[수학의 역사] 고대 바빌로니아의 자릿수 숫자 체계

 
지난 반세기 동안의 철저한 연구 결과, 바빌로니아 수학은 이전에 상상했던 것보다 훨씬 더 발전된 수준에 이르렀음이 분명하다. 바빌로니아인은 그리스 이전 시대의 유일한 민족으로, 자릿수 기반 숫자 체계의 일부를 사용한 유일한 민족이었다. 이 체계는 자릿수 값의 개념에 바탕을 두고 있으며, 기호의 값은 숫자 표현에서 차지하는 자릿수에 따라 결정된다. 다른 숫자 체계와 비교하여 이 체계의 가장 큰 장점은 숫자의 크기에 상관없이 제한된 기호로 숫자를 표현할 수 있다는 것이었다. 바빌로니아의 숫자 체계는 십진법(10진수)이 아니라 육십진법(60진수)이었기 때문에, “숫자”가 왼쪽으로 한 글자 이동할 때마다 그 값은 60배로 증가한다. 60진법에서 정수를 표현할 때, 마지막 자리는 1부터 59까지의 숫자를 나타내며, 그다음 자리는 60의 배수를 나타내며, 그 앞에는 60의 제곱인 60²의 배수가 자리한다. 예를 들어, 바빌로니아 숫자 3 25 4는 다음을 의미할 수 있다.
 

3 · 60² + 25 · 60 + 4 = 12,304
3 · 10³ + 25 · 10 + 4 = 3254

 
바빌로니아의 60진법 자릿수 표기법은 1854년 유프라테스 강변의 센케라에서 영국 지질학자 W. K. 로프터스가 발견한 두 개의 점토판으로 확인되었다. 이 점토판은 아마도 함무라비 시대(기원전 2000년경)에 제작된 것으로 추정되며, 1부터 59까지 모든 정수의 제곱과 32까지의 세제곱을 기록하고 있다. 제곱수 표는 7²(49)까지 쉽게 읽을 수 있다. 64가 있어야 할 자리에 1 4가 기록되어 있으며, 이건 1이 60을 의미한다는 것 외에는 의미가 없다. 8² 다음에 9²의 값이 1 21로 표시되어 있는데, 이건 왼쪽의 숫자가 60을 나타낸다는 것을 다시 한번 의미한다. 이 표 전체에 걸쳐 동일한 방식이 사용되어 마지막 항목인 58 1에 도달한다. 이 숫자는 다음을 의미할 수밖에 없다.
 

58 1 = 58 · 60 + 1 = 3481 = 59²

 
이집트 상형문자의 숫자 표기의 단점은 분명하다. 작은 숫자도 표현하려면 비교적 많은 기호가 필요했고 (999를 표현하려면 27개 이상의 쐐기문자가 필요했다), 10의 제곱이 증가할 때마다 새로운 기호를 만들어야 했다. 반면 바빌로니아의 숫자 표기는 두 개의 쐐기 모양 문자를 강조했다. 단순한 수직 쐐기는 1의 값을 가지며, 9까지 사용할 수 있었고, 넓은 수평 쐐기는 10을 의미하며 최대 5번까지 사용할 수 있었다. 바빌로니아인은 이집트인과 동일한 원리를 적용해 이 기호의 조합으로 모든 다른 수를 만들었으며, 각 기호는 필요한 만큼 반복되어 표현되었다. 두 기호를 함께 사용할 경우, 십의 자리를 나타내는 기호는 일의 자리 기호 왼쪽에 배치되었다. 예를 들어,
 

기호의 밀집된 그룹 사이의 적절한 간격은 60의 내림차순 지숫값에 해당하며, 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는다. 예를 들어, 다음과 같다.
 

이 문자는 1 · 60³ + 28 · 60² + 52 · 60 + 20 = 319,940으로 해석할 수 있다. 바빌로니아인은 때때로 감산 기호를 사용하여 이 체계의 어색함을 해소했다. 이 기호를 사용하면 19와 같은 숫자를 20-1의 형태로 쓸 수 있다.
 

10을 의미하는 기호 대신에 9를 사용하면 다음과 같다.
 

 
바빌로니아 자릿수 표기법은 초기 발전 단계에서 0을 나타내는 기호가 없었기 때문에 서로 다른 해석이 가능했다. 숫자 사이의 차이를 구분할 방법이 없었다.

1 · 60 + 24 = 84 그리고 1 · 60² + 0 · 60 + 24 = 3624

 
쐐기문자로 나타내면 다음과 같다.
 

 
모호함을 해소하려면 문맥에 의존할 수밖에 없었다. 공백은 종종 60진법 숫자의 한 자리가 빠진 것을 나타내려고 사용했지만, 이 규칙이 엄격히 적용되지 않아 혼동이 발생할 수 있었다. 점토판을 다시 복사하는 사람은 공백을 알아차리지 못하고 숫자를 더 가까이 배치할 수 있었으며, 이에 따라 숫자의 값이 변경될 수 있었다. (자릿수 숫자 체계에서는 공백의 존재를 명시해야 하므로, 이집트인은 이 문제를 겪지 않았다).
 
기원전 300년부터는 숫자 내부의 두 자리 사이에 공백을 표시하는 자리 표시자 역할을 하는 구분 기호라는 별도의 기호가 도입되었다. 이를 통해 숫자 84는 3624와 쉽게 구분할 수 있게 되었고, 3624는 다음과 같이 표시됩니다.
 

