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그림에 표시된 플레이트를 만든다. 이 플레이트는 글로벌 1축에 30° 기울어지고, 한쪽 끝은 완벽히 고정되고, 반대쪽 끝은 플레이트의 축에 평행한 레일 위를 이동하도록 제한된다. 이 플레이트가 균일한 압력을 받았을 때 스팬 중앙의 처짐을 찾는다. 또한 이 문제에서 선형 해석이 유효한지 Abaqus/Standard를 사용하여 해석하고 평가한다.

1) 전처리

모델을 만들기 전에 단위계를 결정해야 한다. 치수는 cm 단위로 주어졌지만, 하중과 재료 특성은 MPa와 GPa 단위이다. 이 단위는 일관성이 없으므로 모델에서 사용할 일관된 단위계를 선택하고, 필요한 입력 데이터를 변환해야 한다. 다음 설명에서 뉴턴, 미터, 킬로그램, 초를 사용한다.

Abaqus/CAE를 시작하고, 평면 Shell의 기본 기능으로 3차원 변형체를 만든다. 파트에 Plate라고 이름을 입력하고, 파트의 근사 크기는 4.0을 입력한다. 파트 형상을 만드는 권장 방법은 다음과 같다. 플레이트의 형상을 스케치하려면 다음과 같이 설정한다.

1. Sketcher에서 Create Lines: Rectangle(4 Lines) 도구를 사용하여 임의 크기의 직사각형을 만든다.

2. Sketcher가 자동으로 만든 4개의 수직 구속조건과 하나의 수평 구속조건을 삭제한다.

3. 왼쪽과 오른쪽 가장자리가 수직 방향을 유지하도록 구속하고, 아래쪽과 위쪽 가장자리가 평행이 되도록 구속한다.

4. 왼쪽 가장자리를 선택하여 가장자리에 치수를 만들고 0.4m를 입력한다.

5. 하단 가장자리에 치수를 입력한다. 가장자리의 직선 부분이 아닌 양쪽 끝의 꼭짓점을 선택하여 수평 치수를 정의한다. 꼭짓점 사이의 수평 거리를 1.0m를 입력한다.

⊙ 직선 자체에 치수를 만들면 직선 길이만 제어하고, 방향은 무관하다.

6. 왼쪽과 아래쪽 가장자리 사이의 각도에 치수를 정의한다. 왼쪽과 아래쪽 가장자리를 계속 선택하고 각도에 60°를 입력한다. 최종 스케치는 다음 그림과 같다.

7. 프롬프트에서 Done을 클릭하여 Sketcher를 종료한다.

이 플레이트는 영률 E=30×10⁹Pa, 푸아송의 비 0.3의 등방성 선형 탄성 재료로 구성한다. 재료 정의를 작성하고, 재료 이름을 Metal이라고 한다.

글로벌 좌표계에서 이 구조의 방향은 모델 그림과 같다. 글로벌 직교 좌표계는 기본 재료 방향을 정의한다. 그러나 이 판은 이 좌표계에서 기울어져 있다. 재료 1방향의 직접 응력($\sigma_{11}$)은 플레이트의 휨으로 생긴 축 응력과 플레이트 축을 가로지르는 응력 모두의 영향을 받기 때문에 기본 재료 방향을 사용하면 해석 결과를 분석하기가 쉽지 않다. 재료 방향이 플레이트의 축과 가로 방향으로 정렬하면, 결과의 해석은 간단해진다.

따라서 로컬 $x'$ 방향이 플레이트의 축을 따라 위치하고(글로벌 1축에 대해 30° 방향) 로컬 $y'$ 방향이 플레이트의 평면에 위치하는 로컬 직교 좌표계가 필요하다. 다음 절차에 따라 로컬(기본값이 아닌) 재료 좌표계에서 Shell 요소 특성을 정의한다.

Shell 요소 특성과 로컬 재료 방향을 정의하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 균질 Shell 요소 특성 Plate_Section을 정의한다. 이 재료는 선형 탄성이므로 해석을 시작하기 전에 단면 적분을 수행하도록 지정한다. 또한 이상화 옵션의 기본값인 No idealization을 그대로 사용한다. 0.8E-2의 Shell 두께와 Metal 재료 정의를 요소 특성에 지정한다.

2. 다음 그림과 같이 Create Datum CSYS: 2 Lines 도구를 사용하여 직교 데이텀 좌표계를 정의한다.

3. 특성 모듈의 메뉴에서 Assign → Material Orientation을 선택하고, 로컬 재료 방향을 적용할 영역으로 파트 전체를 선택한다. 뷰포트에서 이전에 작성한 데이텀 좌표계를 선택한다. 선 방향으로 Axis 3을 선택한다. 이 축 주위에 추가 회전이 필요하지 않다.

⊙ 로컬 재료 방향이 올바르게 지정되었는지 확인하려면, 메뉴에서 Tools → Query를 선택하고, 재료 방향에 특성 쿼리를 실행한다. 선택한 영역의 재료 방향을 나타내는 좌표축이 뷰포트에 표시된다.

파트 요소망 분할과 요소 생성이 완료되면 모든 요소 변수는 이 로컬 좌표계에 정의된다.

