선형 문제 모두에서 외연적 방법은 모델의 최대 고유 진동수만 의존하며, 하중 종류와 지속 기간과 독립적인 작은 시간 증분 크기가 필요하다. 일반적인 해석은 많은 증분이 필요하다. 그러나 전체 연립 방정식이 각 증분으로 풀리는 것은 아니므로 외연적 방법의 증분 당 계산량은 내연적 방법의 계산량보다 훨씬 적다. 외연적 해법은 시간 증분이 작아서 Abaqus/Explicit는 비선형 해석에 매우 적합하다.

1) 단계, 증분, 반복

이 절은 해석의 다양한 부분을 표현하는 새로운 용어를 소개한다. 해석 단계, 하중 증분, 반복 사이의 차이를 명확하게 이해하는 것이 중요하다.

 

해석의 하중 이력은 하나 이상의 단계(Step)로 구성한다. 이 단계는 사용자가 정의한다. 일반적으로 각 단계는 해석 절차 옵션, 하중 옵션, 출력 요청 옵션으로 구성한다. 하중, 경계 조건, 해석 절차 옵션, 출력 요청은 단계별로 다른 것을 사용할 수 있다. 예를 들어, 1단계는 단단한 조임으로 판을 끼운다. 2단계는 하중을 작용하여 판을 변형시킨다. 3단계는 변형 후 판의 고유 진동수를 찾는다.

 

증분은 단계 일부이다. 비선형 해석에서 비선형 해의 경로를 따라갈 수 있도록 단계에서 주어진 총 하중은 여러 개의 더 작은 증분으로 나눈다. Abaqus/Standard에서 첫 번째 증분의 크기는 사용자가 지정하고, 후속 증분의 크기는 Abaqus/Standard가 자동으로 선택한다. Abaqus/Explicit에서는 기본 시간 증분이 완벽히 자동으로 수행되므로 사용자 지정이 필요하지 않다. 외연적 방법은 조건부 안정이므로 시간 증분에 대해 안정 한계가 존재한다. 각 증분이 끝나면 구조물은 근사 균형 상태가 되고 결과는 ODB 파일, 재시작 파일, 데이터 파일과 결과 파일로 내보낼 수 있다. ODB 파일에 결과를 내보내기로 선택한 증분을 프레임이라고 한다. Abaqus/Explicit의 시간 증분은 매우 작아서 시간 증분과 관련된 사항은 Abaqus/Standard와 Abaqus/Explicit에서 크게 다르다.

 

반복(Iteration)은 내연법으로 해를 찾을 때 증분 안에서 해를 찾는 한 번의 시도이다. 반복이 끝나면 모델이 평형이 맞지 않으면 Abaqus/Standard가 새로운 반복을 수행한다. 반복할 때마다 Abaqus/Standard가 요구하는 해는 평형 상태에 접근한다. 때에 따라 평형 잡힌 해를 얻으려면 많은 반복이 필요할 수 있다. 평형 해가 얻어지면 증분이 완료된다. 결과는 증분이 끝날 때만 요청할 수 있다. Abaqus/Explicit는 증분 해를 얻기 위해 반복할 필요가 없다.

 

2) Abaqus/Standard의 균형 반복과 수렴

작은 하중 증분 $ \Delta P$에 대한 구조물의 비선형 응답은 그림과 같다. Abaqus/Standard는 $ u_0 $과 $ \Delta P$ 에서 구성을 바탕으로 구조물의 초기 강성 $ K_0$을 사용하여 구조물의 변위 수정량 $ c_a $을 계산한다. $ u_a $ 를 사용하여 구조물의 구성을 업데이트한다.

그림. 증가의 첫 번째 반복

 

Abaqus/Standard는 업데이트된 배치 $ u_a $ 를 바탕으로 구조물의 새로운 강성 $ K_a $ 을 만든다. Abaqus/Standard는 업데이트 후 배치에서 $ I_a $ 를 계산한다. 그다음 주어진 총 하중 $ P $와 $ I_a $ 의 차이를 다음과 같이 계산한다.
$$ R_a = P - I_a $$
여기서는 $ R_a $는 반복에서 발생한 잔류 힘이다.

