[수학] 피타고라스와 그의 추종자들

추상적인 수에 대한 연구는 기원전 6세기 그리스에서 피타고라스와 피타고라스 학파에 의해 시작되었다. 피타고라스의 생애에 대한 우리의 지식은 부족하고 확실하게 말할 수 있는 것은 거의 없다. 우리에게 전해 내려온 정보는 초기 작가들이 그의 여행, 기적의 힘, 가르침에 관한 우화를 지어내면서 서로 경쟁을 벌인 데서 비롯된 것이다. 가장 유력한 추정치에 따르면 피타고라스는 기원전 580년에서 569년 사이에 에게해의 사모스 섬에서 태어났다고 전한다. 그는 18세에 사모스를 떠나 페니키아와 이집트에서 공부한 것으로 보이며, 동쪽으로 멀리 바빌로니아까지 여행을 떠났을 수도 있다. 일부 신뢰할 수 없는 소식통에 따르면 기원전 525년 이집트가 페르시아 왕 캄비세스에 의해 정복되었을 때 피타고라스는 다른 이집트 포로들과 함께 바빌로니아로 끌려갔다고 전한다. 그러나 다른 당국자들은 그가 자발적으로 캄비세스를 따랐다고 주장한다. 피타고라스가 수년간의 방황 끝에 다시 나타났을 때(50세 무렵), 그는 학교를 세울 좋은 장소를 찾았다. 강력한 폭군 폴리크라테스에 의해 고향 사모스에서 금지된 그는 서쪽으로 방향을 돌려 이탈리아 남부의 번영하는 도리아 식민지 크로토나에 정착했다.

 

그리스 세계에서 학교를 설립하는 것은 드문 일이 아니었다. 피타고라스 학파의 특징은 정치적, 철학적, 종교적 목표를 동시에 추구했다는 점이다. 약 300명의 젊은 귀족으로 구성된 이 공동체는 형제회 또는 비밀 결사체의 성격을 띠었으며, 모든 세속적 재화를 공동 소유하는 긴밀한 질서를 유지했다. 학교는 구성원의 식단과 생활 방식을 엄격하게 규제하고 공통된 교육 방식을 도입하기 위해 노력했다. 학생들은 산술(계산이 아닌 수 이론의 의미에서 산술), 하모니아(음악), 지오메트리아(기하학), 천문학의 네 가지 수학 또는 학습 과목에 집중했다. 이 네 가지 지식의 구분은 중세 시대에 '쿼드리비움'으로 알려지게 되었고, 여기에 언어 사용과 관련된 과목인 논리, 문법, 수사학이 추가되었다. 이 7가지 교양 과목은 교육을 받은 사람에게 필수적이고 적절한 학습 과정으로 여겨지게 되었다.

 

피타고라스는 자신의 강의를 듣는 제자들을 청각자(또는 청취자)와 수학자라는 두 등급으로 나누었다. 3년 동안 커튼 뒤에서 피타고라스의 목소리를 묵묵히 듣고 순종한 제자는 학교의 주요 교리를 전수받는 이너 서클에 입문할 수 있었다. 여성은 법으로 공개 회의에 참석하는 것이 금지되어 있었지만 스승의 강의에는 참석할 수 있었다. 한 자료에 따르면 수학자 중 선별된 범주에 최소 28명의 여성이 있었다고 전한다. 피타고라스는 60세가 가까워졌을 때 제자 중 한 명인 테아노와 결혼했다. 테아노는 피타고라스의 말년에 그에게 영감을 주었을 뿐만 아니라 사후에도 그의 사고 체계를 계속 전파한 뛰어난 능력의 수학자였다. (테아노가 피타고라스의 딸이었다는 모순적인 자료도 있고, 뛰어난 재능을 가진 제자일 뿐 아내가 아니었다는 자료도 있다).

 

피타고라스는 동쪽의 스승들의 관습에 따라 자신의 견해를 입소문으로 전했다. 그는 자신의 가르침을 글로 남기지 않은 것으로 보인다. 또한 그의 공동체 구성원들은 스승이 가르치거나 스승의 가르침의 결과로 다른 형제들이 발견한 것을 외부에 공개하지 않을 의무가 있었다. 전설에 따르면 수다스러운 한 제자가 피타고라스가 열거한 정다면체 집합에 십면체를 추가했다고 공개적으로 자랑한 것에 대한 신의 벌로 난파선에서 익사했다는 이야기가 전해진다. 피타고라스 공동체의 구성원들이 맹세하는 상징은 불, 물, 공기, 흙의 네 가지 원소를 상징하는 '테트라티스', 즉 신성한 사면체였다. 테트라티스는 기하학적으로는 10개의 점으로 이루어진 정삼각형으로, 산술적으로는 숫자 1 × 2 × 3 × 4 = 10으로 표현되었다.