4. 요소 특성의 정의를 플레이트에 지정한다. Shell 오프셋을 정의하려면 Middle surface를 그대로 사용한다.

플레이트의 dependent Instance를 만든다. 이 플레이트를 스팬 중앙에서 절반으로 나눈다. 그러면 그 위치에 세트를 정의할 수 있다. 또한 다른 출력 요청과 경계 조건을 정의하는 데 사용되는 추가 어셈블리 세트 모음을 정의한다. 플레이트를 분할하고 형상 세트를 정의하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 모델 트리에서 Parts 컨테이너의 Plate 항목을 두 번 클릭하여 파트를 현재로 설정한다.

2. Partition Face: Use Shortest Path Between 2 Points 도구를 사용하여 플레이트를 반으로 나눈다. 플레이트의 대각선 가장자리 중간 점을 사용하여, 다음 그림에 표시된 파티션을 만든다.

3. 모델 트리에서 Assembly 컨테이너를 확장하고 Sets 항목을 두 번 클릭하여 스팬 가운데 형상 세트 Mid_Span을 만든다. 마찬가지로 판의 왼쪽과 오른쪽 가장자리 세트를 만들고 각각 이름을 End_A과 End_B로 지정한다. 이 세트의 위치는 위 그림과 같다.

⊙ 형상 세트는 모델 트리의 Assembly 컨테이너 아래에 있는 Sets 항목을 확장한 다음 표시된 목록에서 세트 이름을 두 번 클릭하여 확인할 수 있다. 선택한 세트는 뷰포트에서 강조 표시되며 필요할 때 수정할 수 있다.

그다음 하나의 정적 일반 단계를 만든다. 단계에 Apply Pressure라는 이름을 입력하고, 단계 설명에 Uniform pressure(20kPa) load를 지정한다. 단계의 모든 기본 설정을 그대로 사용한다.

필드 데이터로 필요한 출력은 절점 변위, 반력, 요소 응력이다. 이 데이터는 Visualization 모듈에서 변형 표시, 등고선 표시, 표 형식 보고서를 만드는 데 사용된다. 또한 Visualization 모듈에서 X-Y 선도를 표시하려면 스팬 중앙 변위를 이력 데이터로 내보내야 한다. 기본 출력 요청을 변경하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 전체 모델의 절점 변위, 반력, 요소 응력, 요소 변형만 필드 데이터로 ODB 파일에 기록되도록 필드 출력 요청을 편집한다.

2. Mid_Span 세트의 수직 방향 절점 변위 U3만 이력 데이터로 ODB 파일에 기록되도록 이력 출력 요청을 편집한다.

플레이트의 왼쪽 끝은 완벽히 고정한다. 오른쪽 끝은 플레이트의 축에 평행한 레일 위로 움직이도록 제한한다. 후자의 경계 조건 방향은 글로벌 축과 일치하지 않으므로 플레이트에 맞는 축을 갖는 로컬 좌표계를 정의해야 한다. 이전에 생성된 데이텀 좌표계를 사용하여 이 로컬 재료 방향을 정의할 수 있다.

경계 조건을 로컬 좌표계로 지정하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 모델 트리에서 BCs 컨테이너를 두 번 클릭하고, 변위/회전의 기계적 경계 조건 Rail boundary condition을 Apply Pressure 단계에 정의한다.

이 예제는 경계 조건을 뷰포트에서 직접 선택한 영역이 아닌 세트에 지정한다. 따라서 경계 조건의 적용 영역이 요청되면 뷰포트의 프롬프트에서 Sets를 클릭한다.

2. Region Selection 대화 상자가 나타나면, 세트 End_B를 선택한다. Highlight selections in viewport를 선택하여 올바른 세트가 선택되었는지 확인한다. 플레이트의 오른쪽 가장자리가 강조 표시된다. Continue를 클릭한다.

3. Edit Boundary Condition 대화 상자에서 화살표를 클릭하여 경계 조건이 적용되는 로컬 좌표계를 지정한다. 이 뷰포트에서 이전에 만든 데이텀 좌표계를 선택하고, 로컬 방향을 정의한다. 로컬 1방향은 플레이트의 축과 평행하다.

4. Edit Boundary Condition 대화 상자에서 U1을 제외한 모든 자유도를 고정한다.

이제 플레이트의 오른쪽 가장자리가 플레이트의 축 방향으로만 움직이도록 구속한다. 플레이트의 요소망 분할과 절점이 생성되면 출력량(변위, 속도, 반력 등)은 이 로컬 좌표계로 정의한다.

판의 왼쪽 가장자리(세트 End_A)의 모든 자유도를 고정하여 경계 조건을 정의한다. 이 경계 조건의 이름은 Fix left end이다. 이 경계 조건은 기본 글로벌 방향을 사용한다.

마지막으로 Shell의 상단에 분포하는 균일한 압력 하중을 정의하고, Pressure를 입력한다. 파트의 두 영역을 [Shift]+클릭으로 선택하고 Done을 클릭한다. Shell 표면 또는 내부 면에 대한 면을 선택하라는 메시지가 나타나면 Brown을 선택한다. 이것은 플레이트의 상단 측면에 해당한다. 필요에 따라 플레이트의 상단 측면을 더 명확하게 구별할 수 있도록 뷰를 회전한다. 2.E4Pa의 하중을 입력한다.

