[Abaqus] Shell 요소란 무엇인가?

Shell 요소를 사용하여 하나의 치수(두께)가 다른 치수보다 훨씬 작고 두께 방향의 응력이 무시할 정도로 작은 구조를 만들 수 있다. 전체 구조의 대표적인 치수의 1/10보다 작은 두께를 갖는 구조물(압력 용기 등)은 일반적으로 Shell 요소로 만들 수 있다. 다음은 대표적인 전체 치수의 예이다.

• 지지점 사이의 거리
• 보강재 사이나 단면 두께가 크게 변화하는 구간의 거리
• 곡률 반지름
• 관심 있는 최대 진동수 모드의 파장

Abaqus의 Shell 요소는 Shell의 중립면에 수직인 평면 단면이 평면을 유지한다고 가정한다. 두께가 요소 치수의 1/10보다 작아야 한다고 착각하지 않도록 주의해야 한다. 일반적으로 Shell 요소의 두께가 평면의 치수보다 커지는 건 바람직하지 않지만, 미세한 요소망은 이런 요소를 포함할 수 있다. 이 경우 연속체 요소가 더 적합하다.

Abaqus는 보통 Shell 요소와 연속체 Shell 요소의 2종류의 Shell 요소가 준비되어 있다. 통상의 Shell 요소는 요소 평면의 치수, 그 면의 법선 방향과 초기 곡률을 정의하는 것 그다음 참조 평면을 이산화한다. 일반적인 Shell 요소의 절점에서 Shell의 두께는 정의되지 않는다. 두께는 요소 특성으로 정의한다. 대조적으로, 연속체 Shell 요소는 3차원 Solid 요소와 유사하지만 완전한 3차원 물체를 이산화하는 점에서 운동학적 거동과 구성 거동은 일반 Shell 요소와 같이 공식화된다. 접촉 모델링에서 연속체 Shell 요소는 두께 변화가 고려되는 양면 접촉을 적용할 수 있으므로 일반 Shell 요소보다 정확하다. 반면에 박판 문제에서는 일반적인 Shell 요소가 뛰어난 실행 성능을 나타낸다.

이 책은 일반 Shell 요소만 설명한다. 그래서 이런 요소는 단순히 ‘Shell 요소’라고 한다.

1) Shell 두께와 단면점

Shell 두께는 Shell의 단면을 설명하는 데 필요하며 반드시 지정해야 한다. Shell 두께를 지정하는 것 외에도 단면 강성을 해석하면서 계산할지 해석을 시작할 때 한 번만 계산할지를 선택할 수 있다.

강성이 해석 중에 계산되도록 선택되면 Abaqus는 수치 적분을 사용하여 Shell 두께 방향의 각 단면점(적분점)에서 개별적으로 응력과 변형률을 계산한다. 따라서 비선형 재료 모델을 처리할 수 있다. 예를 들어, 탄성 Shell은 내부 단면점이 탄성 상태를 유지하고 외부 단면점에서 항복할 수 있다. 다음 그림은 S4R(4절점 저감 적분) 요소 하나의 적분점의 위치와 그 Shell 두께 방향 단면점의 배치를 보여준다.

그림. 수치 적분하는 Shell의 단면점 배치

Shell 두께 방향의 특성을 해석 중에 적분하는 경우 Shell 두께 방향으로 홀수 개의 단면점을 지정할 수 있다. 기본적으로 Abaqus는 균질 Shell의 두께 방향으로 5개의 단면점을 사용한다. 이것은 대부분의 비선형 문제에 대해 충분한 수이다. 그러나 복잡한 해석에서는 더 많은 단면점을 사용해야 할 수도 있다. 특히 소성 휨의 반전이 예상되는 경우 많은 단면점이 필요하다(이 경우 일반적으로 9개라면 충분하다). 선형 문제에서는 세 개의 단면점에서 두께 방향의 엄격한 적분을 얻을 수 있다. 그러나 선형 탄성 Shell의 경우 단면 강성을 해석 시작할 때 한 번만 계산하는 것이 더 효율적이다.

단면의 강성이 해석 시작할 때만 계산되는 경우 재료 모델을 선형 탄성으로 만들어야 한다. 이 경우 모든 계산은 전체 단면의 합력과 합 모멘트를 기반으로 한다. 응력 또는 변형의 출력을 요청하면 Abaqus는 밑면, 중립면, 상면에 기본 출력을 수행한다.

2) Shell 법선과 Shell 면

Shell 요소의 구성 절점의 순서는 다음 그림과 같이 양의 법선 방향을 정의한다 .

그림. Shell의 양의 법선 방향

축대칭 Shell 요소의 경우, 양의 법선 방향은 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 반 시계 방향으로 90° 회전시킴으로써 정의된다. 3차원 Shell 요소의 경우, 양의 법선 방향은 요소 정의에서 절점의 정의 순서에서 오른손 시스템의 규칙에 따라 주어진다.

Shell의 ‘위’면은 양의 법선 방향 측에 있는 표면이며, 접촉 정의에서는 SPOS면이라고 한다. ‘아래’면은 법선을 따라 음의 방향으로 존재하며 접촉 정의에서 SNEG면이라고 한다. 법선 방향은 인접한 Shell 요소 간에 일치해야 한다.

