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성형 해석에서 허용할 수 있는 해가 얻어지면 다음은 계산 시간이 적고 허용할 수 있는 해를 얻는 데 도전한다. 

성형 공정에 걸리는 실제 시간은 외연적 동역학 해석의 표준 시간으로부터 꽤 길어서, 대부분의 성형 해석은 자연 시간 척도로 실행하는 것은 불가능할 정도로 긴 계산 시간이 필요하다. 허용되는 계산 시간의 길이로 수행하려면 가끔 해석을 변경하여 계산량을 줄여야 한다.

해석 계산량을 줄이는 방법은 두 가지가 있다.

1. 같은 성형 과정이 더 짧은 시간에 일어나도록, 펀치의 속도를 인위적으로 늘린다. 이 방법을 하중 속도 스케일링(load rate scaling)이라고 한다.

2. 안정 한계가 증가하면서 해석에 필요한 증분 수가 줄어들도록 요소의 질량 밀도를 인위적으로 늘린다. 이 방법을 질량 스케일링(mass scaling)이라고 한다.

모델에 속도 의존 재료 또는 감쇠가 포함되어 있지 않으면 이 두 가지 방법은 실질적으로 같다.

‘하중 속도’와 ‘금속 성형 문제’는 허용할 수 있는 하중 속도 또는 질량 스케일링을 결정하여 준정역학 해석의 실행 시간을 단축하는 방법을 설명했다. 목표는 관성력이 중요하지 않은 상태를 유지하고 가능한 한 짧은 시간 내에 현상을 만드는 것이다. 의미 있는 준정역학 솔루션을 얻을 수 있는 상태를 유지하면서 스케일링을 얼마나 사용할 수 있는지에 대한 한계가 있다.

‘하중 속도’에서 설명한 것처럼 적절한 하중 속도의 배율을 결정하는 것과 같은 방법을 사용하여 적절한 질량 스케일링의 배율을 결정할 수 있다. 이 두 가지 방법의 차이점은 하중 속도 배율($f$)이 질량 스케일링 배율($f^2$)과 같은 효과를 본다는 것이다. 앞에서 설명한 방법은 블랭크 기본 진동수의 주기만큼 걸리는 단계 시간에서 준정역학 결과를 충분히 얻을 수 있다고 가정했다. 모델의 에너지와 기타 결과를 조사하여 이 결과가 허용 가능한지 확인했다. 이 기술은 약 4.3m/s의 펀치 속도를 얻었다. 여기서 질량 스케일링을 사용하여 계산 시간을 가속화하고 결과를 스케일링하지 않은 솔루션과 비교하여 결과가 허용 가능한지를 결정한다. 스케일링은 결과의 품질을 떨어뜨릴 수 있으며 향상되지 않는다. 목표는 스케일링을 사용하여 계산 시간을 줄이고 허용할 수 있는 결과를 얻는 것이다.

이 목적은 허용할 수 있는 결과가 얻어지는 스케일링의 배율과 스케일링한 경우의 결과가 허용할 수 없게 되는 포인트를 구하는 것이다. 안정적인 시간 증분의 크기에 대해 $\sqrt{5}$부터 5까지의 배율 범위를 조사하여 두 스케일링의 효과를 확인한다. 구체적으로 $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$과 5를 선택한다. 이런 속도 향상의 배율은 각각 5, 10, 25의 질량 스케일링 배율이다.

질량 스케일링 배율을 적용하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 블랭크를 포함하는 세트 Blank를 만든다.

2. 단계 Holder force를 편집한다.

3. Edit Step 대화 상자에서 Mass scaling 탭을 클릭하고 아래에 지정된 Use scaling definitions below를 선택한다.

4. Create를 클릭한다. 기본 선택인 반자동 질량 스케일링을 그대로 사용한다. 적용 영역에 세트 Blank를 선택하고 배율에 5를 입력한다. 작업 Forming-3—sqrt5를 만든다. 작업 설명에 Channel forming -- attempt 3, mass scale factor=5를 제공한다.

모델을 저장하고 해석 작업을 제출한다. 해석 진행 상황을 관찰하고 모델링 오류가 감지되면 이를 수정하고 경고 메시지가 있는 경우 원인을 조사한다. 작업이 완료되면 질량 스케일링의 배율을 10으로 변경한다. 새로운 작업 Forming - 4 -- sqrt10을 만들고 실행한다. 이 작업이 완료되면 질량 스케일링의 배율을 25로 변경한다. 새 작업 Forming – 5 -- 5를 만들고 실행한다. 마지막 두 작업은 작업 설명을 각 내용에 맞게 수정한다. 먼저, 등가 소성 변형률과 변형 형상에 대한 질량 스케일링의 영향을 조사한다. 그다음 에너지의 시간 이력이 해석 품질의 일반적인 기준을 제공하는지 확인한다.

이 해석에서 주목할 만한 결과 중 하나는 등가 소성 변형률(PEEQ)이다. 비 스케일링 해석이 완료될 때 PEEQ의 등고선 표시는 앞서 그림에 나와 있으므로 스케일링한 해석의 각 결과를 비 스케일링 해석의 결과와 비교할 수 있다.

다음 그림은 $\sqrt{5}$배속 속도 향상(5배 질량 스케일링)에 대한 PEEQ이다.

다음 그림은 $\sqrt{10}$배 속도 향상(10배 질량 스케일링)에 대한 PEEQ이다.

다음 그림은 5배 속도 향상(25배의 질량 스케일링)에 대한 PEEQ이다.

그림 13.21은 질량 스케일링의 각 조건에 대한 내부 에너지와 운동 에너지의 시간 기록을 비교한다. 배율에 5를 사용한 질량 스케일링은 증가한 하중 속도의 영향이 크지 않은 결과를 제공한다. 질량 스케일링의 배율이 10이면 내부 에너지에 대한 운동 에너지의 비율이 높지만 느린 하중 속도로 얻은 결과와 비교할 때 여전히 합리적인 결과가 얻어지는 것처럼 보인다. 따라서 이것은 이 해석에서 가능한 속도 향상의 한계에 가깝다고 생각된다. 마지막 조건인 질량 스케일링의 배율이 25이면 동적 영향이 강하다는 것을 알 수 있다. 내부 에너지에 대한 운동 에너지의 비율이 상당히 높고 세 가지 조건 사이에서 최종 변형 모양을 비교하면 마지막 조건에서 변형 모양이 크게 변경되었다는 것을 알 수 있다.

질량 스케일링을 늘리면 계산 시간이 줄어든다. 또한 동적 효과가 커지므로 결과 품질이 떨어진다. 그러나 일반적으로 일정 수준의 스케일링은 결과 품질을 낮추지 않고, 계산 시간을 증가시킨다. 이 해석에서 5배의 속도 향상은 분명히 너무 커서 준정역학 결과를 얻지 못했다.

$\sqrt{5}$배와 같이 속도가 조금 빨라지면 결과는 크게 수정되지 않는다. 이 결과는 스프링백 해석을 포함한 대부분 문제에서 충분하다. 이에 대응하여 내부 에너지에 대한 운동 에너지의 비율이 많이 증가하고 있다. 이 조건에 관한 결과는 정확한 스프링백 해석이 필요한 경우를 제외하고 대부분 문제에서 충분하다.