[CAE] 단면 2차 모멘트

다양한 하중이 어떤 단면에 지속해서 작용할 수 있다. 이런 경우 단면에 수직인 축을 중심으로 이 힘 때문에 발생하는 모멘트의 합을 계산해야 한다. 이것을 단면 2차 모멘트 또는 단면의 관성 모멘트(area moment of inertia)라고 하며, 적분 ∫(거리)²d(면적)으로 정의한다.

그 예로 수평선 아래로 깊이(y)에 비례하는 분포 압력(p)을 받는 물에 잠긴 수직 벽이 있다. 벽이 수평선을 기준으로 작용하는 총 모멘트는 $k \int y^2$이며, 여기서 $k$는 비례상수이다. 같은 방법으로 순수하게 휨만 받는 탄성 보(beam)는 중립축에서 수직 거리($y$)에 비례하는 수직응력($\sigma$)의 선형 분포가 단면에 발생한다. 따라서 이 단면의 총 모멘트는 $ k \int y^2 dA $이다. 비틀림 하중을 받는 탄성 봉에서 비틀림 모멘트는 축의 중심에서 반경 거리($r$)에 비례하는 접선 전단응력($ \tau $)이 발생한다. 이 경우 총 모멘트는 $ k \int r^2 dA $ 가 된다.
 

 
수압을 받는 벽과 탄성 보는 단면의 직교 관성 모멘트를 이용하면 편리하다. 이것은 관심이 있는 단면을 직교 좌표계로 표현한 단면의 관성 모멘트이며 다음 식과 같다.

$$ I_x = \int y^2  dA $$
$$ I_y = \int x^2  dA $$

이와 반대로 마지막 예는 단면의 평면에 수직인 축에 대한 극관성 모멘트(polar moment of inertia)를 이용한다. 같은 직교 좌표계의 원점을 기준으로 살펴보면 다음과 같다.

$$ J_z = \int r^2 dA $$

여기서 $x^2 + y^2 = r^2$이므로, 다음 식으로 표현할 수 있다.

$$ J_z = I_x + I_y $$

단면에 대한 직교 관성 모멘트와 극관성 모멘트의 식은 중심점(C)을 원점으로 하는 한 쌍의 축 $x_c$, $y_c$에 대해 잘 알려져 있다. 임의의 한 쌍의 평행 축 $x$, $y$에 대한 관성을 표현하려고 평행 축 정리(parallel axis theorem)를 이용하여 다음 식을 구할 수 있다. 

$$ I_x = I_{cx} + Ad_{x} ^{2} $$
$$ I_y = I_{cy} + Ad_{y} ^{2} $$
$$ J_z = J_{cz} + Ad ^{2} $$

여기서 첨자 $c$는 중심축을 의미한다. 

 

모양이 복잡한 단면을 여러 개의 단순한 단면으로 나누면, 복합 관성 모멘트를 얻을 수 있다. 이것은 다음과 같이 각 단면에 평행 축 정리를 이용하여 각각의 중심 관성 모멘트를 더하여 얻을 수 있다.

$$ I_x = \sum I_{cx} + \sum Ad_{x}^{2} $$
$$ I_y = \sum I_{cy} + \sum Ad_{y}^{2} $$
$$ J_z = \sum J_{cz} + \sum Ad^{2} $$

물체의 단면이 완전히 비대칭이거나 좌표축을 단면에 비대칭으로 설정할 때는 관성 곱(product of inertia)이 존재하며, 이것은 다음 식과 같이 표현된다. 만약 관심이 있는 물체가 완전히 비대칭인 단면을 가지고 있거나, 선택된 좌표축이 이 좌표계에 관해서 물체가 비대칭이 되도록 배치되어 있다면, 관성의 곱이 된다. 이것은 다음 방정식으로 표현할 수 있다.

$$ I_{xy} = \int xydA $$

여기서 어느 한 축이라도 대칭축이 되면 관성은 ‘0’이 된다. 

관성의 곱을 이용하여 한 점에 대해 일련의 축을 수학적으로 회전시키고, 초기 관성 항과 회전각의 함수로서 관성 항의 새로운 모멘트를 계산하는 것이 가능하다. 각도는 방정식에서 유일한 변수이므로 다음 식에서 설명한 대로 축에 최대 및 최소 관성의 방향을 주는 임계각($\alpha$)을 구할 수 있다.

$$ tan {2 \alpha} = {{2I_{xy}} \over {I_y - I_x}} $$

식으로부터 서로 $\phi /2$만큼 차이가 나는 두 개의 임계각을 계산할 수 있다. 하나의 각이 최대 관성 모멘트 축을 정의하고, 다른 하나의 각은 최소 관성 모멘트 축이다. 이 두 개의 직교축을 관성의 주축(principal axes of inertia)이다. 만일 선택한 축이 대칭축이면, 식의 우측 항은 ‘0’이 되며, 임계 회전각은 각각 ‘0’ 또는 가 된다. 이것은 한 쌍의 축을 선택하고, 둘 중 하나가 대칭축이면, 이 축은 자동으로 단면의 주축인 것을 의미한다. 

임의의 축에서 관성의 주 모멘트의 크기는 다음 식으로 계산할 수 있다. 

$$ I_{max,min} = {{I_x + I_y} \over {2}} \pm {{1} \over {2}} \sqrt{ \left( I_x - I_y \right)^2 + 4I_{xy}^2 }$$

많은 CAD 또는 FEA 소프트웨어는 단순하게 그린 단면을 활용하여 사용자 정의 좌표계를 기준으로 복잡한 형상의 단면 특성을 계산할 수 있다. 게다가 이런 패키지는 보통 표준 형상에 대한 방대한 단면 특성 라이브러리 기능이 있다.