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신대륙에서 숫자를 세는 줄은 페루 잉카인의 퀴푸스(Quipus)라고 불리는 매듭으로 가장 잘 설명할 수 있다. 잉카인은 원래 안데스산맥 중앙 고산지대에 살던 남미 인디언 부족 또는 동족 부족으로 이루어졌다. 점진적인 확장과 전쟁을 통해 오늘날의 에콰도르, 페루, 볼리비아, 칠레와 아르헨티나 북부의 해안과 산악지역으로 구성된 광대한 제국을 통치하게 되었다. 잉카인은 석조사원과 거대한 규모의 공공건물을 건설하며 뛰어난 기술력으로 명성을 얻었다. 놀라운 업적은 제국의 먼 곳을 연결하는 방대한 도로망(14,000마일에 달하는)과 다리를 건설한 것이었다. 스페인 정복자의 공포로부터 잉카인을 고립시킨 것은 1532년 180명의 정복자가 페루 북부에 상륙하면서 일찍이 끝났다. 그해 말, 침략자들은 수도 쿠스코를 점령하고 황제를 투옥했다. 스페인인은 약 40년 동안 잉카 문화를 파괴하는 생활방식을 잉카인에게 강요했다.

16세기에 스페인 정복자가 페루에 도착했을 때, 페루의 각 도시는 다양한 색상의 매듭과 고리로 복잡한 장부를 관리하는 '매듭 관리인'이 있었다는 사실을 발견했다. 오늘날의 도시 재무와 다르지 않은 업무를 수행한 퀴푸(quipu) 관리인은 도시의 토지 및 대상에 관한 모든 거래를 기록하고 쿠스코의 중앙 정부에 그 장부를 제출했다. 잉카 제국에서는 이 매듭을 제외하고는 어떤 문자 체계도 발달하지 않았기 때문에 퀴푸는 매우 중요했다. 퀴푸스는 두꺼운 메인 코드 또는 크로스바에 다양한 길이와 색상의 네르(ner) 코드를 부착한 것으로, 보통은 걸레의 가닥처럼 매달린 형태로 만들어졌다. 매달린 줄은 각각 계수해야 할 특정 품목을 나타냈는데, 예를 들어 하나는 양, 다른 하나는 염소, 세 번째 줄은 어린 양을 표시하는 데 사용되었다. 매듭 자체는 숫자를 나타내며, 그 값은 사용된 매듭의 유형과 가닥의 특정 위치에 따라 달라진다. 매듭이 가장 아래에 있는 단위를 나타내는 매듭은 10, 바로 위에 있는 매듭은 100, 매듭이 없는 것은 0으로 표시하는 십진법이 사용되었다. 여러 개의 줄은 하나의 주 실인 합산하는 줄로 묶어 매듭으로 각 줄의 전체 개수를 표시했다. 퀴푸스에서 숫자를 표현할 가능성의 범위 덕분에 잉카인은 문자에 대한 무지에도 불구하고 놀라울 정도로 상세한 행정 기록을 유지할 수 있었다. 최근 (1872년) 인도에서 매듭을 계수 장치로 사용한 증거가 발견되었는데, 문맹이었던 족장 중 일부는 최신 인구 조사를 유지하기 위해 네 가지 색의 끈으로 매듭을 만들었다고 한다.

퀴푸를 제대로 감상하려면 묶인 매듭이 나타내는 숫자에 주목해야 한다. 1을 나타내는 매듭, 매듭의 꼬여있는 수에 따라 2에서 9중에서 하나를 나타내는 긴 매듭, 1을 나타내는 단일 매듭 등 세 가지 유형의 매듭만 사용되었다. 1을 나타내는 매듭과 긴 매듭은 줄의 가장 낮은(단위) 위치에만 나타나며, 다른 간격의 위치에는 단일 매듭을 무리로 나타날 수 있다. 줄은 길이가 같으므로 인접한 줄과 비교했을 때 빈 위치(0 값)가 나타난다. 또한 1을 나타내는 또는 긴 매듭이 다시 나타나면 같은 코드에 다른 숫자가 기록되고 있음을 알 수 있다.

오름차순 위치에는 10의 거듭제곱에 대한 자릿수가 있다는 점을 상기하면서 특정 코드에 4개의 꼬임이 있는 긴 매듭, 2개의 단일 매듭, 비어있는 공간, 7개 무리의 단일 매듭, 1개의 단일 매듭이 순서대로 포함되어 있다고 가정해 보겠다. 잉카의 경우 이 배열은 다음과 같은 숫자를 나타낸다.

17024 = 4 + (2 · 10) + (0 · 10²) + (7 · 10³) + (1 · 10⁴)

자릿수 숫자 체계를 사용한 또 다른 신대륙 문화는 고대 마야의 문화이다. 마야인은 멕시코 남부와 오늘날 과테말라, 엘살바도르, 온두라스 일부를 아우르는 광활한 영토를 점령했다. 마야 문명은 2,000여 년 동안 존재했으며, 가장 번성했던 시기는 서기 300~900년으로, 약 1,000개의 상형문자를 사용하여 정교한 형태의 상형문자를 개발한 것이 특징적인 업적이다. 상형문자는 때로는 소리를 기반으로 하고 때로는 의미를 기반으로 하는데, 현재 남아 있는 대부분의 상형문자는 아직 해독되지 않았다. 서기 900년 이후, 마야 문명은 인구가 많은 도시가 버려지면서 급격한 쇠퇴와 대붕괴를 겪게 된다. 자연재해, 전염병, 정복 전쟁 등 다양한 추측이 제기되고 있지만, 이 재앙적 이탈의 원인은 여전히 미스터리로 남아 있다. 1500년 직후 시작된 스페인의 정복에도 전통문화의 남은 세력은 쉽게 또는 빠르게 굴복하지 않았다. 정복되지 않은 마지막 마야 왕국이 1597년에 무너질 때까지 거의 한 세기에 걸쳐 계속된 잔인한 투쟁이었다.

마야 달력에서 1년은 365일을 20일씩 18개월로 나누고 잔여기간은 5일로 구성했다. 이에 따라 20을 기준으로 한 계산 방법(20진법)이 채택되었다. 숫자는 두 가지 형태로 상징적으로 표현되었다. 사제 계급은 숫자 1부터 19까지 나타내기 위해 신들의 기괴한 얼굴을 정교한 상형문자로 새겼다. 이 문양은 돌에 새겨진 날짜에 사용되어 중요한 사건을 기념하는 데 사용되었다. 일반인은 막대와 점의 조합으로 같은 숫자를 기록했는데, 짧은 가로 막대는 5를, 점은 1을 나타낸다. 특히 0을 상징하는 조개껍데기를 양식화한 것이 특징인데, 이는 이 숫자를 표시하는 가장 초기에 사용된 것으로 알려져 있다.

19보다 큰 숫자를 나타내는 기호는 각 위치의 기호와 함께 수직 열로 배열되어 위쪽으로 이동하면서 연속적인 20의 거듭제곱, 즉 1, 20, 400, 8000, 160,000 등을 곱했다. 한 위치에 조개껍데기가 있으면 해당 위치에 막대와 점이 없음을 나타낸다. 특히 숫자 20은 열의 맨 아래에는 조개껍데기로, 두 번째 위치에는 점 하나로 표현했다. 이 시스템에 기록된 숫자의 예를 들어 기호를 세로로 쓰지 않고 가로로 적고 가장 작은 값을 왼쪽에 적어 보겠다:

우리에게 이 표현식은 62808이라는 숫자를 나타낸다.

62808 = 8 · 1 + 0 · 20 + 17 · 400 + 7 · 8000

마야의 숫자 체계는 주로 달력 계산을 위해 개발되었기 때문에 이러한 계산을 수행할 때 약간의 변형이 있었다. 열의 세 번째 위치에 있는 기호는 20×20이 아닌 18×20을 곱했는데, 이는 360이 400보다 1년의 길이에 더 가깝다는 생각에서였다. 따라서 각 위치의 자릿수는 이전보다 20배 증가하여 1, 20, 360, 7200, 144,000 등의 배수가 되었다. 이 조정에 따라 앞서 언급한 기호 조합의 값은 다음과 같다.

56528 = 8 · 1 + 0 · 20 + 17 · 360 + 7 · 7200

역사의 긴 흐름에서 볼 때, 원시인들이 유목 생활을 포기하기 전까지는 숫자 정보를 보관하고 전달하는 효율적인 방법을 고안하는 데 있어 진전이 없었던 것은 분명해 보인다. 인간이 수렵과 채집을 하던 시절에는 뼈나 돌에 새긴 표시가 기록을 남기는 데 적합했을지 모르지만, 식량을 생산하던 시대에는 완전히 새로운 형태의 숫자 표현이 필요했다. 게다가 정보를 저장하는 수단으로서 뼈에 새겨진 일련의 표시는 그것을 만든 사람이나 가까운 친구나 친척만 이해할 수 있었을 것이므로 먼 거리에 떨어져 있는 사람들이 사용할 수 있는 기록은 아니었을 것이다.

농작물, 특히 곡물의 의도적인 재배와 동물의 가축화는 현재의 증거로 판단할 수 있는 한 약1만 년 전 중동에서 시작되었다. 이후 중국과 신대륙에서 농업에 대한 실험이 이루어졌다. 널리 알려진 이론은 마지막 빙하기 말기의 기후 변화가 식량 생산의 도입과 정착촌의 존재에 필수적인 자극을 제공했다는 것이다. 극지방의 만년설이 후퇴하기 시작하면서 비구름대가 북쪽으로 이동하여 중동 지역 대부분이 건조해졌다. 야생 식물의 희소성이 높아지고 사람들이 살던 사냥감이 줄어들자, 생존을 위해 농경 생활로 전환할 수밖에 없었다. 수확량과 가축의 수를 세고, 토지를 측정하고, 작물을 심기에 적절한 시기를 알려주는 달력을 고안할 필요가 생겼다. 이 단계에서도 계산 수단의 필요성은 크지 않았고, 집계 기술은 느리고 번거롭긴 했지만, 일상적인 거래에는 여전히 적절했다. 그러나 식량 공급이 안정되면서 인구가 많이 증가할 가능성이 커졌고, 이는 더 많은 물품을 열거해야 한다는 것을 의미했다. 집계를 기록하기 위해 몇 가지 기본적인 표시를 반복하다 보니 숫자 표현이 불편하고, 작성하기가 지루하고, 해석하기가 어려웠다. 체계적인 과세를 위해 세심한 기록을 유지하려는 마을, 사원, 궁궐의 욕구는 영구적 또는 반영구적인 형태로 인구를 '집계'하는 새롭고 더 많은 수단을 찾는 데 더욱 박차를 가하게 되었다.

따라서 약 6000년 전 나일강, 티그리스-유프라테스강, 인더스강, 양쯔강의 넓은 강 계곡에서 권력을 장악했던 사회에서 숫자를 위한 특별한 기호가 처음 등장한 것은 더욱 정교한 생활이었다. 큰 숫자를 문자로 표현할 수 있는 기호는 계산과 측정을 위한 필수 전제 조건이었기 때문에 이로부터 수학의 가장 기초적인 분야가 생겨났다. 사람들은 수 기호에 대한 다양한 실제 경험을 통해 점차 추상적인 원리를 인식하게 되었고, 예를 들어 덧셈의 기본 연산에서 합이 분수의 순서에 의존하지 않는다는 사실을 발견했다. 이러한 발견은 한 개인이나 한 문화권에서 이루어진 것이라기보다는 점점 더 추상적인 사고방식으로 나아가는 느린 인식의 과정이었다.

먼저 우리 수학 발전의 주류를 형성한 중요한 중동 문명인 이집트와 바빌로니아 문명의 수 체계부터 살펴볼 것이다. 숫자 단어는 현존하는 가장 오래된 문자의 단어 형태에서 발견된다. 실제로 그들이 숫자를 세는 대상과의 연관성에서 분리된 기호를 사용한 것은 문명의 역사에서 큰 전환점이었다. 이는 인류 최고의 지적 성취인 글쓰기 기술 진화의 첫 단계였을 가능성이 높다. 수량의 기록은 말의 시각적 기호화보다 더 쉽게 이루어졌기 때문에 고대 문화의 문자 언어가 이전에 기록된 숫자 체계에서 성장했다는 명백한 증거가 있다.