$ R_a $가 모델의 모든 자유도에서 ‘0’이면, 위 그림의 점 $ a $는 하중-처짐 곡선에 존재하고 구조물은 평형을 이룬다. 비선형 문제에서 $ R_a $가 ‘0’을 거의 허용하지 않으므로 Abaqus/Standard는 이 값을 수렴 허용값과 비교한다. $ R_a $ 가 이 잔류 힘의 허용 오차보다 작으면 Abaqus/Standard는 구조의 업데이트 후 배치를 평형 해로 받아들인다. 기본적으로 이 수렴 허용값은 구조의 평균 힘(시간으로 평균화)의 0.5%로 설정한다. Abaqus/Standard는 해석의 전체 동안 이 시간과 공간에 대해 평균 힘을 자동으로 계산한다.

 

$ R_a $ 가 현재 허용 오차보다 작으면 $P$는 평형 상태이고 $ u_a $는 주어진 하중 조건에서 구조물의 유효한 평형 배치이다. 그러나 Abaqus/Standard는 해석 결과를 수락하기 전에 변위 수정량 $ c_a $는 전체 변위 증분 $ \Delta u_a = u_a - u_0 $과 비교하여 작은 값인지 확인한다. 전체 변위 증분의 1%보다 큰 경우 Abaqus/Standard는 새로운 반복을 수행한다. 두 수렴 검사가 모두 만족하지 않는 한 해는 하중 증분에서 수렴한 것으로 간주하지 않는다. 이 규칙의 예외는 선형 증분의 경우이다. 이 증분은 최대 잔류 힘이 시간 평균 힘의 10^-8배 미만이면 증분으로 정의한다. 이런 시간 평균의 힘과 최대 잔류 힘의 비교로 엄격한 조건을 충족시키는 문제라면 선형으로 간주하며 반복을 더 이상 수행할 필요가 없다. 이 해는 변위 보정량의 크기를 확인하지 않고 허용한다.

 

특정 반복에서 해가 수렴하지 않으면 Abaqus/Standard는 새로운 반복을 수행하여 내력과 외력의 평형을 맞추려고 시도한다. 이 두 번째 반복은 $ R_a $ 를 가진 이전 반복의 마지막에 계산된 강성( $ K_a $ )과 함께 사용되어 구조를 평형 상태에 가깝게 하는 새로운 변위 보정량($ c_b $)을 찾는다.

그림. 두 번째 반복

 

Abaqus/Standard는 구조물의 새로운 배치($ u_b $)에서 내력을 사용하여 새로운 잔류 힘($ R_b $)을 계산한다. 다시 말하지만, 모든 자유도에서 가장 큰 잔류 힘($ R_b $)은 잔류 힘의 허용 오차와 비교되고, 두 번째 반복의 변위 수정($ c_b $)은 변위 증분($ \Delta u_b = u_b - u_0 $)과 비교된다. 필요한 경우 Abaqus/Standard는 반복을 추가로 수행한다.

 

비선형 해석의 각 반복에서 Abaqus/Standard는 모델의 강성 행렬을 작성하고, 연립 방정식의 해를 찾는다. 이것은 각 반복이 완전한 선형 해석을 한 번 수행하는 것과 계산량이 같다는 것을 의미한다. 따라서 Abaqus/Standard에서 비선형 해석 계산량이 선형 해석 계산량의 몇 배 이상이 될 수 있다.

 

Abaqus/Standard를 사용하면 각 수렴 증분에 관한 결과를 저장할 수 있다. 따라서 비선형 해석에서 얻은 출력 데이터의 양은 같은 모양의 선형 해석에서 얻은 출력 데이터의 수 배가 된다. 필요한 컴퓨터 자원을 계획할 때 이 두 요소와 수행할 비선형 해석의 종류를 고려한다.

 

3) Abaqus/Standard에서 자동 증분 제어

Abaqus/Standard는 비선형 문제를 쉽고 효율적으로 해결할 수 있도록 하중 증분의 크기를 자동으로 조정한다. 사용자는 해석 각 단계의 첫 번째 증분의 크기를 지정하면 된다. 그다음 Abaqus/Standard는 증분의 크기를 자동으로 조정한다. 첫 번째 증분의 크기를 지정하지 않으면 Abaqus/Standard는 해당 단계에 정의된 모든 하중을 첫 번째 증분에 적용하려고 시도한다. 비선형성이 강한 문제에서 Abaqus/Standard는 증분의 크기를 반복적으로 줄여야 하므로 CPU 시간을 낭비한다. 일반적으로 합리적인 초기 증분의 크기를 지정하는 것은 사용자에게 유리하다. 비선형성이 매우 약한 문제에서 한 단계의 모든 하중을 단일 증분으로 적용할 수 있다.