다음 그림은 이 해석의 권장 요소망이다. 요소 종류를 선택하기 전에 이 플레이트가 얇거나 두꺼운지 왜곡이 작거나 큰지에 관한 질문에 대답해야 한다. 이 플레이트는 매우 얇고 최소 스팬에 대한 두께의 비율은 0.02이다. (두께는 0.8cm, 최소 범위는 40cm이다) 이 구조의 왜곡 크기를 예측하는 것은 쉽지 않지만, 왜곡은 미세한 것으로 간주한다. 이 정보를 기반으로 2차 Shell 요소(S8R5)를 선택한다. 이 요소는 미세 변형 해석에서 얇은 Shell에 정밀한 결과를 제공한다.

모델 트리에서 Parts 컨테이너 아래에 있는 Plate 항목을 확장한 다음 표시된 목록에서 Mesh를 두 번 클릭한다. 전체 요소 크기가 0.1인 Seed를 파트에 적용한다. 5개의 자유도를 갖는 2차 저감 적분 Shell 요소(S8R5)를 사용하여 4각형 요소망을 만든다.

계속하기 전에 이 모델의 이름을 Linear로 변경한다. 이 모델은 ‘비선형성’에서 설명하는 대각선 플레이트 예제에서 모델의 기초로 사용한다. 작업 Skew_Plate를 만들고 다음 설명‘Linear Elastic Skew Plate. 20 kPa Load’을 입력한다.

모델 데이터베이스 파일 Skew_Plate.cae에 저장한다.

2) 해석

해석 작업을 제출하고 진행 상황을 관찰한다. 해석 제품이 모델링 오류를 감지하면 수정하고, 경고 메시지가 있으면 원인을 조사한다.

3) 후처리

이 절은 Abaqus/CAE로 후처리를 진행한다. Shell 해석 결과를 시각화하는 데는 등고선 표시와 기호 표시가 모두 유용하다. Module 목록에서 Visualization 모듈을 시작한다. 그다음 작업으로 생성된 ODB 파일(SkewPlate.odb)을 연다. 기본적으로 모델의 원형이 표시된다. 원형 표시를 사용하여 모델의 정의를 확인한다. 대각선 플레이트 모델의 요소 법선 방향이 올바르게 정의되고 양의 3방향을 향하는지 확인한다. 요소의 법선 방향을 보려면 다음과 같이 설정한다.

1. 메뉴에서 Options → Common을 선택하면 Common Plot Options 대화 상자가 나타난다.

2. Normals 탭을 클릭한다.

3. Show normals를 켜고 기본 설정인 On elements를 그대로 사용한다.

4. OK를 클릭하여 설정을 적용하고 대화 상자를 닫는다.

디폴트의 뷰는 등각 투상도이다. 이 뷰는 뷰 메뉴의 옵션 또는 View Manipulation 툴바의 뷰 도구를 사용해 변경할 수 있다. 뷰를 변경하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 메뉴에서 View → Specify를 선택한다. Specify View 대화 상자가 나타난다.

2. 사용할 수 있는 방법 목록에서 Viewpoint를 선택한다.

3. 관점 벡터의 X-, Y-, Z- 좌표에 -0.2, -1, 0.8을, 위쪽 벡터의 좌표에 0, 0, 1을 입력한다.

4. OK를 클릭한다. 그림과 같이 지정된 보기에서 모델이 표시된다.

기호 표시는 지정된 변수를 절점 또는 요소의 적분점에서 시작하는 벡터로 표시한다. 대부분의 텐서 값과 벡터값의 변수에 기호를 표시할 수 있다. 예외는 주로 기계적이 아닌 출력 변수와 절점에 저장된 요소 결과이다. 화살표의 상대 크기는 결과의 상대 크기를 나타내며, 벡터의 방향은 결과의 글로벌 방향이다. 기호 표시 범례는 화살표 색상과 값의 범위를 나타낸다. 변위(U), 반력(RF)과 같은 변수의 합성 값 결과를 표시할 수 있다. 또한 이런 변수의 개별 구성 요소를 표시할 수 있다. 계속하기 전에 요소의 법선을 숨긴다.

변위의 기호 표시를 만들려면 다음과 같이 설정한다.

1. Field Output 툴바의 왼쪽에 있는 변수 종류 목록에서 Symbol을 선택한다.

2. 툴바의 중앙에 있는 출력 변수 목록에서 U를 선택한다.

3. 벡터와 선택한 구성 요소 목록에서 U3를 선택한다. 합성 변위 벡터의 기호 표시가 변형 형상으로 표시된다.

4. 기본 음영 렌더링 스타일은 이런 화살표를 차단한다. 화살표가 차단되지 않고 표시되는 뷰는 Common Plot Options 대화 상자를 사용하여 렌더링 스타일을 Wire frame으로 변경하여 얻을 수 있다. 요소의 법선이 여전히 표시되면 숨긴다.

5. 이 기호 표시는 원형 형상에서도 표시할 수 있다. 메뉴에서 Plot → Symbols → On Undeformed Shape를 선택한다.

