[수학의 역사] 고대 이집트의 기하학

원의 면적 근사화

 

기하학의 기원에 대한 일반적인 설명은 고대 이집트에서 매년 나일강의 범람으로 과세 목적으로 토지 소유의 크기를 재측량해야 했던 고대 이집트에서 기하학이 생겨났다는 것이다. 실제로 '땅'과 '측정'을 의미하는 그리스어 두 단어의 합성어인 '기하학'이라는 명칭은 토지 측량의 필요성에서 비롯된 것으로 보인다. 기원전 460~455년경 나일강을 방문했던 그리스 역사가 헤로도토스는 최초의 체계적인 기하학적 관측이 어떻게 이루어졌는지 설명했다.

 

"그들은 또한 이 왕[세소트리스]이 모든 이집트인에게 땅을 나누어 각자에게 같은 크기의 사각형으로 나누고 매년 세금을 부과하여 각자의 수입에서 가져오도록 했다고 말했다. 하지만 강이 범람으로 무엇이든 빼앗긴 사람은 누구든지 그에게 가서 무슨 일이 있었는지 알려야 했다. 그런 다음 그는 감독관을 보내 땅이 얼마나 작아졌는지 측정하여 소유자가 부과된 전체 세금에 비례하여 남은 건 돌려줄 수 있도록 했다. 이런 식으로 기하학이 시작된 것 같다."

 

기하학의 첫 단계에 대해 궁극적으로 어떤 의견이 채택되든, 비옥한 토양을 조금이라도 경작하는 게 중요했던 나라에서 토지 측정이 점점 더 중요해졌다고 가정하는 것이 안전해 보인다. 이를 위해 이집트인이 수학에서 얻은 놀라운 결과 중 일부를 설명해야 한다.

 

측량 작업은 후대 그리스인들이 밧줄 잡이(rope-stretchers)라고 불렀던 전문가들이 수행했는데, 이들의 주요 도구는 매듭이나 표시가 일정한 간격으로 있는 밧줄이었기 때문이다. 기원전 420년경에 써진 한 구절에서 그리스 철학자 데모크리토스(기원전 460~370년)는 당시에도 이집트 측량사가 자신과 거의 동등한 기술을 보유하여 위대한 측량사들 사이에서 높은 순위를 차지했다고 증언한다. 그는 “이집트인 사이에서 소위 밧줄을 이용한 밧줄 잡이조차도 증거를 가지고 평면 도형을 만드는 데는 나를 능가할 수 없다”라고 자랑했다.

 

Rope stretcher

 

약 4000년 전 이집트의 기하학에는 무엇이 있었을까? 우리에게 전해진 수학 파피루스는 이론적 동기 없이 가장 친숙한 평면과 입체 도형의 면적과 부피를 결정하는 방법과 같은 규칙에 대한 수많은 구체적인 예가 담겨 있다. 이러한 계산 규칙은 오랜 시행착오와 관찰을 통해 축적된 엄밀한 경험적 결과로 인정해야 한다. 이집트인은 연역적 추론 과정을 통해 그러한 사실을 증명할 필요 없이 측정과 관련된 유용한 사실을 찾았다. 그들의 공식 중 일부는 대략적으로만 정확했지만, 일상생활의 실질적인 요구에 충분히 수용할 수 있는 결과를 제공했다.

 

기원전 100년경 에드푸의 호루스 신전에 세워진 위대한 헌정 비문에는 신전에 선물로 바친 수많은 4면 밭에 대한 언급이 있다. 이들 각각에 대해 반대쪽 두 쌍의 평균 곱을 취하여, 즉 다음 공식을 사용하여 면적을 구했다.

 

$$ A= {1 \over 4} (a+c) (b+d) $$

 

여기서 a, b, c, d는 연속된 변의 길이이다. 이 공식은 명백히 틀린 공식이다. 각 항이 대략 직사각형일 때만 상당히 정확한 답을 제공한다. 흥미로운 점은 사변형의 넓이에 대한 이와 같은 잘못된 공식이 3000년 전 고대 바빌로니아에서도 등장했다는 사실이다.

 

린드 파피루스의 기하학 문제는 41~60번으로, 주로 직사각형과 원통형 곡물 창고에 저장된 곡물의 양과 관련된 문제이다. 이집트인이 2차원 기하학에서 이룬 최고의 업적은 아마도 문제 50에 등장하는 원의 넓이를 구하는 방법이었을 것이다.

 

“지름 9 khet의 둥근 들판의 예이다. 그 면적은 얼마일까? 지름의 9분의 1, 즉 1을 빼면 나머지는 8이다. 8에 8을 곱하면 64가 된다. 따라서 64 setat의 땅을 포함한다.”

