[수학] 니코마쿠스의 산술 입문서

피타고라스와 그의 직계 후계자들의 산술에 대한 가장 완전한 설명은 게라사의 니코마쿠스(100년경)의 『산술 입문』에 담겨 있다. 니코마쿠스가 새로운 수학적 결과를 제공하지는 않았지만, 그의 《산술 입문》은 산술을 기하학과 독립적으로 다룬 최초의 체계적 저작으로 주목할 만하다. 내용은 유클리드 원소의 수 이론 책 (책 VII, VIII 및 IX)의 내용과 거의 동일하지만 접근 방식은 다르다. 유클리드는 특정 값을 할당하지 않고도 일반적으로 숫자로 작업할 수 있는 시스템인 문자가 부착된 직선으로 숫자를 표현한 반면, 니코마코스는 명확한 값을 가진 문자로 숫자를 표현하여 결정되지 않은 숫자를 구별하기 위해 모든 종류의 둘레에 의지해야 했다. 유클리드는 항상 니코마코스에게 전적으로 부족한 그의 명제에 대한 증거를 제공했다. 때때로 니코마쿠스는 단순히 일반적인 결과를 말하고 그에 대한 구체적인 예를 제시했으며, 다른 경우에는 제시된 특정 예에서 추론할 수 있는 일반적인 명제를 남겨 두었다.

 

유클리드는 니코마코스의 철학적 성향(더 정확하게는 피타고라스적 성향)을 공유하지는 않았지만, 보다 엄격하게 과학적 수준을 유지했다. 니코마쿠스의 논문은 아마도 그가 창의적인 수학자가 아니었고, 당시까지 중요한 발견을 초보자에게 알리기 위해 고안된 산술의 대중적인 치료법을 의도했기 때문에 이런 식으로 썼을 것이다. 

독창성이 부족하고 수학적 빈곤에도 불구하고 니코마쿠스의 입문은 저술 당시부터 1500년대까지 라틴 서양의 주요 교과서가 되었다. 아랍 세계도 9세기에 타빗 이븐 코라의 인트로포르티오 번역본을 통해 그리스 산술에 대해 알게 되었다. 실제로 니코마쿠스 논문의 영향력은 고대에 나타난 버전이나 주석의 수와 인용한 저자의 수로 판단할 수 있다. 2세기 그리스 작가 루키안은 계산기에 대해 최고의 찬사를 보내며 다음과 같이 말한 것으로 이 책의 명성을 알 수 있다: "당신은 게라사의 니코마커스처럼 계산하는군요."

 

기원전 450년경 그리스인들은 숫자를 표현하기 위해 알파벳 표기를 채택했는데, 그리스 알파벳의 처음 9글자는 처음 9개의 정수를, 다음 9글자는 10의 처음 9개의 정수 배수를, 마지막 9글자는 100의 처음 9개의 정수 배수를 나타낸다(현재 그리스 알파벳에는 없는 3개의 오래된 글자가 필요한 27을 만들기 위해 도입되었다.). 초기 피타고라스인들은 숫자 기호가 없었을 가능성이 높기 때문에 숫자를 모래 위에 놓인 자갈이나 특정 기하 패턴의 점처럼 엄격하게 시각적인 방식으로 생각했을 것이다. 따라서 숫자는 점의 배열에 의해 만들어진 모양에 따라 삼각형, 정사각형, 오각형 등으로 분류되었다. 기하학적 형태로 표현할 수 있는 숫자를 오늘날에는 비유수 또는 다각형 수라고 하며, 니코마코스는 이러한 숫자를 도입부에서 고려했다. 피타고라스 자신은 적어도 삼각형 수와 정사각형 수에 대해 잘 알고 있었으며, 다른 다각형 수는 후대의 학교 구성원들에 의해 다루어졌다.

숫자 1, 3, 6, 10은 각각 정삼각형에 균등하게 배열할 수 있는 점의 수를 세기 때문에 삼각형 수의 예이다.

 

 

마찬가지로 숫자 1, 4, 9, 16은 점으로 정사각형으로 표현할 수 있기 때문에 정사각형 수라고 한다.

 

 

이러한 구성에서 몇 가지 주목할 만한 수 이론적 법칙을 읽어낼 수 있다. 예를 들어, 연속된 두 삼각형 수의 합은 항상 두 삼각형 중 더 큰 삼각형의 '변'이 '변'과 같은 정사각형 수와 같다. 이는 다음 그림에서와 같이 점을 슬래시로 구분한 다음 숫자를 세어 기하학적으로 확인할 수 있다. 대수적 인수로 결과를 증명하는 것도 마찬가지로 쉽다.

 

 

그러나 먼저 삼각형 숫자가 어떻게 형성되는지 주목하자. 각각의 새로운 삼각형 숫자는 이전 행에 추가된 점보다 하나 더 많은 점을 포함하는 다른 행을 추가하여 이전 삼각형 숫자에서 얻는다. 따라서 $t_n$이 $n$번째 삼각형 수를 지정하면 다음과 같다.

$$ t_n = t_{n-1}+n $$

$$ = t_{n-2}+(n-1)+n $$

$$ \vdots $$

$$ = t_1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n $$

$$ = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n $$

 

우리의 계획은 각각 $t_n$을 나타내는 두 개의 삼각형(따라서 각각은 $n$줄의 점으로 구성됨)을 합쳐서 변의 길이가 $n$과 $n + 1$인 직사각형 배열을 만드는 것이다. 다음 그림에서 예를 들어, $n = 5$.

 

 

이러한 배열에는 $n(n + 1)$ 개의 점이 포함되어 있음이 분명합니다.

$$ 2t_n = n(n+1)$$

아니면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ t_n = {{n(n+1)} \over {2}} $$

이 공식을 사용하면 $n$ 번째 정사각형 숫자 $s_n$이 두 개의 연속된 삼각형 숫자의 합이라는 것을 쉽게 알 수 있다.

$$ s_n = n^2 = {{n(n+1)} \over {2}} + {{(n-1)n} \over {2}} = t_n + t_{n-1} $$

조각을 모으면 보너스로 처음 $n$개의 숫자의 합에 대한 식을 얻을 수 있다:

$$ 1+2+3+ \cdots + n = {{n(n+1)} \over {2}} $$

마찬가지로 처음 $n$개의 홀수의 합에 대한 공식도 찾을 수 있다. 적절한 출발점은 한 변에 $n$개의 점으로 구성된 정사각형을 $n-1$ 변의 작은 정사각형과 L자 테두리(노몬 )로 나눌 수 있다는 관찰이다.

 

 

다음 다이어그램에서와 같이 이 세분화를 반복하면 연속적으로 중첩된 사각형 사이의 차이가 홀수 시퀀스를 생성한다는 것이 분명해진다.

$$ 1+3+5+ \cdots + (2n-1) = n^2 $$

 

 

피타고라스는 이 결과를 증명하기 위해 먼저 다음과 같은 $n$개의 방정식을 고려했을 것이다.

$$ 1^2 =1 $$

$$ 2^2 - 1^2 = 3 $$

$$ 3^2 - 2^2 = 5 $$

$$ 4^2 - 3^2 = 7 $$

$$ \vdots $$

$$ n^2 - (n - 1)^2 = 2n-1 $$

이 방정식을 추가하면 다음을 얻을 수 있다.

$$ 1^2 + (2^2 - 1^2)+(3^2 - 2^2) + \cdots + [n^2 - (n-1)^2] $$

$$ = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) $$

다음과 같이 식을 줄일 수 있다.

$$ n^2 = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) $$