다음 그림과 같이 원형 모양에 기호가 표시된다.

기호 표시를 사용하여 응력과 같은 텐서 변수의 Principal 값을 표시할 수 있다. 주응력의 기호 표시는 각 적분점에서 3개의 벡터로 계산한다. 압축은 적분점을 향하는 방향으로 표시하고, 인장은 적분점에서 멀어지는 방향으로 표시한다. 또한 주응력을 개별적으로 표시할 수 있다. 주응력을 기호로 표시하려면 다음과 같이 설정한다.

1. Field Output 툴바의 왼쪽에 있는 변수 종류 목록에서 Symbol을 선택한다.

2. 툴바 중앙의 출력 변수 목록에서 S를 선택한다.

3. 텐서량과 구성 요소 목록에서 텐서량으로 ALL_PRINCIPAL_COMPONENTS를 선택한다. 주응력의 기호가 표시된다.

4. 메뉴에서 Options → Symbol을 선택하거나 도구 상자의 Symbol Options 도구를 사용하여 화살표의 길이를 변경한다. Symbol Plot Options 대화 상자가 나타난다.

5. Color & Style 페이지에서 Tensor 탭을 클릭한다.

6. Size 슬라이더를 드래그하여 화살표 길이를 2로 선택한다.

7. OK를 클릭하여 설정을 적용하고, 대화 상자를 닫는다. 다음 그림과 같은 기호가 표시된다.

8. 기본적으로 주응력은 단면점 1에 표시한다. 기본이 아닌 단면점에서 응력을 표시하려면 메뉴에서 Result → Section Points를 선택하고, Section Points 대화 상자를 연다.

9. 표시할 기본이 아닌 단면점을 선택한다.

10. 복잡한 모델에서 요소 모서리는 기호로 표시하기 어려울 수 있다. 요소 모서리를 숨기려면 Common Plot Options 대화 상자의 Basic 탭에서 Feature edges를 선택한다. 다음 그림은 피처 라인 만 표시할 때 기본 단면점 주응력의 기호 표시이다.

Abaqus/CAE는 요소의 재료 방향을 표시할 수 있다. 이 기능은 해석에서 재료 방향이 올바르게 지정되었는지 확인하는 데 특히 유용하다.

재료 방향을 표시하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 메뉴에서 Plot → Material Orientation → On Undeformed Shape를 선택한다. 재료 방향은 원형이 표시된다. 기본적으로 재료 방향을 나타내는 좌표축은 화살표 머리 없이 표시된다.

2. 메뉴에서 Options → Material Orientation을 선택하거나, 도구 상자의 Material Orientation Options 도구를 사용하여, 화살표가 있는 좌표축을 표시한다. Material Orientation Plot Options 대화 상자가 나타난다.

3. Arrowhead 옵션을 설정하여 화살표를 좌표축에 사용한다.

4. OK를 클릭하여 설정을 적용하고 대화 상자를 닫는다.

5. Views 툴바에서 사용할 수 있는 미리 정의한 뷰를 사용하여 다음 그림과 같이 만을 표시한다. 이 그림에서 원근법은 꺼져 있다.

⊙ Views 툴바가 보이지 않으면 메뉴에서 View → Toolbars → Views를 선택한다.

기본적으로 재료 1방향은 파란색, 재료 2방향은 노란색, 재료 3방향이 있으며 빨간색으로 표시한다.

프린트 출력된 자료를 조사하여 후처리를 추가할 수 있다. 표시 그룹을 이용하여 전체 모델의 요소 응력(성분 S11, S22, S12), 지지 절점(세트 End_A와 End_B)의 반력과 모멘트, 스팬 중앙 절점(세트 Mid_Span)의 변위를 표 형식 보고서를 작성한다. 응력 데이터는 아래와 같다.

위치 Loc 1과 Loc 2는 응력이 계산된 요소의 단면점을 식별한다. Loc 1(단면점 1에 해당)은 Shell의 SNEG 표면에 존재하고, Loc 2(단면점 3에 해당)는 SPOS 평면에 존재한다. 요소에 로컬 재료 방향이 사용되었다. 이 요소의 응력은 로컬 좌표계를 참조한다.

미세 변형률의 가정이 이 해석에 유효했는지 확인한다. 정점 응력에 대한 축 방향 변형률은 $ \epsilon_{11} \approx 0.008 $이다. 일반적으로 변형률은 4~5% 미만이면 미세한 것으로 간주하므로 0.8%의 변형률은 S8R5 요소가 합리적인 범위 안에 있다.

반력과 반력 모멘트는 다음 표에 기록된다. 이 반력은 글로벌 좌표계로 기록된다. 반력과 반력 모멘트를 해당 하중과 합치면 ‘0’이 되는지 확인한다. 3방향의 ‘0’이 아닌 반력은 압력 하중(20kPa×1.0m×0.4m)의 수직 방향 힘과 평형을 이룬다. 이 압력 하중은 반력 외에도 구속된 회전 자유도에 자기 평형 상태의 반력 모멘트를 발생시킨다.

이 예는 선형 해석으로 수행되며, 절점 변위가 특성 구조 치수와 비교하여 작다고 가정한다. 변위 테이블(여기는 표시되지 않음)과 같이 판의 중앙 처짐은 약 5.4cm이다. 이것은 플레이트 길이의 약 5%이다. 그러나 선형 해석에서 정확한 결과를 얻으려면 이 변위가 아주 작은지 확실하지 않다. 구조의 비선형 효과가 중요할 수 있으므로 비선형 해석을 수행하고, 이 예제를 더 자세히 조사해야 한다.

Shell 요소는 연속체 요소와 달리 요소마다 로컬 재료 방향을 사용한다. 섬유 강화 복합 재료 등에 대한 이방성 재료 데이터와 응력과 변형률과 같은 요소 출력 변수는 이런 로컬 재료 방향으로 정의한다. 대변형 해석에서 Shell 표면의 로컬 재료 축은 각 적분점에서 재료의 평균 운동과 함께 회전한다.

1) 기본 로컬 재료 방향

재료의 로컬 1과 2방향은 Shell 표면에 존재한다. 기본 로컬 1방향은 Shell 평면상의 글로벌 1축을 투영한 것이다. 글로벌 1축이 Shell 평면에 수직이라면 로컬 1축은 Shell 평면의 글로벌 3축의 투영이다. 로컬 2방향은 Shell의 평면 안에서 로컬 1방향에 수직이다. 따라서, 로컬 1방향, 로컬 2방향, Shell 면의 양의 법선 방향은 오른손 좌표계를 형성한다.

기본 재료의 로컬 방향은 문제를 일으킬 수 있다. 대표 예는 다음 그림에 표시된 원통이다.

이 그림의 대부분 요소에서 로컬 1방향은 원주 방향이다. 그러나 글로벌 1축에 수직인 요소의 열이 있다. 이 요소에서 로컬 1방향은 Shell에 대한 글로벌 3축의 투영이며, 로컬 1방향은 원주 방향이 아니다. 로컬 1방향의 수직 응력은 대부분 요소에서 은 원주 방향 응력이지만, 일부 요소는 축 방향 응력이므로 로컬 1방향에서 직접 응력 의 윤곽 표시는 매우 이상하게 보인다. 이 경우 다음 절에서 설명하는 대로 모델에 적합한 로컬 방향을 정의해야 한다.

2) 다른 재료 방향 만들기

글로벌 직교 좌표계는 그림과 같이 로컬 직교 좌표계, 원통형 좌표계와 구 좌표계로 대체할 수 있다.

로컬($x'$, $y'$, $z'$) 좌표계의 방향을 정의하고, 로컬 축의 방향이 어떤 재료 방향과 일치하는지 정의할 수 있다. 이렇게 하려면 Shell의 표면에 수직인 로컬 축(1, 2 또는 3)을 지정해야 한다. Abaqus는 이런 축의 순환 정렬(1, 2, 3)에 따라 선택한 축의 다음 축을 Shell 영역에 투영하여 재료의 1방향으로 만든다. 예를 들어, 축을 선택하면 Abaqus는 축을 Shell에 투영하여 재료의 1방향을 만든다. 재료 2방향은 Shell의 법선 방향과 재료 1방향의 외적으로 정의한다. 일반적으로 최종 재료의 2방향과 나머지 로컬 축(이 예에서는 축)의 투영은 곡면 Shell의 경우 일치하지 않는다.

이런 로컬 축에서 원하는 재료 방향이 생성되지 않으면 선택한 축 주위의 회전을 지정할 수 있다. 나머지 두 개의 로컬 축은 양으로 회전한 다음 Shell 표면에 투영되어 최종 재료 방향을 제공한다. 이 투영을 쉽게 이해할 수 있도록 선택한 축은 Shell의 법선 방향에 가능한 한 가깝게 만든다.

예를 들어, 원통 그림에서 원통의 중심선이 글로벌 3축과 일치하면 로컬 재료 1방향이 항상 원주 방향이 되고, 대응하는 로컬 재료 2방향이 항상 축 방향이다. 같은 로컬 재료 방향을 정의할 수 있다. 이 작업 절차는 다음과 같다.

로컬 재료 방향을 정의하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 특성 모듈의 메뉴에서 Tools → Datum을 선택하여 원통 데이텀 좌표계를 정의한다.

2. Assign → Material Orientation을 선택하여 로컬 재료 방향을 파트에 지정한다. 좌표계 선택이 필요하면, 이전 순서에서 정의한 데이텀 좌표계를 선택한다. 근사 Shell 법선 방향은 Axis 1이다. 추가 회전이 필요하지 않다.

3) Shell 요소 선택

● 1차 유한 막 변형률, 완전 적분, 4각형 Shell 요소(S4)는 더 높은 해의 정밀도가 필요할 때, 막 모드나 휨 모드의 Hourglass 변형이 일어나기 쉬운 문제, 또는 면내 휨의 발생이 예상되는 문제에 사용할 수 있다.

● 1차 유한 막 변형률, 저감 적분과 4각형 Shell 요소(S4R)는 견고하며 다양한 문제에 적합하다.

● 1차 유한 막 변형률, 삼각형 Shell 요소(S3/S3R)는 범용 요소로 사용할 수 있다. 이 요소는 일정한 변형률의 근사를 사용하므로 휨 변형이나 변형률이 큰 기울기를 표현할 때 요소망을 세밀하게 해야 한다.

