[CEA] 변형률이란 무엇인가?

원래 길이에 대한 물체의 한 요소에서 크기의 변화를 단위 변형률(unit strain) 또는 간단히 변형률($ \epsilon $)이라고 한다. 이 값은 단축 하중을 받는 길이($ l $)인 봉의 전체 신장(total elongation) 또는 총변형량($ \delta_1 $)과 관련이 있다.

$$ \epsilon = {\delta_1 \over l} $$

순수한 전단을 받는 응력 요소에서 90°로부터 모서리각의 변화량을 전단 변형률($ \gamma $)이라고 한다.

작용했던 하중을 제거하면 재료를 원래의 형상 치수로 복원시키고자 하는 두 가지 고유한 탄성 성질이 있다. 이 성질의 크기를 각각 재료의 탄성계수(modulus of elasticity, $E$)또는 영률(Young’s modulus)과 전단 탄성계수(modulus of rigidity, $G$)로 나타낸다. 훅의 법칙에 따라 재료의 응력은 어느 한도까지는 변형률에 선형적으로 비례한다. 모든 재료가 훅의 법칙을 그대로 따르는 것은 아니지만, 이 법칙을 따르는 재료를 탄성 재료라고 부르며 다음 식과 같은 관계가 있다.

$$ \sigma = E \epsilon $$

$$ \tau = G \gamma $$

축 하중($F$)을 받는 봉의 수직 단면적($A$)에는 균일한 분포 응력이 발생하며 다음 식으로 계산된다.

$$ \sigma = {F \over A} $$

변형률 식을 이용하면 봉의 총 변형률은 다음 식으로 단순화된다.

$$ \delta_1 = {Fl \over AE} $$

훅의 법칙이 적용되는 탄성 영역에서 축 하중을 받는 봉은 축 방향 변형에 비례하고 푸아송비(Poisson's ratio)로 나타낼 수 있는 가로 방향 변형(lateral deformation, $\delta_d$)이 추가로 발생한다.

$$ \nu = {- \epsilon_d \over \epsilon} $$

여기서 음의 부호는 인장 상태는 봉이 가늘어지고, 압축 상태는 봉이 볼록해지는 것을 의미한다.

앞에서 언급한 세 개의 탄성 상수(elastic constant)는 다음 식과 같이 서로 연관되어 있다.

$$ E = 2G(1+ \nu ) $$

주 변형률

주응력 방향으로 발생하는 변형률을 주 변형률(principal strain)이라고 한다. 이 방향에서 요소의 모든 전단 변형률은 ‘0’이다. 따라서 물체의 위치에서 주 변형률을 실험으로 얻으려면 그 변형률은 그 시점의 주응력과 관련이 있다. 세 가지 응력 상태의 주응력과 주변형률의 관계는 다음과 같다.

1축 응력

$$ \sigma_1 = E \epsilon_1 $$

$$ \sigma_2 = 0 $$

$$ \sigma_3 = 0 $$

2축 응력

$$ \sigma_1 = {E \left( \epsilon_1 + \nu \epsilon_2 \right) \over 1 - \nu^2} $$

$$ \sigma_2 = {E \left( \epsilon_2 + \nu \epsilon_1 \right) \over 1 - \nu^2} $$

$$ \sigma_3 = 0 $$

3축 응력

$$ \sigma_1 = {E \epsilon_1 \left( 1 - \nu \right) + \nu E\left( \epsilon_2 + \epsilon_3 \right) \over 1 - \nu - 2\nu^2} $$

$$ \sigma_2 = {E \epsilon_2 \left( 1 - \nu \right) + \nu E\left( \epsilon_1 + \epsilon_3 \right) \over 1 - \nu - 2\nu^2} $$

$$ \sigma_3 = {E \epsilon_3 \left( 1 - \nu \right) + \nu E\left( \epsilon_1 + \epsilon_2 \right) \over 1 - \nu - 2\nu^2} $$