열역학 기본 이론 — 노즐 유동 방정식의 이해

1. 에너지 보존과 엔탈피

노즐 내부 유동을 분석하는 출발점은 에너지 보존 법칙이다. 노즐 내부가 단열 조건이라면, 외부와의 열 교환이 없으므로 에너지 총합은 항상 일정하게 유지된다. 이때 유동장에서 가장 유용한 물리량은 엔탈피(enthalpy) 로, 이는 기체의 내부 열에너지와 유동이 경계를 가로지르며 한 일(flow work)의 합으로 정의된다.

 

이상 기체에서 엔탈피는 정압 비열(Cₚ)과 절대 온도(T)의 곱으로 표현되며, 단위 질량당 총 정체 엔탈피는 다음과 같이 일정하게 유지된다.

$$h + \frac{V^2}{2} = \text{const} $$

즉, 유체가 가속될수록 속도에너지($V^2/2$)가 증가하고, 그만큼 엔탈피($h$)는 감소한다. 두 단면 1과 2 사이의 등엔트로피 유동에서 에너지 보존은 다음과 같다.

$$C_p(T_1 - T_2) = \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} $$

엔탈피의 감소가 곧 운동에너지의 증가로 전환됨을 보여주는 핵심 관계식이다.

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2. 질량 보존과 연속 방정식

하나의 입구와 출구를 가진 정상 상태 유동에서 질량 보존 법칙에 의해 임의의 두 단면에서 질량 유량($\dot{m}$)은 동일하다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$$\dot{m} = \frac{A_1 V_1}{v_1} = \frac{A_2 V_2}{v_2} $$

여기서 $A$는 단면적, $V$는 유속, $v$는 비체적(specific volume)이다. 단면적이 줄어들면 속도가 빨라지고, 단면적이 넓어지면 속도가 느려지는 물리적 직관과 정확히 일치한다.

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3. 이상기체 법칙

기체의 압력($p$), 비체적($v$), 온도($T$) 사이의 관계는 이상기체 법칙으로 표현된다.

$$pv = RT $$

기체 상수 $R$은 표준 대기의 기체 상수($R_0 = 8{,}314.3\ \text{J/kmol·K}$)를 기체 혼합물의 분자량($M$)으로 나누어 구한다. 비열비($\gamma$)와 정압 비열($C_p$), 정적 비열($C_v$) 사이의 관계는 다음과 같다.

$$\gamma = \frac{C_p}{C_v} $$

$$C_p - C_v = R $$

$$C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} $$

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4. 등엔트로피 유동

충격이나 마찰이 없는 이상적인 유동에서 엔트로피 변화는 0이며, 이를 등엔트로피 유동이라 한다. 두 점 1과 2 사이에서 압력과 온도, 비체적 사이에는 다음 관계가 성립한다.

$$\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\gamma} $$

노즐에서 등엔트로피 팽창이 일어나는 동안 압력은 감소하고, 절대 온도는 소폭 하강하며, 비체적은 증가한다.

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5. 정체 조건과 정체 온도

유동이 등엔트로피로 팽창하지 않거나, 유속이 0에 가까워지는 조건을 정체 조건(stagnation condition) 이라 하며, 아래 첨자 '0'으로 표기한다. 정체 온도($T_0$)는 다음 에너지 식으로 구한다.

$$T_0 = T + \frac{V^2}{2C_p} $$

단열 유동에서 정체 온도는 항상 일정하게 유지된다. 정체 압력($p_0$)과 국부 압력($p$)의 관계는 다음과 같다.

$$\frac{p_0}{p} = \left(\frac{T_0}{T}\right)^{\gamma/(\gamma-1)} $$

국부 속도가 0에 가까워질수록 국부 온도와 압력은 각각 정체 온도와 정체 압력에 수렴한다. 따라서 연소실에서의 국부 연소압력은 정체 압력과 동일하다고 볼 수 있다.

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6. 음속과 마하수

이상 기체에서 음속($a$) 은 압력과 무관하며, 비열비($\gamma$)와 기체 상수($R$), 절대 온도($T$)만의 함수다.

$$a = \sqrt{\gamma R T} $$

마하수(Mach number, $M$) 는 유동 속도($V$)와 국부 음속($a$)의 비율로 정의되는 무차원 변수다.

$$M = \frac{V}{a} $$

• $M < 1$ : 아음속(subsonic) 유동
• $M = 1$ : 음속(sonic) 유동 — 모든 초음속 노즐의 노즐목(throat)에서 발생
• $M > 1$ : 초음속(supersonic) 유동

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7. 마하수와 정체 조건의 관계

정체 온도와 마하수 사이의 관계는 다음과 같다.

$$\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2 $$

정체 압력과 마하수 사이의 관계는 다음과 같다.

$$\frac{p_0}{p} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)} $$

온도와 달리, 정체 압력은 등엔트로피 유동에서만 일정하게 유지된다는 점에 주의해야 한다.

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8. 면적비와 마하수

등엔트로피 유동에서 노즐의 면적비($A/A^*$) 는 마하수만의 함수로 표현된다.

$$\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{(\gamma+1)/2(\gamma-1)} $$

여기서 $A^*$는 마하수가 1인 노즐목의 단면적이다. 아음속 구간에서 연소실의 수축비는 통상 3~6 수준이며, 초음속 구간으로 갈수록 면적비는 급격히 증가한다. 팽창비는 비열비($\gamma$)의 영향을 크게 받아, 마하수 4 기준으로 15~30 사이의 값을 가진다. <끝>