 

특정 하중 증분에 대한 수렴 해를 찾는 데 필요한 반복 수는 구조의 비선형 정도에 따라 다르다. 기본적으로 해가 발산하는 것처럼 보이면 Abaqus/Standard는 증분을 버리고 증분 크기를 이전 값의 25%로 설정하여 다시 계산한다. 그다음 작은 하중 증분을 사용하여 수렴 해를 얻으려고 시도한다. 그래도 증분이 수렴하지 않으면 Abaqus/Standard는 증분의 크기를 다시 줄인다. 기본적으로 Abaqus/Standard는 해석을 중지하기 전에 단일 증분 내에서 최대 5번 되돌린다.

 

Abaqus/Standard는 단계에서 사용할 수 있는 최대 증분 수를 지정할 수 있다. Abaqus/Standard는 단계를 완료하기 위해 이 제한보다 많은 수의 증분이 필요할 때 오류 메시지를 출력하고 해석을 중단한다. 단계의 기본 증분 수는 100이다. 해석에 상당한 비선형성이 존재하면 해석은 더 많은 증분이 필요하다. Abaqus/Standard가 항상 사용하는 증분 수가 아닌 사용 가능한 증분 수의 상한을 지정한다.

 

비선형 해석에서 단계는 ‘시간’의 유한 기간을 나타낸다. 이 ‘시간’은 관성 효과나 속도 의존의 거동이 없으면 물리적 의미를 갖지 않는다. Abaqus/Standard는 초기 시간 증분($ \Delta T_{initial} $)과 전체 스텝 시간($ T_{initial} $)을 지정한다. 스텝 시간에 초기 시간 증분의 비율은 첫 번째 증가에 적용되는 하중의 비율을 결정한다. 초기 하중 증분은 다음과 같다. $$ {{ \Delta T_{initial} } \over {T_{total}}} \times Load magnitude $$초기 시간 증분의 선택은 Abaqus/Standard의 일부 비선형 해석에서 중요하지만, 대부분 해석은 전체 단계 시간의 5%에서 10%의 초기 시간 증분으로 충분하다. 예를 들어 정역학 해석에서 속도 의존 재료의 효과 또는 대시 포트가 모델에 포함되어 있지 않으면 전체 단계 시간은 편의상 1.0으로 설정한다. 전체 스텝 시간이 1.0이면 주어진 하중의 비율은 항상 현재 스텝 시간과 같다. 즉, 전체 하중의 50%는 스텝 시간이 0.5일 때 주어진다.

 

Abaqus/Standard는 초기 시간 증분을 지정해야 하지만 후속 시간 증분의 크기는 Abaqus/Standard가 자동으로 제어한다. 이 시간 증분 크기의 자동 제어는 Abaqus/Standard에서 실행되는 대부분 비선형 해석에 적합하다. 그러나 시간 증분의 크기를 더 자세히 제어할 수도 있다. Abaqus/Standard는 수렴 문제로 생긴 과도한 컷백으로 시간 증분의 크기가 하한값보다 작으면 해석을 중단한다. 기본 최소 허용 시간 증분($ \Delta T_{min} $)은 전체 스텝 시간의 10^-5배이다. 기본적으로 Abaqus/Standard는 전체 스텝 시간 이외의 시간 증분의 상한선 $ \Delta T_{max} $을 갖지 않는다. 수행할 Abaqus/Standard 해석에 따라 다른 최소 허용 증분 또는 최대 허용 증분을 지정해야 할 수 있다. 예를 들어, 주어진 하중 증분이 너무 커서 모델이 소성 변형을 일으키고 해석에서 해를 얻기가 어려워지는 것을 알고 있다면 $ \Delta T_{max} $를 줄일 필요가 있다.

 

증분이 5회 이내의 반복으로 수렴하면 해는 상당히 쉽게 구할 수 있다. 따라서 수렴 해가 5회 이하의 반복에서 얻은 두 개의 증분이 지속되면 Abaqus/Standard는 증분 크기를 자동으로 50% 증가시킨다.