[수학의 역사] 숫자를 표현하는 가장 오래된 기술은 집계(集計)

 

수학(數學, mathematics)이라는 단어의 어원은 그리스어 mathemata이다. 이 단어는 초기 문헌에서 ‘교육’이나 ‘연구 주제’를 나타내는 데 사용하였다. 서서히 학문이 발전하면서, 이 단어의 범위를 특정 분야로 제한하는 게 편리하다는 걸 알게 되었다. 피타고라스학파는 산술(算術, arithmetic)과 기하학(幾何學, geometry)을 설명하는 데 이 단어를 사용했다고 전한다. 예전에 이 두 분야는 별도의 이름으로 불렸으며, 두 분야를 한꺼번에 지칭하는 명칭은 없었다. 피타고라스학파가 이 이름을 사용한 건 아마도 수학이 기원전 600년부터 300년 사이에 고대 그리스에서 시작된 개념이 바탕일 것이다. 하지만 수학의 역사는 훨씬 더 멀리 거슬러 올라간다. 3, 4천 년 전 고대 이집트와 바빌로니아는 이미 우리가 수학이라고 부를 수 있는 상당한 지식이 존재했다. 수학이 수, 크기, 순서, 형태의 양적 또는 공간적 문제의 연구를 포함한다면, 이것은 아마도 인간 경험의 초창기부터 존재해 온 활동일 것이다. 그뿐만 아니라 모든 시대와 문화는 주변 자연 세계의 형태를 이해하고 지배하려는 강한 욕구를 가진 사람들이 언제나 존재했다. 알렉산더 포프의 말처럼, “이 위대한 미로는 계획 없이 존재하지 않는다.”
 

 
현재 수학은 숫자를 세고, 기록하는 실용적인 문제에서 비롯되었다는 게 보통 받아들여지고 있다. 숫자 개념이 탄생한 시점은 수많은 세월의 베일 뒤에 숨겨져 있어서, 초기 인류의 숫자 개념을 남은 증거로 추측하는 건 꽤 흥미로운 일이다. 우리만큼이나 영리했던 약 2만 년 전의 먼 조상들은 가축의 수를 세거나 물건을 교환할 때, 물건을 세고 날짜를 표시할 필요가 분명히 있었을 거다. 하지만 숫자를 말로 표현하고 기호로 쓰기 시작한 산술의 발전은 너무 천천히 진행되어서 그 단계별 연대를 정확히 파악할 수 없다.

 

인류학자는 아무리 원시 문화라도 숫자 개념이 없는 문화는 거의 없다고 말한다. 그 숫자의 인식은 단순히 1과 2의 구별처럼 아주 원시적일 수 있다. 예를 들어, 일부 호주 원주민 부족은 2까지만 셀 수 있었고, 2보다 큰 수는 단순히 ‘much’ 또는 ‘many’라고 불렀다. 아마존강에 사는 남미 원주민도 마찬가지로 숫자를 표현하는 낱말이 거의 없었다. 그들은 호주 원주민보다 더 나아가 여섯까지 셀 수 있었지만, 3, 4, 5, 6과 같은 숫자는 마찬가지로 이름이 없었다. 그들이 숫자를 세는 방법은 셋은 ‘둘-하나’, 넷은 ‘둘-둘’이라고 불렀고, 이와 같은 방식으로 이어졌다. 남아프리카의 부시먼족도 비슷하게 숫자를 세었다. 그들은 두 단어로 10까지 세었으며(10=2+2+2+2+2), 10을 넘어가면 표현이 너무 길어졌다. 주목할 점은 이런 부족이 소 두 마리를 돼지 네 마리와 바꾸지는 않았지만, 소 한 마리를 돼지 두 마리와 바꾸거나 다른 소를 다른 돼지 두 마리와 바꾸는 건 전혀 주저하지 않았다는 것이다.

 

숫자의 개념을 눈으로 표현하는 가장 오래되고 바로 사용할 수 있는 기술은 집계(集計, tally)이다. 집계의 기본 원리는 계산 대상과 쉽게 사용할 수 있는 물건을 일치시키는 거다. 우리 조상이 사용한 물건은 주로 손가락, 조개껍질, 돌멩이 등이었다. 예를 들어, 양을 세려면 양을 좁은 길로 한 마리씩 몰고 가면서 한 마리당 돌멩이를 하나씩 떨어뜨려서 숫자를 셀 수 있었다. 밤에 양 떼를 다시 모을 때는 돌멩이를 다시 다른 곳으로 옮기며 양의 숫자를 세었다. 전쟁 승리, 조약 체결, 마을 설립과 같은 중요한 행사에는 참석자 수에 따라 돌멩이를 하나씩 쌓아 돌무더기나 돌기둥을 세울 때가 많았다.

 

집계를 뜻하는 tally라는 용어는 ‘자른다’라는 뜻의 프랑스어 동사 tailler에서 유래했으며, 영어 단어 tailor와 같은 어원을 가진다. 이 단어의 어원은 라틴어 taliare에서 찾을 수 있다. 더 흥미로운 부분은 영어 단어 write가 ‘긁는다’ 또는 ‘새기다’라는 뜻의 앵글로·색슨어 writan에서 유래했다는 점이다.

 

말로 하는 숫자나 손가락으로 세는 방법은 보관할 수 없다. 하지만 손가락으로 세는 방법은 숫자를 쓰는 것처럼 눈으로 볼 수 있다. 어떤 집계를 기록으로 보존하려면 다른 표현 방법이 필요했다. 우리는 사건이나 물건의 숫자를 오래 보관할 수 있는 재료에 어떤 표시로 기록한다는 생각을 인간의 지적 발전으로 인정해야 한다. 돌멩이처럼 어떤 물건을 더해서 세는 방법에서 하나의 물건에 표시를 추가해서 세는 방법으로 진화한 건 ‘추상적인 숫자 개념’으로 발전하는 수학의 첫걸음일 뿐만 아니라, 글자로 의사소통하는 여정의 첫걸음이었다.

 

그 이후 집계는 돌에 선을 그어 놓거나, 나무 막대나 뼛조각에 홈을 파거나, 색깔이나 길이가 다른 끈으로 매듭을 짓는 방식으로 유지되었다. 집계 표시의 수가 너무 많아 눈으로 파악하기 점점 어려워지자, 원시인은 손가락의 숫자처럼 5개씩 쉽게 알아보는 방법으로 배열하기 시작했다. 처음에는 2개씩 배열했지만, 곧 5개, 10개, 20개씩 바뀌었을 가능성이 높다. 하나의 묶음으로 숫자를 세는 방법은 하나씩 세는 방법보다 중요한 개선이었다. 예를 들어 5로 세는 관습은 ‘손가락 5개’나 ‘5일’과 같이 설명적 개념과 대비되는 추상적 개념인 ‘5’에 접근하는 조심스러운 진전을 보여준다. 분명히 이 방법은 숫자를 세는 대상에서 숫자의 순서를 분리하는 긴 여정에서 조심스러운 첫걸음이었다.

 

 
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