 

따라서 작성자 원의 넓이를 구하는 과정을 간단히 설명할 수 있다. 지름에서 1/9 부분을 빼고 나머지를 제곱한다. 현대 기호에서 이것은 다음과 같은 공식에 해당한다.

 

$$ A= (d-{d \over 9})^2=({8d \over 9})^2 $$

 

여기서 d는 원의 지름을 나타내는 길이이다. 이를 원의 면적에 대한 실제 공식과 비교하면 다음과 같다.

 

$$ {\pi d^2 \over 4}=({8d \over 9})^2 $$

 

원주율을 계산하면 다음과 같다.

 

$$ \pi = 4({9 \over 8})^2=3.1605 \ldots $$

 

이는 3 1/7에 가까운 근사치이며, 많은 학생이 실용적인 용도로 사용할 만하다고 생각한다.

 

고대 바빌로니아 시대(대략 기원전 1800~1600년)에는 원의 둘레를 지름의 세 배로 구하는 방법으로 원의 둘레를 구했다. 이를 $ \pi d $와 같이 계산하면 $ \pi $의 값에 3을 사용하는 것과 같다. 히브리인은 솔로몬 성전에 있는 목욕탕의 치수를 묘사한 열왕기상 7:23과 같이 구약 성경에서도 같은 값을 사용했다. 이 구절은 기원전 650년경에 기록된 것으로, 기원전 900년경의 성전 기록에서 가져온 것으로 추정된다. “그가 녹은 바다를 만들었으니 그 둘레가 한쪽 가장자리에서 다른 쪽 가장자리까지 10큐빗이요. … 그 둘레가 둥글고 30큐빗의 줄이 그 둘레를 둘러싸더라”라고 기록되어 있다. 1936년 프랑스 고고학 탐험대가 수사에서 발견한 쐐기문자 석판(해석은 1950년에 발표됨)은 바빌로니아 필기자가 $ \pi $의 값으로 3;7,30 또는 3⅛을 채택한 것으로 보인다. 이것은 적어도 이집트인이 발견한 근사치만큼이나 좋은 값이다.

 

원의 넓이에 대한 공식 $ A=(8d/9)^2 $가 어떻게 얻어졌는지에 대한 직접적인 지식은 없지만, 린드 파피루스의 48번 문제가 힌트를 제공할 가능성이 있다. 이 문제에서 작성자가 제안한 일반적인 설명은 매우 대충 그려졌지만, 꼭짓점에 네 개의 삼각형이 있는 정사각형을 가장 강력하게 암시하는 그림으로 대체되었다. 그림의 중앙에는 9를 나타내는 데모틱 기호가 있다. 따라서 필기자는 변을 삼등분하고 네 모서리 이등변 삼각형(각 삼각형의 면적은 9/2 제곱 단위)을 잘라내어 9제곱 단위의 정사각형에서 팔각형을 형성한 것으로 보인다. 작성자는 새겨진 원의 일부가 팔각형의 바깥쪽에 있고 일부가 안쪽에 있어 거의 같은 면적으로 보이기 때문에 팔각형과 사각형에 새겨진 원의 면적이 거의 같다고 결론을 내렸을 수 있다.

 

 

이제 팔각형의 면적은 원래 정사각형의 면적에서 잘린 네 모서리로 구성된 네 개의 이등변 삼각형의 면적을 뺀 값, 즉 원래 정사각형의 면적과 같다.

 

이는 $ (8d/9)^2 $ 식에서 $ d=9 $를 취하면 얻을 수 있는 값과 거의 같다. 따라서 면적 공식 $ A=(8d/9)^2 $ 에 대한 가능한 설명은 팔각형을 정사각형에 새겨진 원에 대한 첫 번째 근사치로 간주하는 데서 비롯되었다.

 

린드 파피루스 문제 52는 겉으로 보기에 기울어진 변의 길이가 같은 사다리꼴(잘린 삼각형으로 묘사됨)의 넓이를 구하는 문제로, 평행 변의 길이 6과 4, 비스듬한 변의 길이 20이 주어진다.

 

 

계산은 다음 공식을 사용하여 수행한다.

 

파피루스의 작성자는 사다리꼴의 면적이 평행한 변의 길이에 경사 높이를 더한 값의 절반이라고 생각했을까, 아니면 비스듬한 변 하나가 평행한 변과 수직이 되도록 의도했을까? 후자의 경우, 그가 맞았을 것이다. 대략적인 스케치에 불과한 도형이 잘못 그려져 겉보기에 평행한 변 중 하나가 실제로는 평행한 변과 수직이 될 가능성은 전혀 없다.