책상 옆 도서관

항복이나 파괴로 파손 예측에 관심이 있을 때는 적합한 응력 값을 선택하고 적절한 파괴 이론을 적용하는 것이 중요하다. 일반적으로 폭넓게 사용하는 파괴 이론에 관해 설명한다. 고전적인 파괴 이론은 거시적으로 존재하는 균열이나 좌굴, 크리프, 과도한 탄성 파괴는 제외하고, 주로 재료 파괴와 관련된 것들이다.

이 파괴 이론은 대부분 이론적으로 유도된 것이 아니라 실험 데이터의 분석을 통해 정립되었다. 일반적으로 문헌상의 재료 데이터는 대부분 축 응력 상태의 실험에 의한 것이지만, 실제 공학 문제는 보통 2축 이상의 복잡한 응력 상태이다. 또한, 재료는 특정한 온도나 하중 조건에서는 연성 거동을 보이지만, 다른 조건에서는 취성 상태로 파괴될 수도 있다. 따라서 해석 방법과 관계없이 특정 실험 조건에 대한 하중 경로와 재료의 특징을 이해하는 게 매우 중요하다.

연성 파괴(ductile failure) 이론

정적 하중을 받는 연성 재료는 파괴 없이 항복 때문에 응력의 재분포가 발생할 수 있다. 이러한 현상은 금속 부품의 박판 성형(stamping)으로 설명할 수 있다. 항복점을 초과하여 하중을 작용시키면 잔류 응력이 남게 된다. 하중을 제거한 후 재차 같은 방향으로 하중을 가하면 탄성 범위는 확장되는 반면 하중을 반대 방향으로 가하면 탄성 범위는 축소된다. 이 현상을 바우싱거(Bauschinger) 효과라고 한다. 연성 파괴는 소성 변형이 상당히 발생한 후에 느린 균열 또는 기공이 확대되는 특징을 가진다.

최대 수직 응력 이론(Maximum normal stress theory):인장 또는 압축 상태에서 $\sigma_1$ 또는 $\sigma_3$가 파괴강도에 도달할 때 파괴가 발생한다. 항복에 의한 파괴는 항복 강도에 도달할 때 발생하고, 파괴에 의한 파손은 극한강도에 도달할 때 발생한다.

최대 전단 응력 이론(Maximum shear stress theory, Tresca criterion):최대 전단 응력이 항복 강도의 1/2과 같을 때 항복이 시작되며, 인장 하중이 작용하는 방향과 45도를 이루는 면에서 파괴가 발생한다. 열처리한 연성 재료는 이 이론에 따라 파괴되는 경향이 있다. 이 이론은 항복 파괴만 예측하므로 연성 재료일 경우에만 유효하다. 최대 전단 응력은 $ \tau_{max} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2 $으로 계산되며, 주응력 $ \sigma_1 $과 $ \sigma_3 $이 이루는 평면에 대하여 45° 회전한 평면에서 발생한다. 이 이론은 항복이 재료의 원자 수준에서 전단 미끄러짐(shear slip)과 관련된다는 사실로부터 유추되었다.

변형 에너지 이론(von Mises-Henky theory, Distortion energy theory):가장 광범위하게 사용되는 이론으로, von Mises 또는 유효 응력이 재료의 항복 강도에 도달할 때 항복에 의한 파괴가 발생한다. 이 유효 응력은 변형률 에너지 가설에 기초하여 유도되었으며 다음 식으로 표현된다.

$$ \sigma_{vm} = \left[ {(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_1 - \sigma_3)^2} \over {2} \right]^{1/2} $$

이 식의 장점은 매우 복잡한 응력 상태에도 적용할 수 있다는 점이다.

위 그림은 평면 응력 상태에서 연성 파괴 이론을 표현한 것이다. 타원과 다이아몬드 다각형으로 둘러싸인 영역은 각각 변형 에너지 이론과 최대 전단 응력 이론에 의해 안전하다고 판단되는 응력 상태를 나타낸다.

만약 $\sigma_1$과 $\sigma_2$의 부호와 크기가 비슷하면, 최대 수직 응력 이론은 합리적으로 거동을 예측하지만, 이 이론이 적용될 수 있는 모든 상황을 파악하기는 어렵다. 최대 전단 응력 이론은 보수적이지만 설계 관점에서는 수용할 수 있다. 그러나 시험 데이터와 가장 잘 일치하는 것은 변형 에너지 이론이다.

취성 파괴(brittle failure) 이론

취성 재료는 부서지기 전까지는 파괴되었다고 간주할 수 없다. 이러한 현상은 최대 인장응력이 극한 인장강도에 도달할 때 발생하는 인장 파괴나, 최대 압축응력이 극한 압축강도에 도달할 때 발생하는 전단 파괴(shear failure)를 통해서 나타난다. 전단 파괴는 최대 압축응력 시 경사진 면에서 발생하지만, 이 면이 최대 전단 응력 평면은 아니므로 이것을 순수한 전단 파괴로 볼 수는 없다.

최대 수직 응력(Maximum normal stress): 연성 재료에서 정의한 것과 유사하며, 파괴는 항복 강도가 아닌 극한강도에 도달할 때 발생한다.

모어-콜롬 이론(Mohr-Coulomb): 최대 주응력과 최소 주응력의 조합이 다음 조건식을 만족할 때 파괴가 발생한다.

$$ {{\sigma_1} \over {S_{ut}}} - { {\sigma_3} \over {S_{uc}}} \ge 1$$

여기서 $S_{ut}$와 $S_{uc}$는 극한 인장강도 및 극한 압축강도를 나타내며, $\sigma_3$와 $S_{uc}$는 항상 음수, 즉 압축응력이다.

이 이론은 연성 및 취성 재료에 모두 적용할 수 있지만, 취성 재료가 압축에 더 강하기 때문에 취성 재료에 주로 적용된다. 압축응력이 인장응력보다 우세하면($\sigma_c$ ≫ $\sigma_t$), 이 이론은 가장 신뢰할 수 있다.

모어 수정 이론(Modified Mohr theory): 다음 그림에서 $\sigma_1$이 인장 상태이고, $\sigma_2$가 압축 상태인 2사분면과 4 사분면을 제외하면, 모어-콜롬 이론에서 정의한 것과 같이 파괴가 발생한다. 하지만 2사분면과 4사분면에서는 모어-콜롬 이론보다 재료를 보다 강하게 예측한다.

그림은 외부 직사각형과 외부의 다각형, 내부의 다각형으로 둘러싸인 응력 상태 영역들을 각각 보여준다. 이 영역들은 평면 응력 조건에서 각각 최대 수직 응력과 모어-콜롬 이론, 모어 수정 이론에 의해 예측되는 안전한 응력 상태를 나타낸다.

취성 재료의 시험 데이터와 가장 잘 일치하는 것은 모어 수정 이론이지만, 모어-콜롬 이론이 더 보수적인 예측이기 때문에 설계에서 주로 사용된다.