응력의 기초: 수직응력, 전단응력, 그리고 주응력

1. 응력이란 무엇인가?

물체에 외부 하중이 작용하면 물체 내부에는 이에 저항하는 힘이 발생한다. 이 내부 저항력을 응력(Stress) 이라고 한다. 응력은 가상의 분리 평면을 기준으로, 인접한 두 부분 중 하나가 다른 부분에 작용하는 내력으로 정의된다.

 

응력은 힘이 작용하는 방향에 따라 두 가지로 구분된다.

종류	기호	정의
수직응력 (Normal Stress)	σ	분리 평면에 수직 방향으로 작용하는 응력
전단응력 (Shear Stress)	τ	분리 평면에 평행하게 작용하는 응력

 

수직응력은 작용 방향에 따라 다시 두 가지로 나뉜다. 응력이 요소를 향해 압축하는 방향이면 압축응력(음의 값, −), 요소로부터 멀어지는 방향이면 인장응력(양의 값, +) 으로 표현한다. 이러한 응력이 발생하는 근본 원인은 물체 재료가 가진 응집력 때문이다. 만약 하중에 아무런 저항 없이 분리된다면 응력은 발생하지 않는다.

2. 응력의 표기와 정적 평형

3차원 공간에서 응력 상태를 정확히 표현하려면 다양한 첨자를 사용한다. 예를 들어 $τ_{xy}$는 x축에 수직인 면 위에 y축 방향으로 작용하는 전단응력을, $σ_y$는 y축에 수직인 면에 y축 방향으로 작용하는 수직응력을 나타낸다.

 

물체가 정적 평형 상태를 유지하려면 다음 조건이 반드시 성립해야 한다.

 

$$\tau_{xy} = \tau_{yx}, \quad \tau_{yz} = \tau_{zy}, \quad \tau_{zx} = \tau_{xz}$$

 

이는 서로 대칭되는 방향의 전단응력이 항상 같아야 한다는 전단응력의 상호성 원리를 의미한다.

3. 주응력이란 무엇인가?

하중을 받는 구조물에는 특별한 방향이 존재한다. 바로 전단응력 성분이 모두 0이 되는 방향이다. 이 방향을 주방향(Principal Direction) 이라 하고, 이 면에 작용하는 수직응력을 주응력(Principal Stress) 이라고 한다.

 

주응력은 크기에 따라 세 가지로 구분된다.

명칭	기호	의미
최대 주응력	σ₁	세 주응력 중 가장 큰 값
중간 주응력	σ₂	중간 크기의 값
최소 주응력	σ₃	세 주응력 중 가장 작은 값

 

주응력의 방향은 물체의 형상뿐만 아니라 작용 하중에 따라서도 달라진다.

4. 응력 상태의 분류

주응력의 개수에 따라 응력 상태를 다음과 같이 분류한다.

• 단축 응력 (Uniaxial Stress) — 세 주응력 중 두 개가 0인 경우로, 인장 시험편처럼 한 방향으로만 하중이 작용하는 가장 단순한 응력 상태다.
• 평면 응력 (Plane Stress) / 2축 응력 — 주응력 중 하나가 0인 경우로, 하중과 경계조건이 하나의 평면 안에 존재한다. 이 평면에 수직 방향으로 변형률은 존재하지만 응력은 발생하지 않는다. 얇은 판재나 쉘 구조물 해석에 주로 적용된다.
• 평면 변형률 (Plane Strain) — 하중 작용 평면에 수직 방향으로 변형률이 없는 경우다. 깊이 방향으로 단면을 자르고 단부 효과를 무시할 수 있는 긴 부재 해석에 활용된다.
• 3축 응력 (Triaxial Stress) — 세 방향 모두에 주응력이 존재하는 가장 일반적인 응력 상태다.

5. 평면 응력 상태의 주응력 계산

평면 응력 상태에서 최대 및 최소 주응력은 단면의 수직응력($σ_x$, $σ_y$)과 전단응력($τ_{xy}$)을 알면 다음 식으로 계산할 수 있다.

 

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

 

또한 최대 전단응력이 발생하는 방향은 주응력 방향과 항상 45°의 차이가 있으며, 이 방향에서의 최대 전단응력과 수직응력은 다음과 같이 계산된다.

 

$$\tau_{1,2} = \pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

$$\sigma = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$$

 

평면 응력 상태

6. 3축 응력 상태의 주응력 계산

가장 일반적인 3축 응력 상태에서 세 개의 주응력을 구하려면 다음 3차 방정식의 근을 구해야 한다.

 

$$\sigma^3 + I_1\sigma^2 + I_2\sigma - I_3 = 0$$

 

여기서 계수 I₁, I₂, I₃를 응력 불변량(Stress Invariant) 이라고 한다. 이 값들은 좌표계가 바뀌어도 변하지 않는 물리량으로, 각각 다음과 같이 정의된다.

 

$$I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z$$ $$I_2 = \sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_z\sigma_x - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{zx}^2$$ $$I_3 = \sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx} - \sigma_x\tau_{yz}^2 - \sigma_y\tau_{zx}^2 - \sigma_z\tau_{xy}^2$$

 

이 중 제1 불변량 I₁은 물체 내 해당 지점에서 응력에 의한 정수압(Hydrostatic Pressure) 을 나타내며, 균열 발생과 파괴 해석에서 특히 중요한 값이다.

 

3축 응력 상태에서 최대 전단응력은 최대 주응력과 최소 주응력만으로 간단히 표현된다.

 

$$\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$

 

응력 해석은 구조물의 안전성과 파괴 가능성을 평가하는 공학의 핵심 도구다. 수직응력과 전단응력의 기본 개념에서 출발하여, 평면 응력과 3축 응력 상태의 주응력을 올바르게 계산하는 능력은 모든 구조 설계의 기초가 된다. 특히 주응력과 최대 전단응력의 방향과 크기를 정확히 파악하는 것이 재료의 항복과 파괴를 예측하는 핵심 출발점이다. <끝>