 

 

그리스 작가이자 풍자가인 루시안(120~180)에 따르면, 피타고라스는 누군가에게 수를 세어보라고 했고, 4에 도달하자 "보이십니까?"라며 끼어들었다. 4가 10이 되는 것은 완벽한 삼각형이자 우리의 맹세입니다."라고 말했다. 당시의 다른 신비주의 컬트처럼 피타고라스 교도들도 이상한 입문식, 의식, 금지 사항이 있었다. 예를 들어 콩을 먹거나 포도주를 마시거나 떨어진 물건을 줍거나 다리미로 불을 지피는 것을 거부했다. 그들은 이러한 기이한 금기 외에도 미덕의 삶, 특히 우정의 삶을 강조했다. 피타고라스주의에서 데이먼과 피티아스의 이야기가 나온다. (왕에 대한 음모로 사형 선고를 받은 피티아스는 데이먼이 친구가 돌아오지 않으면 자신의 목숨을 바치겠다고 서약한 후 자신의 일을 정리할 수 있는 휴가를 얻었다). 오각형 별 또는 오각형은 형제단원들이 서로를 알아볼 수 있는 표시로 사용되었다. 어떤 피타고라스가 여행 중 병에 걸렸으나 친절한 여관 주인의 간호에도 불구하고 목숨을 건지지 못했다는 이야기가 전해져 내려오고 있다. 그는 죽기 전에 칠판에 오각형 별을 그려서 주인에게 밖에 걸어달라고 간청했다. 얼마 후 지나가던 다른 피타고라스가 그 상징을 발견하고 여관 주인의 이야기를 들은 후 그에게 큰 상을 주었다.

 

피타고라스인들은 영혼이 일시적이든 영구적이든 사람의 몸을 떠날 수 있고, 다른 사람이나 동물의 몸에서 살 수 있다고 믿었다. 영혼의 이동에 대한 이러한 교리 때문에 피타고라스인들은 도살된 동물이 친구의 거처가 될까 봐 고기를 먹지 않았다. 피타고라스인들은 신에게 바치는 제물 외에는 어떤 것도 죽이지 않았고, 양모는 동물의 산물이므로 양모로 만든 옷도 입지 않았다. 피타고라스가 채찍질당하는 작은 개를 발견하고 "이 개 안에 내 친구의 영혼이 살고 있으니 매질을 멈춰라, 나는 그의 목소리로 그를 알아본다"라고 말한 이야기가 전해져 내려오고 있다.

 

피타고라스의 죽음에 대한 기록은 일치하지 않는다. 분명한 것은 다른 교리에 점차 정치 사상이 추가되었고, 한동안 독재적인 피타고라스 학파가 크로토나와 이탈리아 남부의 다른 그리스 도시에서 지방 정부를 지배하는 데 성공했다는 것이다. 기원전 500년경, 피타고라스 학파의 집회소를 포위하고 불을 지른 폭력적인 민중 반란이 일어났다. 참석자 중 극소수만이 살아남았다. 여러 기록에 따르면 피타고라스 자신도 지옥에서 죽었다고 전한다. 극적인 감각을 가진 사람들은 피타고라스의 제자들이 자신의 몸으로 불길 위로 다리를 만들어 스승이 광란의 군중을 피할 수 있었다고 믿게 하였다. 이 버전에서는 그가 근처 메타폰툼으로 도망쳤지만, 이어진 전투에서 신성한 콩밭에 도착한 후 질서를 짓밟는 대신 적의 손에 죽는 것을 선택했다고 전해진다. 점점 줄어드는 망명자 무리는 마지막까지 비밀 단체로 남아 기록을 남기지 않았고, 모든 발견을 스승에게 돌리며 자기 부정을 극도로 자제했다.

 

피타고라스 학파를 다른 학파와 차별화시킨 것은 "지식이 가장 위대한 순수"라는 철학이었고, 이들에게 지식은 수학을 의미했다. 피타고라스인들처럼 수학이 삶과 종교에서 중요한 부분을 차지한 경우는 이전에도, 이후에도 없었다. 피타고라스 철학의 핵심은 자연 현상 이면에 일종의 작동하는 실체가 존재하며, 이 최고 설계자의 의지에 의해 우주가 창조되었다는 믿음, 즉 우리 주변 세계의 겉으로 보이는 다양성과 혼란의 이면에 이성이 발견할 수 있는 근본적인 단순성과 안정성이 존재한다는 것이었다. 그들은 더 나아가 물리적, 영적 모든 것에는 할당된 수와 형태가 부여되어 있다는 이론을 세웠는데, "모든 것은 수다"라는 것이 일반적인 논지였다. ("수"는 양의 정수를 의미했다.) 이 모든 것은 수학의 도움 없이는 우주에서 작동하는 지배 원리를 합리적으로 이해하는 것이 불가능하다는 개념으로 절정에 달했다. 아리스토텔레스는 형이상학에 이렇게 썼다:

 

피타고라스인들은... 수학에 헌신한 이들은 이 학문을 최초로 발전시켰으며, 수학의 원리를 만물의 원리라고 생각했습니다.

