[CAE] 엔지니어링의 주요 원리, 뉴턴 법칙

FEA에서 관심사는 외력을 받는 어떤 물체가 어떻게 움직일 것인가이다. 이런 물체의 운동을 가장 잘 표현하는 뉴턴 법칙은 다음과 같다.

 

○ 제1 법칙(관성의 법칙): 물체가 정지 상태를 유지하거나 균형이 맞지 않는 힘이 작용하지 않는 경우 일정한 속도로 직선 운동을 계속한다.

○ 제2 법칙(가속도의 법칙): 물체의 가속도는 그 물체에 작용하는 모든 힘의 합력에 비례하며 합력과 같은 방향이다.

○ 제3 법칙(작용과 반작용의 법칙): 상호작용하는 두 물체 사이의 작용력과 반력은 서로 크기가 같고, 동일 직선상에 있으며 방향은 서로 반대 방향이다.

 

이 법칙들로부터 구할 수 있는 중요한 공학 방정식은 다음과 같다.

$$ F = ma \qquad $$

여기서 $F$는 합력 벡터이고, $m$은 물체의 질량, $a$는 가속도 벡터이다.
 
가속도$a$는 속도의 미분($dv/dt$)이고, $G=mv$를 물체의 선형운동량(linear momentum) 벡터라고 정의하면, 위의 식은 다음과 같이 바꾸어 표현할 수 있다.

$$ F=m {{dv} \over {dt}} = \dot{G} \qquad $$

뉴턴의 제2 법칙을 다른 말로 표현하면 '물체 운동량의 시간 변화율은 그 물체에 작용하는 합력에 비례하며 합력과 같은 방향이다'라고 할 수 있다.
 
물체의 운동을 지배하는 하중과 구속이나 경계조건(boundary condition)을 이해하고 적용하는 데 가장 유용한 도구는 자유 물체도(free body diagram)이다. 일반적인 자유 물체도는 자유 공간에 먼저 물체를 표현한다. 모든 외력과 반력은 물체에 벡터로 표현한다. 만약 물체가 평형 상태라면, 모든 힘의 벡터는 크기와 방향의 합은 ‘0’이 된다.
 
가장 일반적인 관점에서 3차원 강체(rigid body)에 작용하는 외력은 병진운동뿐만 아니라 회전운동도 변경할 수 있다. 합력과 모멘트의 합, 제2 법칙의 등가 표현을 참고하면 강체의 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ \sum {F} = \dot {G} $$  
$$ \sum {M} = \dot {H} $$

여기서 ∑F와 ∑M은 각각 반력을 포함하는 모든 외부 하중의 힘과 모멘트 벡터의 합이고, Ｈ는 물체의 각운동량(angular momentum) 벡터이다. 한편, ∑M와 Ｈ는 모두 같은 점을 기준으로 계산해야 한다.

구속 운동에서 물체 회전의 중심이 되는 고정점은 O이다. 위의 식에서 H의 시간 미분은 수학적으로 매우 복잡한 값이지만, H는 간단히 물체의 각속도 함수로 표현된다. 이것의 관성 성분은 물체의 질량이 아니라 질량 관성 모멘트 텐서(moment of inertia tensor, I)가 필요하며, 이것은 관성 모멘트($I_{ii}$)와 관성의 곱($I_{ij}$)으로 구성된 3×3 행렬이다. 이 값은 선택한 축에 물체의 질량이 어떻게 분포되는가를 나타낸 것이다. 이 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$  I_{ii} = \int{ \left( j^2 + k^2 \right) dm} $$
$$  I_{ij} = \int{ ij } dm \qquad $$

여기서 $i$, $j$, $k$는 선택한 세 개의 좌표축이다. 
 

 
그림과 같이 물체를 1축 운동으로 제한하고, 여기에 외부 스프링과 감쇠(damper)를 고려하면 위의 식을 다음과 같이 확장할 수 있다.

$$ F_x = m \ddot {x} + c \dot{x} + kx \qquad $$

여기서 $k$는 스프링의 강성(stiffness), $c$는 감쇠 계수(damping coefficient), $F_x$, $x$, $ \dot{x} $, $ \ddot{x} $ 는 각각 축 방향으로 물체에 작용하는 합력과 위치, 속도, 가속도를 나타낸다. 

물체가 평면 운동만 한다고 제한하면, 위의 식은 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

$$ \sum {F} = m a_{G} $$
$$ \sum {M_{G}} = I_{G} \alpha \qquad $$

위 식에서 $a_G$는 물체의 무게중심의 가속도 벡터이고, $ \sum {M_{G}} $는 무게중심의 모든 모멘트의 합이다. 여기서 $I_G$는 무게중심을 지나는 운동 평면에 수직인 축에 대한 물체의 관성 모멘트(물체의 회전 운동에 대한 관성의 크기를 나타내는 양. 회전축에 대한 물체의 질량 분포에 따라 정해진다. 관성 모멘트가 클수록 회전 운동에 변화가 일어나기 어렵다.)이고, $ \alpha $는 물체의 각가속도이다.
 
동적해석(dynamic analysis)을 제외하면, FEA는 항상 평형 상태에 있는 물체를 다룰 것이다. 정의에 따라 평형 상태인 물체의 가속도는 ‘0’이어야 하며, 외부에서 작용하는 모든 힘의 합은 ‘0’이어야 한다. 이런 해석을 정적해석(static analysis)이라고 한다. 이 조건은 매우 제한적으로 들리지만, 동적 시스템을 분석하여 외력을 물체에 가속력으로 적용하여 관심이 있는 임의의 시점에서 준정적(quasi-static) 해석 문제로 효과적으로 단순화할 수 있다.
 
강체 운동(Rigid body motion)은 변형이나 휨이 거의 또는 전혀 없거나 일반적으로 기계적 변형이 없는 공간에서 물체의 운동을 의미한다. 변형 정도와 관계없이 비정적 평형을 만드는 조건은 강체 운동에 해당한다. 축을 중심으로 자유롭게 회전하는 것도 강체 운동으로 간주한다. FEA 모델의 경계조건은 비정적 평형을 해결할 수 있는 특정한 동적해석을 요구하지 않는다면, 강체 운동의 모든 가능성을 없애야 한다. 강체 운동은 모드해석(modal analysis)에서 고유 주파수를 ‘0’으로 표현된다.