양의 법선 방향은 요소 기반 압력 하중의 적용과 Shell의 두께 방향에 따라 변하는 양의 출력에 대한 규칙을 정의한다. 요소에 기초한 양의 압력 하중을 Shell 요소에 가하면, 양의 법선 방향으로 작용하는 하중이 발생한다. Shell 요소와 연속체 요소에 대한 표면 기반 압력 하중 규칙은 정확히 같다.

3) Shell의 초기 곡률

Abaqus의 Shell(요소 S3/S3R, S3RS, S4R, S4RS, S4RSW 및 STRI3은 제외)은 실제 곡선 Shell 요소로 공식화한다. 진정한 곡선 Shell 요소는 초기 표면 곡률의 정확한 계산에 특별한 주의가 필요하다. Abaqus는 Shell의 초기 곡률을 추정하기 위해 모든 Shell 요소의 절점에서 표면 법선을 자동으로 계산한다. 각 절점의 표면 법선은 상당히 정교한 알고리즘을 사용하여 결정한다.

다음 그림과 같이 거친 요소망에서 Abaqus는 인접한 요소의 공유 절점에서 요소마다 다른 표면 법선을 정의한다. 물리적으로 하나의 절점에 여러 법선 방향이 있으면, 그 절점을 공유하는 요소 사이에 구부러진 부분이 있다. 이런 구조는 의도적으로 모델링할 수 있지만 대부분은 매끄러운 곡면 Shell을 만들기 위한 것이다. Abaqus는 절점에 대한 평균 법선을 작성하여 이런 Shell을 매끄럽게 하려고 시도한다.

그림. 절점의 표면 법선에 대한 요소망 세분화의 효과

사용되는 기본 평활화(平滑化) 알고리즘은 다음과 같다. 절점에 인접한 각 Shell 요소의 절점에서 법선 방향이 서로 20° 이내에 있으면 법선 방향은 평균화된다. 그 절점에 인접한 모든 요소는 평균화된 수직 방향을 절점의 수직 방향으로 사용한다. Abaqus는 Shell을 매끄럽게 할 수 없으면 경고 메시지를 데이터 파일(.dat)에 출력한다.

이 기본 알고리즘을 변경하려면 두 가지 방법을 사용할 수 있다. 곡면 Shell에 구부러짐을 도입할 때는 절점 좌푯값 다음에 4, 5, 6번째의 데이터 값으로서의 성분을 (이 방법에서는 Abaqus/CAE가 생성한 입력 파일을 텍스트 에디터를 사용하여 수동으로 편집해야 한다) *NORMAL 옵션으로 법선 방향을 직접 지정한다(이 옵션은 Abaqus/CAE의 Keywords Editor를 사용하여 추가할 수 있다.

4) 참조 평면 오프셋

Shell의 기준면은 Shell 요소의 절점과 법선 정의로 정의된다. Shell 요소로 만들 때 참조 평면은 일반적으로 Shell의 중립면과 일치한다. 그러나 참조면은 Shell의 중립면에서 오프셋 하여 정의하는 것이 편리한 상황이 많이 있다. 예를 들어, CAD 패키지로 만든 서피스는 일반적으로 Shell의 위쪽 또는 아래쪽 면을 나타낸다. 이 경우 참조면은 CAD 표면과 일치시켜 정의한다. 즉, Shell의 중립면에서 오프셋 하여 정의하는 것이 간단하다.

Shell 오프셋은 접촉 문제에서 Shell 두께가 중요한 경우보다 정확한 표면 모양을 정의하는 데에도 사용할 수 있다. 또한, 두께가 연속적으로 변화하는 Shell을 만들 때도 중앙 면으로부터 오프셋이 중요해지는 상황이다. 이 경우 절점은 Shell의 중립면에서 정의하기가 어려울 수 있다. 항공기의 일부 구조와 같이 한쪽 표면은 부드럽고 반대쪽 표면에 요철이 있는 경우 Shell 오프셋을 사용하여 매끄러운 표면에 절점을 정의하기가 가장 쉽다.

Shell의 중립면에서 요소의 절점을 포함하는 기준면까지 거리(Shell 두께에 대한 비율로 측정)를 사용하여 정의된 오프셋 값을 지정하여 오프셋을 도입할 수 있다. 오프셋의 양수 값은 양의 법선 방향이다. 오프셋이 0.5 또는 SPOS일 때 Shell의 윗면이 참조 평면이다. 오프셋이 -0.5 또는 SNEG일 때 Shell의 밑면이 참조 평면이다. 기본 오프셋은 ‘0’이다. 이 경우 Shell의 중립면이 기준면이다. 중립면의 위치를 일정하게 유지하도록 절점 위치가 조정되는 요소망에서 세 가지 기준면 오프셋 설정은 다음 그림에 나와 있다.

그림. 오프셋 값이 0, –0.5과 +0.5인 경우 Shell 오프셋 개요

Shell의 자유도는 참조 평면과 관련이 있다. 요소의 면적과 모든 운동학적 양은 참조 평면에서 계산된다. 곡면 Shell에 큰 오프셋 값을 지정하면 표면의 적분 오차가 발생할 수 있으며, Shell 단면의 강성, 질량과 회전 관성에 영향을 준다. 또한 안정성을 얻으려면 Abaqus/Explicit는 Shell 요소에 사용하는 회전 관성을 자동으로 오프셋의 약 2배를 곱한다. 이렇게 오프셋이 클 때 동역학 오류가 발생할 수 있다. Shell의 중립면으로부터 오프셋이 커지면, 대신에 다점 구속이나 강체를 이용한 구속을 사용한다.