탈레스 — 수학에 증명을 도입한 최초의 인간

그리스 수학의 출발점

기원전 6세기, 그리스 문명이 전반적으로 꽃을 피우던 시기와 함께 수학도 급격히 성장하기 시작했다. 피타고라스로부터 시작된 수 이론과 기하학은 빠르게 발전했고, 유클리드, 아르키메데스, 아폴로니우스라는 고대의 위대한 기하학자들에게서 절정에 이르렀다.

 

놀라운 사실이 있다. 이 거대한 지적 성취의 대부분이 기원전 350년부터 200년까지, 불과 150년이라는 짧은 기간 동안 이루어졌다는 것이다. 그것도 에게해 본토가 아닌, 알렉산드리아에 정착한 그리스 이민자들의 손에서. 그리고 그 모든 것의 시작에는 한 인물이 있었다.

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밀레투스의 탈레스 — 상인이자 철학자이자 수학자

기원전 625년경, 소아시아 이오니아 해안의 그리스 식민지 도시 밀레투스(Miletus) 에서 탈레스(Thales)가 태어났다. 페니키아 혈통을 지닌 그는 초기에 상업에 종사했으며, 여행을 통해 이집트인들로부터 기하학을, 바빌로니아인들로부터 천문학을 배웠다.

 

후대 그리스인들은 그를 '그리스의 일곱 현자 중 첫 번째' 로 꼽았다. 당시 현자라는 칭호는 보통 뛰어난 정치가나 철학자에게 주어지는 것이었는데, 탈레스는 그 중 유일한 수학자였다. "너 자신을 알라"는 격언을 만든 것으로도 알려진 그는 가장 이상한 것이 무엇이냐는 질문에 이렇게 답했다고 한다.

"늙은 폭군."

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천재의 초상 — 탈레스에 얽힌 이야기들

탈레스에 관해 전해지는 일화들은 그의 다층적인 면모를 잘 보여준다.

 

올리브 농장 독점. 아리스토텔레스의 기록에 따르면, 탈레스는 천문학 지식을 이용해 다음 해 올리브 풍작을 예측했다. 그는 이 정보를 바탕으로 밀레투스 주변의 올리브 농장을 모두 사들였다. 예상대로 풍작이 들었고, 탈레스는 임대 조건을 마음대로 정할 수 있는 독점적 지위에서 막대한 이익을 거뒀다. 철학자도 원하면 충분히 부자가 될 수 있다는 것을 증명해 보인 것이다.

 

영리한 노새. 소금을 운반하던 탈레스의 노새 한 마리가 개울에서 넘어지면 소금이 녹아 짐이 가벼워진다는 것을 알게 된 후, 의도적으로 계속 쓰러지기 시작했다. 탈레스의 대응은 간결했다. 노새의 안장 가방에 소금 대신 스펀지를 가득 채웠다. 물에 젖으면 더 무거워지는 스펀지를 나르게 되자 노새의 꾀는 즉시 사라졌다.

 

도랑에 빠진 철학자. 플라톤이 전하는 이야기는 다소 다르다. 어느 날 밤 탈레스가 별을 바라보며 걷다가 도랑에 빠졌다. 옆에 있던 노파가 한마디 던졌다.

"발밑에 있는 것도 못 보면서, 어떻게 하늘에서 무슨 일이 일어나는지 알 수 있습니까?"

 

이 일화는 이후 수천 년 동안 현실에 둔감한 학자의 전형을 묘사할 때 반복해서 인용되었다.

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탈레스의 진정한 혁명 — 증명의 탄생

탈레스가 남긴 기하학적 명제들 자체는 이집트인들도 알고 있던 것들이었다.

• 반원 안에 새겨진 각은 직각이다
• 원은 지름으로 이등분된다
• 이등변 삼각형의 두 밑변 각은 같다
• 두 직선이 교차할 때 맞꼭지각은 서로 같다
• 닮은 삼각형의 대응변은 비례한다
• 한 변과 그 양 끝 각이 같은 두 삼각형은 합동이다

이집트인들에게 이 사실들은 서로 관련 없는 개별적인 규칙들이었다. 유용하지만 왜 그런지는 설명되지 않는, 축적된 경험의 산물.

 

탈레스가 다른 점은 여기서 나온다. 그는 이 명제들이 왜 참인지를 물었다. 그리고 실험이나 직관이 아닌, 연역적 논리로 그것을 증명하려 했다.

 

5세기의 철학자 프로클로스는 이렇게 기록했다.

"탈레스는 이집트로 가서 기하학을 그리스에 처음으로 가져온 사람이다. 그는 많은 명제를 직접 발견했으며, 후계자들에게 다른 많은 명제의 기본 원리를 공개했다."

 

탈레스 이전에는 수학적 명제가 '이렇게 하면 이렇게 된다'는 형태로 존재했다. 탈레스 이후에는 '왜 그렇게 되는지'를 논리적 단계를 밟아 보여야 했다. 이것이 정리(theorem) 와 증명(proof) 의 탄생이다.

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이집트 수학에서 그리스 수학으로

이집트 수학은 근본적으로 실용의 산물이었다. 피라미드를 짓고, 밭을 재고, 세금을 계산하기 위해 필요한 도구. 원리보다 결과가 중요했고, 왜 그런지보다 어떻게 하는지가 핵심이었다.

 

탈레스가 한 일은 이 풍부한 원료들을 가져와 공통 원리를 추출하고 재구성하는 것이었다. 서로 관련 없어 보이던 규칙들이 하나의 논리적 체계 안에서 연결되기 시작했다. 지식이 더 일반적이 되고, 더 이해하기 쉬워지며, 동시에 새로운 발견의 문이 열렸다.

 

이것이 그리스 수학의 핵심이었다. 탈레스로부터 시작된 연역적 방법 — 엄격한 증명을 통한 정리의 질서 정연한 전개 — 이 이후 그리스 수학 전체의 특징이 되었고, 유클리드의 《원론》에서 그 완성을 보았다.

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최초의 수학자

역사는 언제나 기적의 시작점에 이름을 붙이려 한다. 그래서 탈레스는 '기하학의 아버지', 최초의 수학자라 불린다.

 

어떤 명제가 정확히 그의 것인지는 지금도 논란이다. 그가 남긴 저작은 없고, 기록들은 수백 년 후에 쓰인 것들이다. 그러나 이것만은 분명하다. 탈레스 이전에 수학은 경험과 직관의 축적이었다. 탈레스 이후 수학은 논리와 증명의 학문이 되었다.

 

발밑의 도랑을 보지 못하고 별을 바라보다 빠진 그 사람이, 인류가 수천 년 동안 걸어갈 지적 탐구의 길을 처음으로 닦았다.

 

밀레토스의 신성한 길에 있는 이오니아 스토아