● 적층 복합 Shell 모델에서 전단 변형의 영향을 고려할 때, 두꺼운 Shell을 만들 때 적합한 Shell 요소(S4, S4R, S3/S3R, S8R)를 사용한다. 평면 단면이 평면을 유지한다는 가정을 충족하는지 확인한다.

● 2차 Shell 요소(4각형 또는 3각형)는 일반적으로 미세 변형, 얇은 Shell 문제에 매우 효과적이다. 이 요소는 전단 잠금 또는 막 잠금의 영향을 받지 않는다.

● 접촉 해석에서 2차 요소를 사용하는 경우 2차 삼각형 Shell 요소(STRI65)를 사용해서는 안 된다. 9 절점, 4각형 Shell 요소(S9R5)를 대신 사용한다.

● 기하 선형 거동만 나타내는 매우 큰 모델에서, 1차 박판 Shell 요소(S4R5)는 일반적으로 범용 Shell 요소보다 비용 효율적이다.

● 미세 막 변형률 요소는 미세 막 변형률과 임의의 대회전을 포함하는 외연적 동적 문제에 효과적이다.

Shell 문제는 일반적으로 박판 문제와 후판 문제의 두 가지 범주 중 하나로 나뉜다. 후판 문제에서 횡 전단 변형이 결과에 큰 영향을 미친다고 가정한다. 반면에 박판 문제에서 횡 전단 변형이 무시할 정도로 작다고 가정한다. 그림 (a)는 박판의 횡 전단을 보여주며, 초기 모양에서 Shell 표면에 수직인 재료 선은 변형 중에 직선으로 수직으로 유지된다. 따라서 횡 전단 변형은 존재하지 않는 것으로 간주한다($\gamma = 0$). 그림 (b)는 후판의 횡 전단을 보여주며, 초기 모양에서 Shell 표면에 수직인 재료 선은 변형 중에 수직으로 유지되지 않는다. 따라서 횡 전단 변형을 추가한다($\gamma \ne 0$).

Abaqus는 박판 문제와 후판 문제에 요소의 적용 가능성에 따라 구별되는 여러 종류의 Shell 요소를 제공한다. 범용 Shell 요소는 두껍고 얇은 Shell 문제 모두에서 사용할 수 있다. 문제에 따라 Abaqus/Standard에서 사용할 수 있는 특수 목적 Shell 요소를 사용하면 더 나은 실행 성능을 얻을 수 있다.

특수 목적의 Shell 요소는 얇은 벽 전용 Shell 요소와 두꺼운 전용 Shell 요소의 두 가지 종류로 분류된다. 모든 특수 목적 Shell 요소는 임의의 큰 회전을 제공하지만, 왜곡은 미세하다. 얇은 전용 Shell 요소는 Kirchhoff 구속을 제공한다. 즉, Shell의 중앙 부분에 수직인 평면 단면은 중립면에 수직을 유지한다. Kirchhoff 구속은 요소 공식화(STRI3)에서 해석적으로 주어지거나 페널티 구속의 사용으로 수치로 주어진다. 두꺼운 전용 Shell 요소는 Shell의 전체 면에서 해가 매끄럽게 변하는 미세 변형 문제이며 범용 Shell 요소보다 정확한 결과를 제공하는 2차 4각형 요소이다.

주어진 문제가 박판 문제인지 후판 문제인지 결정하기 위해 몇 가지 지침을 제공한다. 후판에서는 수평 전단 변형이 중요하다. 반면에 박판에서는 가로 전단 변형을 무시할 수 있다. Shell의 횡 전단 변형의 중요성은 폭에 대한 두께의 비율로 평가할 수 있다. 1/15보다 큰 비율의 등방성 재료로만 구성된 Shell은 ‘후판’으로 간주한다. 이 비율이 1/15보다 작으면 Shell은 ‘박판’으로 간주한다. 이런 평가는 근사이므로 모델의 횡 전단 효과를 항상 확인하여 예상대로 Shell 거동인지 확인해야 한다. 적층 복합 Shell 구조에서는, 횡 전단 변형성이 중요한 때도 있으므로, ‘박판’ Shell 이론을 적용하는 기준인 이 비율을 상당히 작게 할 필요가 있다. 매우 변형하기 쉬운 층이 포함되는 복합 Shell(‘샌드위치’ 복합재라고 함)은 매우 작은 수평 전단 강성을 가지므로 대부분은 ‘두꺼운’ Shell로 만들어야 한다. 평면을 유지하는 평면 단면의 가정이 지켜지지 않으면 연속체 요소를 사용해야 한다.

수평 전단력과 수평 전단 변형은 범용 Shell 요소와 두꺼운 전용 Shell 요소에서 사용할 수 있다. 이런 응력의 계산은 휨과 비틀림 변형의 조합을 무시하고 재료 특성과 휨 모멘트의 공간 기울기가 작다고 가정한다.

