[수학] 논증 기하학의 여명: 밀레토스의 탈레스

그리스 문명은 일반적으로 철기 시대에 시작하여 기원전 5, 4세기에 가장 찬란하게 번성했던 문화를 의미한다. 그리스 수학의 부상도 기원전 6세기 그리스 문명이 전반적으로 융성했던 시기와 일치한다. 피타고라스에서 시작된 수 이론과 기하학은 빠르게 발전하여 초기 그리스 수학은 고대의 위대한 기하학자인 유클리드, 아르키메데스, 아폴로니우스의 연구에서 절정에 이르렀다. 그 이후에는 프톨레마이오스, 파푸스, 디오판투스와 같은 위대한 이름들이 때때로 기억에 남는 업적을 증언하지만, 그 발견은 덜 눈에 띄는 것이었습니다. 이 선구적 공헌자들은 16세기까지 우리가 그리스 수학이라고 부르는 것 이상으로 큰 진전이 거의 이루어지지 않을 정도로 기초 수학의 가능성을 열어주었다. 더욱 놀라운 사실은 기원전 350년부터 200년까지 비교적 짧은 기간 동안, 그리고 옛 에게해 세계가 아니라 프톨레마이오스 왕조 아래 알렉산드리아의 그리스 이민자들에 의해 거의 모든 생산적인 작업이 이루어졌다는 사실이다.

 

전통적으로 특정 수학적 발견과 연관된 최초의 인물은 밀레투스의 탈레스(기원전 625-547년경)와 사모스의 피타고라스(기원전 580-500년경)이다. 탈레스는 페니키아 출신으로, 소아시아 해안에서 그리스 식민지가 약해지던 시기에 이오니아의 도시 밀레투스에서 태어났다. 그는 초기에는 상업에 종사한 것으로 보이며, 여행을 통해 이집트인들로부터 기하학을, 바빌로니아인들에게서 천문학을 배웠다고 한다. 후대의 동포들에게 탈레스는 그리스의 일곱 현자 중 첫 번째 현자이자 유일한 수학자로 존경받는 인물로 알려져 있다. 일반적으로 이 사람들은 학자로서가 아니라 정치가로서 철학적, 윤리적 지혜를 통해 현자라는 칭호를 얻었다. "너 자신을 알라"라는 격언을 만든 것으로 알려진 탈레스는 자신이 본 것 중 가장 이상한 것이 무엇이냐는 질문에 '늙은 폭군'이라고 대답했다고 한다.

 

밀레토스의 신성한 길에 있는 이오니아 스토아

 

고대 의견은 탈레스가 과학만큼이나 정치와 상업에서도 탁월한 재능을 보였다는 데 모두 동의하며, 그의 천재성에 대한 진지하고 환상적인 흥미로운 일화들이 많이 전해져 내려오고 있다. 아리스토텔레스에 따르면, 몇 년 동안 올리브 나무가 열매를 맺지 못하자 탈레스는 자신의 천문학 기술을 이용해 다음 수확에 유리한 기상 조건이 올 것이라는 것을 계산했다고 한다. 예상치 못한 풍작을 예상한 그는 밀레투스 주변의 올리브 농장을 모두 사들였다. 다음 수확하는 계절이 왔을 때 언론의 통제권을 확보한 그는 자신의 임대 조건을 정할 수 있었고, 따라서 큰돈을 벌어 들일 수 있었다. 다른 사람들은 철학자가 원하면 부자가 될 수 있다는 점을 증명한 탈레스가 올리브기름을 합리적인 가격에 팔았다고 말한다.

 

이솝우화에 나오는 또 다른 유명한 이야기이다. 무역을 위해 소금을 실은 탈레스의 노새 중 한 마리가 우연히 개울에서 넘어지면 짐 안에 있는 소금이 녹는다는 사실을 발견한 후, 그 후로 노새는 매번 같은 실수를 반복했다고 한다. 탈레스는 노새의 안장 가방에 소금 대신 스펀지를 넣는 편법으로 이 습관을 막았다. 이것은 사실이 아니더라도 플라톤이 들려주는 재미있는 이야기보다는 확실히 잘 고안된 이야기이다. 플라톤에 따르면 어느 날 밤 탈레스는 산책하며 별을 바라보고 있었다. 그는 별을 너무 열심히 바라보다가 도랑에 빠졌고, 옆에 있던 한 노파가 "발밑에 있는 것도 못보면서 어떻게 하늘에서 무슨 일이 일어나고 있는지 알 수 있습니까?"라고 말했다. 이 일화는 고대 학자들의 비현실적인 성격을 설명하려고 자주 인용되었다.

 

앞서 살펴본 바와 같이 이집트인의 수학은 근본적으로 실용적인 필요를 충족시키려고 조잡하게 만들어진 도구였다. 그리스의 지성은 풍부한 원료를 포착하여 공통의 원리를 재구성함으로써 지식을 더 일반적이고 더 이해하기 쉽게 만드는 동시에 새로운 많은 것을 발견해 냈다. 탈레스는 일반적으로 주장을 뒷받침하기 위해 실험과 직관이 아닌 연역적 추론에 기반한 논리적 증명을 최초로 도입한 인물로 칭송받는다. 프로클로스(약 450년)는 『유클리드 원소론』 제1권 주석에서 다음과 같이 선언했다:

 

탈레스는 이집트로 가서 이 학문[기하학]을 그리스에 처음으로 가져온 사람입니다. 그는 많은 명제를 직접 발견했으며, 후계자들에게 다른 많은 명제의 기본 원리를 공개했는데, 어떤 경우에는 그의 방법이 더 일반적이고 어떤 경우에는 더 경험적인 것이었습니다.

 

현대의 의문에도 불구하고 헤로도토스나 프로클루스와 같은 그리스 역사가들이 탈레스의 수학적 업적을 인정한다면, 그는 다음과 같은 기하학적 명제를 인정받아야 한다.

• 반원 안에 새겨진 각은 직각이다.
• 원은 지름으로 이등분된다.
• 이등변 삼각형의 밑변 각은 같다.
• 두 직선이 교차하는 경우 반대쪽 각도는 같다.
• 비슷한 삼각형의 변은 비례한다.
• 두 삼각형의 한 변과 인접한 두 변의 각도가 서로 같으면 같은 삼각형이다.

이집트 수학에서 그리스 수학으로 이어지는 연속선이 있기 때문에 나열된 모든 사실은 이집트인들에게도 잘 알려져 있었을 것이다. 이집트인들에게는 이 진술이 서로 관련이 없는 것으로 보였겠지만 그리스인들에게는 기하학의 놀라운 발전의 시작이었을 것이다. 기존의 역사는 이러한 경우 '기적'을 일으킬 수 있는 어떤 개인을 찾으려는 경향이 있다. 따라서 탈레스는 전통적으로 기하학의 아버지, 즉 최초의 수학자로 불립니다. 어떤 명제가 그에게 직접적으로 기인한 것인지는 확실하지 않지만, 탈레스가 기하학의 합리적 구성, 즉 연역적 방법에 기여한 것은 분명해 보인다. 엄격한 증명을 통한 정리의 질서 정연한 전개는 완전히 새로운 것이었고 이후 그리스 수학의 특징이 되었기 때문이다.