 

피타고라스 자신에 대해 다른 연대기 작가는 "그는 산술 연구를 가장 중요하게 여겼던 것으로 보이며, 이를 발전시켜 상업적 유용성의 영역에서 벗어났다"고 말한다.

 

피타고라스에게 음악은 '수'가 자연 만물의 원인이라는 피타고라스의 원리를 가장 잘 보여주는 사례였다. 전통적으로 피타고라스는 진동하는 현이 내는 음이 현의 길이에 따라 달라진다는 사실, 특히 똑같이 팽팽한 두 개의 현을 다른 현의 두 배 길이로 당기면 조화로운 소리가 나온다는 사실을 발견한 것으로 알려져 있다. 현대 용어로 이 두 음 사이의 간격은 1옥타브이다. 마찬가지로 한 줄의 길이가 다른 줄의 절반이면 짧은 줄은 긴 줄이 내는 음보다 '다섯 번째'라는 음을 내고, 한 줄이 다른 줄보다 1/3 길면 다른 줄보다 4음 위인 '네 번째'가 나온다. 가장 아름다운 음악적 하모니는 정수의 가장 단순한 비율, 즉 2:1, 3:2, 4:3의 비율에 해당한다는 결론이 내려졌다(1, 2, 3, 4의 네 숫자는 유명한 피타고라스 정사각형 또는 점의 삼각형에 들어 있다).

 

천문학에 대한 피타고라스의 견해는 이 고조파 간격 교리의 연장선상에 있다고 볼 수 있다. 피타고라스는 태양과 달을 포함하여 알려진 일곱 개의 행성 각각이 그 자체의 수정 구를 타고 지구 주위를 돌고 있다고 주장했다. 이러한 거대한 구체가 운동으로 인한 소음 없이 우주를 끝없이 소용돌이치는 것은 분명 불가능했기 때문에 각 물체는 중심과의 거리에 따라 일정한 음을 만들어야 했다. 전체 시스템이 '천상의 하모니'를 만들어냈고, 피타고라스만이 모든 인간들 사이에서 이 소리를 들을 수 있었다. 이 이론은 중세 천문학적 추측에서 지속적으로 반복되는 개념인 '구의 음악'이라는 개념의 기초가 되었다.

 

 

피타고라스 교리는 우주 철학과 숫자 신비주의가 기묘하게 혼합된 것으로, 물질적이든 영적이든 모든 것에 정수를 부여하는 일종의 초수학이다. 피타고라스의 글에서 1은 이성이 하나의 일관된 진리만을 생산할 수 있기 때문에 이성을 나타내고, 2는 남성을, 3은 여성을 의미하며, 4는 등수의 곱이 되는 첫 번째 수이기 때문에 정의를 상징하는 피타고라스의 상징이고, 5는 2와 3의 결합으로 형성되는 결혼과 동일시되고, 6은 창조의 수 등등을 발견할 수 있다. 첫 번째 짝수 이후의 모든 짝수는 다른 숫자로 분리할 수 있었기 때문에 여성적이고 세속적인 것으로 간주되어 일반적으로는 다소 덜 높이 평가되었다. 또한 피타고라스인들은 주로 남성 사회였기 때문에 첫 번째 숫자 뒤의 홀수를 남성적이고 신성한 것으로 분류했다.

 

'사물'의 모델로서 숫자에 대한 이러한 추측이 오늘날에는 억지스럽고 공상적인 것처럼 느껴지지만, 고전 그리스 시대의 지식인들은 대부분 철학에 몰두했으며, 지적 관심을 가졌던 바로 그 사람들이 사고 체계로서 수학의 기초를 닦은 사람들이었다는 사실을 기억해야 한다. 피타고라스와 그의 추종자들에게 수학은 선과 아름다움에 대한 신비로운 관조를 통해 인간의 정신을 고상하게 만드는 목적, 즉 수학을 위한 수단이었다. 알렉산드리아 학파의 창설과 함께 수학은 실용적 응용과는 별개로 그 자체로 추구되는 지적 활동으로 새로운 국면에 접어들게 된다.

피타고라스 학파는 처음에는 수 자체보다는 수로 표현되는 사물을 위해 수학을 연구했지만, 그럼에도 불구하고 모든 종류의 새로운 산술적 속성을 인식하게 되었다.