Shell 요소를 사용하여 하나의 치수(두께)가 다른 치수보다 훨씬 작고 두께 방향의 응력이 무시할 정도로 작은 구조를 만들 수 있다. 전체 구조의 대표적인 치수의 1/10보다 작은 두께를 갖는 구조물(압력 용기 등)은 일반적으로 Shell 요소로 만들 수 있다. 다음은 대표적인 전체 치수의 예이다.

• 지지점 사이의 거리
• 보강재 사이나 단면 두께가 크게 변화하는 구간의 거리
• 곡률 반지름
• 관심 있는 최대 진동수 모드의 파장

Abaqus의 Shell 요소는 Shell의 중립면에 수직인 평면 단면이 평면을 유지한다고 가정한다. 두께가 요소 치수의 1/10보다 작아야 한다고 착각하지 않도록 주의해야 한다. 일반적으로 Shell 요소의 두께가 평면의 치수보다 커지는 건 바람직하지 않지만, 미세한 요소망은 이런 요소를 포함할 수 있다. 이 경우 연속체 요소가 더 적합하다.

Abaqus는 보통 Shell 요소와 연속체 Shell 요소의 2종류의 Shell 요소가 준비되어 있다. 통상의 Shell 요소는 요소 평면의 치수, 그 면의 법선 방향과 초기 곡률을 정의하는 것 그다음 참조 평면을 이산화한다. 일반적인 Shell 요소의 절점에서 Shell의 두께는 정의되지 않는다. 두께는 요소 특성으로 정의한다. 대조적으로, 연속체 Shell 요소는 3차원 Solid 요소와 유사하지만 완전한 3차원 물체를 이산화하는 점에서 운동학적 거동과 구성 거동은 일반 Shell 요소와 같이 공식화된다. 접촉 모델링에서 연속체 Shell 요소는 두께 변화가 고려되는 양면 접촉을 적용할 수 있으므로 일반 Shell 요소보다 정확하다. 반면에 박판 문제에서는 일반적인 Shell 요소가 뛰어난 실행 성능을 나타낸다.

이 책은 일반 Shell 요소만 설명한다. 그래서 이런 요소는 단순히 ‘Shell 요소’라고 한다.

1) Shell 두께와 단면점

Shell 두께는 Shell의 단면을 설명하는 데 필요하며 반드시 지정해야 한다. Shell 두께를 지정하는 것 외에도 단면 강성을 해석하면서 계산할지 해석을 시작할 때 한 번만 계산할지를 선택할 수 있다.

강성이 해석 중에 계산되도록 선택되면 Abaqus는 수치 적분을 사용하여 Shell 두께 방향의 각 단면점(적분점)에서 개별적으로 응력과 변형률을 계산한다. 따라서 비선형 재료 모델을 처리할 수 있다. 예를 들어, 탄성 Shell은 내부 단면점이 탄성 상태를 유지하고 외부 단면점에서 항복할 수 있다. 다음 그림은 S4R(4절점 저감 적분) 요소 하나의 적분점의 위치와 그 Shell 두께 방향 단면점의 배치를 보여준다.

Shell 두께 방향의 특성을 해석 중에 적분하는 경우 Shell 두께 방향으로 홀수 개의 단면점을 지정할 수 있다. 기본적으로 Abaqus는 균질 Shell의 두께 방향으로 5개의 단면점을 사용한다. 이것은 대부분의 비선형 문제에 대해 충분한 수이다. 그러나 복잡한 해석에서는 더 많은 단면점을 사용해야 할 수도 있다. 특히 소성 휨의 반전이 예상되는 경우 많은 단면점이 필요하다(이 경우 일반적으로 9개라면 충분하다). 선형 문제에서는 세 개의 단면점에서 두께 방향의 엄격한 적분을 얻을 수 있다. 그러나 선형 탄성 Shell의 경우 단면 강성을 해석 시작할 때 한 번만 계산하는 것이 더 효율적이다.

단면의 강성이 해석 시작할 때만 계산되는 경우 재료 모델을 선형 탄성으로 만들어야 한다. 이 경우 모든 계산은 전체 단면의 합력과 합 모멘트를 기반으로 한다. 응력 또는 변형의 출력을 요청하면 Abaqus는 밑면, 중립면, 상면에 기본 출력을 수행한다.

2) Shell 법선과 Shell 면

Shell 요소의 구성 절점의 순서는 다음 그림과 같이 양의 법선 방향을 정의한다 .

축대칭 Shell 요소의 경우, 양의 법선 방향은 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 반 시계 방향으로 90° 회전시킴으로써 정의된다. 3차원 Shell 요소의 경우, 양의 법선 방향은 요소 정의에서 절점의 정의 순서에서 오른손 시스템의 규칙에 따라 주어진다.

Shell의 ‘위’면은 양의 법선 방향 측에 있는 표면이며, 접촉 정의에서는 SPOS면이라고 한다. ‘아래’면은 법선을 따라 음의 방향으로 존재하며 접촉 정의에서 SNEG면이라고 한다. 법선 방향은 인접한 Shell 요소 간에 일치해야 한다.

양의 법선 방향은 요소 기반 압력 하중의 적용과 Shell의 두께 방향에 따라 변하는 양의 출력에 대한 규칙을 정의한다. 요소에 기초한 양의 압력 하중을 Shell 요소에 가하면, 양의 법선 방향으로 작용하는 하중이 발생한다. Shell 요소와 연속체 요소에 대한 표면 기반 압력 하중 규칙은 정확히 같다.

