원통형 압력 용기의 파열 압력 추정

 

출처: International Journal of Pressure Vessels and Piping 79 (2002) 53–66
저자: T. Christopher, B.S.V. Rama Sarma, P.K. Govindan Potti, B. Nageswara Rao, K. Sankarnarayanasamy

---

1. 연구 배경 및 목적

고체 로켓 모터 케이스, 발사체 또는 미사일 시스템용 경량 압력 용기를 신뢰성 있게 설계하기 위해, 폐단 원통형 용기(closed ended cylindrical vessel)의 최대 파손 압력을 평가하는 기존 이론들을 비교 검토한 연구입니다.

---

2. 탄성 응력 분포 — Lamé 방정식

내압 $p_i$를 받는 원통형 용기의 탄성 응력 성분:

 

$$\sigma_r = \frac{p_i}{\kappa^2 - 1} \left[1 - \frac{\kappa^2 R_i^2}{r^2}\right] \tag{1}$$

 

$$\sigma_\theta = \frac{p_i}{\kappa^2 - 1} \left[1 + \frac{\kappa^2 R_i^2}{r^2}\right] \tag{2}$$

 

$$\sigma_z = \frac{p_i}{\kappa^2 - 1} \tag{3}$$

 

$$\tau = \frac{\kappa^2}{(\kappa^2 - 1)} \cdot \frac{R_i^2 p_i}{r^2} \tag{4}$$

 

기호 정의
$\sigma_r$ = 반경 응력, $\sigma_\theta$ = 후프 응력, $\sigma_z$ = 축 응력

$R_i$ = 내반경, $R_o$ = 외반경, $\kappa = R_o / R_i$ (벽 두께비)

 

$r$ = $R_i$ ~ $R_o$ 사이 임의 반경

---

3. 초기 항복 및 완전 소성화 압력

초기 항복 압력 (Von Mises 기준)

$$p_y = \frac{\sigma_{ys}}{\sqrt{3}} \left(1 - \frac{1}{\kappa^2}\right) \tag{5}$$

 

완전 소성화 압력

$$p_p = \frac{2\sigma_{ys}}{\sqrt{3}} \ln(\kappa) \tag{9}$$

---

4. 경험적 파손 압력 공식 비교

 

번호	연구자	공식
Eq. (10)	Faupel	$p_m = \frac{2\sigma_{ys}}{\sqrt{3}}\left(1 - \frac{1}{\kappa^2}\right)\left[1 + \frac{\sigma_{ys}}{\sqrt{3},\sigma_{ult}}\left(\ln\kappa - 1 + \frac{1}{\kappa^2}\right)\right]^{-1}$
Eq. (11)	Wellinger & Ubing	$p_m = \sigma_{ys} \cdot \frac{2(\kappa-1)}{\sqrt{3},\kappa}$
Eq. (14)	ASME 보일러 코드	$p_m = \sigma_{ult} \cdot \frac{2(R_o - R_i)}{R_o + R_i}$
Eq. (15)	Soderberg	$p_m = \frac{2}{\sqrt{3}} \sigma_{ult} \ln\kappa$
Eq. (16)	최대 응력	$p_m = \sigma_{ult}\left(1 - \frac{1}{\kappa^2}\right)$
Eq. (17)	최대 전단 응력	$p_m = \frac{\sigma_{ult}}{2}\left(1 - \frac{1}{\kappa^2}\right)$
Eq. (18)	Turner	$p_m = \sigma_{ult} \ln\kappa$
Eq. (19)	Nadai	$p_m = \frac{2}{\sqrt{3}} \sigma_{ult} \ln\kappa$
Eq. (20)	Baily-Nadai	$p_m = \frac{2}{\sqrt{3}} \sigma_{ult} \ln\kappa$
Eq. (21)	Nadai (무한 변형)	$p_m = \frac{2\sigma_{ult}}{\sqrt{3}} \ln\kappa$
Eq. (22)	Marin & Rimrott	$p_m = \frac{2}{\sqrt{3}} \sigma_0 \left(\frac{n}{e}\right)^n \frac{t_i}{R_i}$
Eq. (23)	Svensson	$p_m \approx \frac{2}{\sqrt{3}} \sigma_{ult} \frac{t_i}{R_i}$ (근사식)