 
혼란은 끝나지 않았다. 바빌로니아의 분리 기호는 중간에만 사용되었고, 숫자의 끝에서 숫자가 없다는 것을 표시하는 기호가 여전히 존재하지 않았기 때문이다. 서기 150년경, 알렉산드리아의 천문학자 프톨레마이오스는 오미크론(ο, 그리스어 ουδεν, “아무것도 없다”의 첫 글자)을 우리 숫자 0과 같은 방식으로 중간뿐만 아니라 끝에서도 사용하기 시작했다. 프톨레마이오스가 ο를 다른 숫자와 함께 계산에 사용할 수 있는 숫자로 여겼다는 증거는 없다.

숫자의 끝부분에 0이 없는 것은 가장 낮은 자리가 1인지, 60의 배수인지, 60²인지, 아니면 1/60의 배수인지 구분할 수 없다는 것을 의미했다. 기호 2 24의 값은 다음과 같다.

2 · 60 + 24 = 144

 
다른 번역도 가능하다.
 

2 · 60² + 24 · 60 = 8640

 
또는 일부분으로 생각하면 다음과 같다.
 
$$ 2+ \frac{24}{60} = 2 \frac{2}{5} $$

따라서 고대 바빌로니아인은 절대적인 자릿수 체계를 달성하지 못했다. 그들의 숫자 표현은 숫자의 상대적 순서를 나타냈고, 60진법으로 쓰인 숫자의 크기는 문맥만으로 결정되었다. 기수가 매우 크기 때문에, 의도된 값이 무엇인지는 분명했다. 이 단점을 보완하려고, 정수와 분수를 구분하려고 세미콜론을 사용하고, 다른 모든 60진법 자리는 쉼표로 구분하기로 하자. 이 규칙에 따라 25,0,3;30과 25,0;3,30은 각각 다음과 같은 의미가 있다.
 
$$ 25 \cdot 60^2 + 0 \cdot 60 + 3 + \frac{30}{60}= 90,003 \frac{1}{2} $$

그리고
 
$$ 25 \cdot 60 + 0 \cdot \frac{3}{60} + \frac{30}{60^2}= 1500 \frac{7}{120} $$

세미콜론과 콤마는 원래의 쐐기문자 문장에는 존재하지 않았다는 점에 유의하자.
 
60진법이 어떻게 탄생했는지에 대한 의문은 오래전부터 제기되어 왔으며, 시대에 따라 다양한 답변이 제시됐다. 4세기 학자 알렉산드리아의 테온에 따르면, 60은 모든 수 중에서 가장 편리한 수였다고 한다. 이건 60이 가장 많은 약수를 가진 수 중에서 가장 작은 수였기 때문이며, 따라서 가장 다루기 쉬운 수였기 때문이다. 테온의 요점은 60에는 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 등 많은 진 약수가 있기 때문에 특정 유용한 분수를 편리하게 표현할 수 있다는 것이었다. 정수 30, 20, 15는 1/2, 1/3, 1/4을 나타낼 수 있다.

$$ \frac{1}{2} = \frac{30}{60}= 0;30 $$
$$ \frac{1}{3} = \frac{20}{60}= 0;20 $$
$$ \frac{1}{4} = \frac{15}{60}= 0;15 $$

무한한 60진법 확장을 가진 분수는 유한한 분수로 근사화하여 모든 숫자가 정수의 형태를 나타냈다. 그 결과 이집트인은 모든 분수를 분자가 1인 분수의 합으로 줄여 계산을 단순화할 수 있었다.
 
다른 학자는 60진법 체계에 ‘자연적’ 기원을 부여했다. 그들의 이론은 초기 바빌로니아인이 한 해를 360일로 계산했으며, 처음에는 360이라는 더 높은 기수를 선택한 후 60으로 낮췄다는 것이다. 아마도 가장 만족스러운 설명은 두 민족이 합병하면서 한 민족은 십진법을 채택했고, 다른 민족은 2와 3으로 나눌 수 있는 6진법을 채택한 것이 진화한 결과라고 할 수 있다. (십진법의 기원은 논리적인 것이 아니라 해부학적이다. 인간은 손가락과 발가락이라는 자연적인 주판이 제공되어 왔기 때문이다.)
 
바빌로니아의 자릿수 체계가 이집트의 단위 분수를 바탕으로 한 덧셈 계산 방식과 비교하여 갖는 장점은 너무도 명확했기 때문에, 이 방법은 천문학자 사이에서 주요 계산 도구로 자리 잡았다. 이 수치 표기법은 프톨레마이오스의 뛰어난 작품인 《메갈레 신타시스》(The Great Collection)에서 완전히 사용되고 있다. 아랍인은 나중에 이 방법을 서양에 전파했으며, 흥미로운 이름인 《알마게스트》(The Greatest)로 불리게 되었다. 《알마게스트》는 그 전작들을 완전히 압도하여 코페르니쿠스 시대에 이르기까지 천문학의 기본 교과서로 자리매김했다. 초기 장 중 하나에서 프톨레마이오스는 “이집트 분수의 불편함을 피하고자” 모든 계산을 60진법 체계로 수행할 것이라고 선언했다.