3) Shell의 초기 곡률

Abaqus의 Shell(요소 S3/S3R, S3RS, S4R, S4RS, S4RSW 및 STRI3은 제외)은 실제 곡선 Shell 요소로 공식화한다. 진정한 곡선 Shell 요소는 초기 표면 곡률의 정확한 계산에 특별한 주의가 필요하다. Abaqus는 Shell의 초기 곡률을 추정하기 위해 모든 Shell 요소의 절점에서 표면 법선을 자동으로 계산한다. 각 절점의 표면 법선은 상당히 정교한 알고리즘을 사용하여 결정한다.

다음 그림과 같이 거친 요소망에서 Abaqus는 인접한 요소의 공유 절점에서 요소마다 다른 표면 법선을 정의한다. 물리적으로 하나의 절점에 여러 법선 방향이 있으면, 그 절점을 공유하는 요소 사이에 구부러진 부분이 있다. 이런 구조는 의도적으로 모델링할 수 있지만 대부분은 매끄러운 곡면 Shell을 만들기 위한 것이다. Abaqus는 절점에 대한 평균 법선을 작성하여 이런 Shell을 매끄럽게 하려고 시도한다.

사용되는 기본 평활화(平滑化) 알고리즘은 다음과 같다. 절점에 인접한 각 Shell 요소의 절점에서 법선 방향이 서로 20° 이내에 있으면 법선 방향은 평균화된다. 그 절점에 인접한 모든 요소는 평균화된 수직 방향을 절점의 수직 방향으로 사용한다. Abaqus는 Shell을 매끄럽게 할 수 없으면 경고 메시지를 데이터 파일(.dat)에 출력한다.

이 기본 알고리즘을 변경하려면 두 가지 방법을 사용할 수 있다. 곡면 Shell에 구부러짐을 도입할 때는 절점 좌푯값 다음에 4, 5, 6번째의 데이터 값으로서의 성분을 (이 방법에서는 Abaqus/CAE가 생성한 입력 파일을 텍스트 에디터를 사용하여 수동으로 편집해야 한다) *NORMAL 옵션으로 법선 방향을 직접 지정한다(이 옵션은 Abaqus/CAE의 Keywords Editor를 사용하여 추가할 수 있다.

4) 참조 평면 오프셋

Shell의 기준면은 Shell 요소의 절점과 법선 정의로 정의된다. Shell 요소로 만들 때 참조 평면은 일반적으로 Shell의 중립면과 일치한다. 그러나 참조면은 Shell의 중립면에서 오프셋 하여 정의하는 것이 편리한 상황이 많이 있다. 예를 들어, CAD 패키지로 만든 서피스는 일반적으로 Shell의 위쪽 또는 아래쪽 면을 나타낸다. 이 경우 참조면은 CAD 표면과 일치시켜 정의한다. 즉, Shell의 중립면에서 오프셋 하여 정의하는 것이 간단하다.

Shell 오프셋은 접촉 문제에서 Shell 두께가 중요한 경우보다 정확한 표면 모양을 정의하는 데에도 사용할 수 있다. 또한, 두께가 연속적으로 변화하는 Shell을 만들 때도 중앙 면으로부터 오프셋이 중요해지는 상황이다. 이 경우 절점은 Shell의 중립면에서 정의하기가 어려울 수 있다. 항공기의 일부 구조와 같이 한쪽 표면은 부드럽고 반대쪽 표면에 요철이 있는 경우 Shell 오프셋을 사용하여 매끄러운 표면에 절점을 정의하기가 가장 쉽다.

Shell의 중립면에서 요소의 절점을 포함하는 기준면까지 거리(Shell 두께에 대한 비율로 측정)를 사용하여 정의된 오프셋 값을 지정하여 오프셋을 도입할 수 있다. 오프셋의 양수 값은 양의 법선 방향이다. 오프셋이 0.5 또는 SPOS일 때 Shell의 윗면이 참조 평면이다. 오프셋이 -0.5 또는 SNEG일 때 Shell의 밑면이 참조 평면이다. 기본 오프셋은 ‘0’이다. 이 경우 Shell의 중립면이 기준면이다. 중립면의 위치를 일정하게 유지하도록 절점 위치가 조정되는 요소망에서 세 가지 기준면 오프셋 설정은 다음 그림에 나와 있다.

Shell의 자유도는 참조 평면과 관련이 있다. 요소의 면적과 모든 운동학적 양은 참조 평면에서 계산된다. 곡면 Shell에 큰 오프셋 값을 지정하면 표면의 적분 오차가 발생할 수 있으며, Shell 단면의 강성, 질량과 회전 관성에 영향을 준다. 또한 안정성을 얻으려면 Abaqus/Explicit는 Shell 요소에 사용하는 회전 관성을 자동으로 오프셋의 약 2배를 곱한다. 이렇게 오프셋이 클 때 동역학 오류가 발생할 수 있다. Shell의 중립면으로부터 오프셋이 커지면, 대신에 다점 구속이나 강체를 이용한 구속을 사용한다.