---

5. 본 연구의 핵심 공식 — 소성 불안정 정확 적분법

재료 거동 모델

 

$$\sigma = \sigma_0 \varepsilon^n \tag{29}$$

 

$\sigma_0$ = 강도 계수, $n$ = 변형 경화 지수 (strain hardening exponent)

 

얇은 벽 쉘의 유효 변형률

 

$$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln x^2 \tag{52}$$

 

불안정 조건에서 최대 압력이 되는 $x$ 값

 

$$x = e^{n/2} \tag{55}$$

 

최종 파손 압력 공식 (Eq. 56 / 57)

 

$${p_m = \frac{2}{(\sqrt{3})^{n+1}} \sigma_{ult} \frac{t_i}{R_i}} \tag{57}$$

 

기호 정의
$t_i$ = 초기 벽 두께, $R_i$ = 내반경
$\sigma_{ult}$ = 극한 인장 강도

 

이 공식은 Marin & Sharma(1958)의 공식과 유사하며, Svensson의 근사법보다 정확합니다.

---

6. 오차 산출 방법

상대 오차 (Relative Error)

$$\text{Relative error (%)} = 100 \times \left[1 - \frac{\text{Analysis result}}{\text{Test result}}\right]$$

 

표준 오차 (Standard Error, SE)

$$SE = \left\{\sum_{i=1}^{N}\left(1 - \frac{\text{Analysis result}}{\text{Test result}}\right)_i^2 / N\right\}^{1/2}$$

---

7. 실험 검증 결과 요약

15CDV6 강 로켓 모터 케이스 (n = 0.05)

챔버 번호	$\sigma_{ys}$ (MPa)	$\sigma_{ult}$ (MPa)	내경 (mm)	두께 (mm)	시험값 (MPa)	본 연구 Eq.(57)	오차 (%)
1	915	1060	206.6	2.6	29	29.6	−2.4
2	915	1060	206.6	2.6	30	29.6	0.0
3	915	1060	154.5	3.8	58	56.4	3.4

 

표준 오차 = 0.024 (가장 낮은 수준 → 최우수 정확도)

 

각 공식별 표준 오차 비교 (15CDV6 강)

공식	SE
Faupel (Eq. 10)	0.024
Soderberg (Eq. 15)	0.035
Nadai (Eq. 19)	0.035
Marin & Rimrott (Eq. 22)	0.034
본 연구 (Eq. 57)	0.024
Svensson (Eq. 23)	0.032
ASME 보일러 코드 (Eq. 14)	0.118
Wellinger & Ubing (Eq. 11)	0.087

 

---

8. 결론

1. 소성 불안정 이론 기반 정확 적분법 (Eq. 57) 은 변형 경화를 고려하여 여러 재료에 걸쳐 신뢰성 있는 파손 압력 예측을 제공합니다.
2. Faupel의 경험 공식 (Eq. 10) 은 간단하면서도 정확도가 높으며, 95% 신뢰 수준에서 ±15% 이내의 예측 정확도를 가집니다.
3. 최대 응력 / 최대 전단 응력 기반 공식 (Eqs. 16, 17)은 두꺼운 벽 용기에서 과도한 오차를 보여 부적합합니다.
4. 재료의 변형 경화율(n) 은 파손 압력 예측에서 핵심 변수이며, 동일 강도라도 경화율에 따라 파손 거동이 크게 달라집니다.
5. 소성 이론 기반 공식이 경험적 공식보다 물리적으로 더 타당하며, 연성 재료의 파손 거동 예측에 더 적합합니다.

---

© 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved.