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주어진 하중에 대한 구조물의 장기 응답을 해석할 때 정역학 해석으로 충분하다. 하지만 지진 하중처럼 주어진 하중의 지속 기간이 짧은 경우나 회전 기계의 하중과 같이 동적 하중이 작용할 때 동역학으로 해석해야 한다.

동역학 해석은 동적 평형 방정식으로 관성력을 고려하는 해석이다.

여기서 $M$은 구조물의 질량, $ \ddot {u} $는 구조물의 가속도, $I$는 구조물의 내력, $P$는 주어진 외력이다. 앞의 방정식은 뉴턴 운동의 두 번째 법칙($ F=ma$)을 나타낸다.

이 평형 방정식에 관성력($ M \ddot {u} $)이 포함된 것은 정역학과 동역학 해석의 주요 차이점이다. 이 두 가지 해석 사이에는 내력($I$)의 정의도 차이가 있다. 정역학 해석에서 내력은 구조물의 변형으로 발생하지만, 동역학 해석에서 내력은 구조물의 운동(다시 말하면, 감쇠)과 변형의 효과로 발생한다.

1) 고유 진동수와 모드 형상

가장 간단한 동적 문제는 다음 그림과 같이 스프링의 질량 진동 문제이다.

이 스프링의 내력은 $ku$에 의해 주어지므로 동적 운동 방정식은 다음과 같다.

이 질량 스프링 시스템은 다음과 같은 고유 진동수(단위는 라디안/시간)를 가진다.

이 질량은 이동시켜, 해방하면, 고유 진동수로 진동한다. 이 진동수로 힘을 주면, 변위의 진폭이 급격히 증가한다. 이것은 공진으로 알려진 현상이다.

실제 구조는 많은 고유 진동수를 가지고 있다. 구조물을 설계할 때 수용할 수 있는 하중의 진동수와 구조물의 고유 진동수가 가깝지 않도록 하는 것이 중요하다. 고유 진동수는 하중을 받지 않은 구조물의 동적 응답(동적 평형 방정식에서 $P=0$)을 조사함으로써 구할 수 있다. 이 경우 운동 방정식은 다음과 같다.

감쇠가 없는 시스템에서는 $ I = ku $이다. 따라서,

이 방정식의 해는 다음 형식을 가진다.

이것을 운동 방정식에 대입하면 다음 고유치 문제가 발생한다.

여기서, $ \lambda = \omega^2 $이다.

이 시스템에 $n$개의 고유치가 있다. 여기서 $n$은 유한요소 모델의 자유도 수이다. 제곱근 $ \omega_j$은 구조체의 $j$번째 모드의 고유 진동수이며, $j$는 해당 $j$번째 고유 벡터이다. 고유 벡터는 구조가 $j$번째 모드에서 진동할 때 변형 모양으로 모드 형상(mode shape)이라고 한다.

Abaqus/Standard의 고유치 추출 절차는 구조의 모드와 진동수를 찾는 데 사용된다. 이 절차는 필요한 모드 수 또는 주목할 최대 진동수를 지정하면 쉽게 사용할 수 있다.

2) 모드 중첩법

구조물의 고유 진동수와 모드 형상은 선형 영역에서 하중에 대한 구조물의 동적 응답을 특성화하는 데 사용할 수 있다. 구조물의 변형은 구조물의 모드 형상 조합으로부터 모드 중첩법을 사용하여 계산할 수 있다. 각 모드 모양에는 배율이 곱해진다. 모델의 변위 벡터 는 다음과 같이 정의한다.

여기서 $ \alpha_i $는 모델의 변위, $ \phi_i $는 모드 $i$의 일반화 좌표이다. 이 기술은 미소 변위, 선형 탄성 재료의 해석에서 접촉 조건이 없는 경우(즉, 선형 문제의 경우)에만 유효하다.

동적 구조 문제에서 구조물의 응답은 일반적으로 비교적 적은 수의 모드가 지배한다. 따라서 모드 중첩법은 이런 시스템의 응답 계산에 특히 효율적이다. 10,000 자유도 모델을 생각해 보자. 동적 운동 방정식의 직접 적분은 시간의 각 지점에서 10,000 자유도의 연립 방정식을 풀어야 한다. 이 구조 응답을 100가지 모드로 선택하면 모드 중첩법은 시간 증분당 100개의 방정식만 풀어야 한다. 또한 원래의 운동 방정식은 연결되지만, 모드 방정식은 연결되지 않는다. 모드와 진동수를 계산하는 초기 비용이 필요하지만, 응답 계산에서 비용을 절약하면 초기 비용보다 훨씬 많이 든다.

해석에 비선형성이 존재하면 해석 중에 고유 진동수가 크게 변할 수 있으므로 모드 중첩법을 사용할 수 없다. 이 경우 동적 평형 방정식의 직접 적분이 필요하다. 이것은 모드 해석보다 훨씬 계산량이 많다.

선형 과도 동역학 해석에 적합한 문제는 다음과 같은 특징이 있다.

● 시스템은 선형이다. 재료 모델은 선형이며, 접촉 조건과 기하 비선형 효과는 포함되지 않는다.

● 응답은 상대적으로 적은 수의 진동수가 지배한다. 충격이나 충돌 문제와 같이 응답의 진동수 성분이 증가하면 모드 중첩법이 더 이상 효과적이지 않다.

● 지배적인 하중 진동수는 추출 진동수의 범위 안에 있으며 그 하중은 정확하게 표현한다.

● 하중이 갑자기 주어지면 초기 가속도가 고유 모드로 정확하게 표현된다.

● 시스템에 큰 감쇠가 없다.