[Abaqus] 자동 시간 증분 기능과 안정성

안정 한계는 Abaqus/Explicit에서 사용하는 최대 시간 증분을 결정한다. 이것은 Abaqus/Explicit의 실행 성능을 결정하는 중요한 요소이다. 다음 절에서 안정 한계를 설명하고, Abaqus/Explicit가 이 값을 결정하는 방법을 설명한다. 또한 안정 한계에 영향을 미치는 모델 설계 변수와 관련된 문제를 설명한다. 이 모델 변수는 모델 질량, 재료와 요소망이 있다.

 

1) 외연법의 조건 안정성

외연법에서 모델의 상태는 시간 증분($ \Delta t$)으로 진행하며, 시간 증분을 시작하는 시간($ t $)에 모델의 상태에 따라 다르다. 문제의 정확한 표현을 유지하면서 모델의 상태를 계속 진행할 수 있는 시간의 크기는 일반적으로 매우 작다. 시간 증분이 이 시간의 최댓값보다 큰 경우 증분은 안정 한계(Stability limit)를 초과하는 것으로 간주한다. 안정 한계를 초과하면 수치 불안정성이 발생할 수 있다. 이것은 보통 안정 한계를 정확하게 결정할 수 없으므로 보수적인 추정치를 대신 사용된다. 안정 한계는 해법의 신뢰성과 정확성에 큰 영향을 미치므로 일관된 방식으로 보수적으로 결정해야 한다. 계산 효율을 높이려면 Abaqus/Explicit는 안정 한계를 초과하지 않는 범위에서 가능한 한 그 값에 가까운 시간 증분을 선택한다.

 

2) 안정 한계의 정의

안정한계는구조의최고주파수($ \omega _{max}$)로정의한다.감쇠가없으면안정한계는다음식과같다.

$$ \Delta t_{stable} = {{2} \over {\omega_{max}}} $$

감쇠가 있으면 다음 식과 같다.

$$ \Delta t_{stable} = {2 \over \omega_{max}} \left( \sqrt {1 + \xi^2 }- \xi \right) $$

여기서, $ \xi $는 최고 주파수 모드에서 임계 감쇠비이다. 위에서 언급했듯이 임계 감쇠는 자유 감쇠 진동에서 진동과 비진동의 경계를 정의한다. Abaqus/Explicit는 항상 체적 점성 형태로 미량 감쇠를 도입하여 고주파 진동을 억제한다. 엔지니어링 직관에 반대일 수 있지만 감쇠는 항상 안정 한계를 줄인다.

 

구조의 실제 최고 주파수는 서로 영향을 미치는 복잡한 여러 요소에 따라 달라지며 정확한 값을 계산하는 것은 계산량을 고려할 때 실현할 수 없다. 또 다른 방법은 효율적이고 보수적인 간단한 추정을 사용하는 것이다. 전체 모델을 보는 대신 모델의 개별 요소의 최고 주파수를 평가한다. 이 값은 항상 소밀파 모드와 관련이 있다. 각 요소에서 얻은 최고 요소 주파수가 조립된 유한 요소 모델의 최고 주파수보다 항상 크다는 것을 증명할 수 있다.

 

요소별로 추정하는 방법에 기초하면, 안정 한계는 요소 길이($ L^e $)와 재료의 소밀파 속도($ c_d $)을 사용하여 재정의할 수 있다.

$$ \Delta t_{stable} = {L^e \over c_d} $$

대부분의 요소 종류(예: 왜곡된 4각형 요소)에서 요소 길이가 어떻게 결정되는지 명확하지 않으므로 위의 방정식은 실제 요소 당 안정 한계를 추정할 뿐이다. 근사적으로 요소의 최단 거리를 사용할 수 있지만 결과 추정은 항상 보수적이지 않다. 요소 길이가 짧아지면 안정 한계가 작아진다. 소밀파 속도는 재료의 특성이다. 푸아송의 비가 ‘0’인 선형 탄성 재료의 경우, $ c_d $ 는 다음과 같다.

$$ c_d = \sqrt{E \over \rho} $$

여기서, $ E $는 영율, $ \rho $는 질량 밀도이다. 재료가 단단해지면, 소밀파 속도는 커지므로 안정 한계는 작아진다. 밀도가 커지면, 소밀파 속도는 작아지므로 안정 한계는 커진다.

 

안정 한계의 정의를 단순화하면 어느 정도 직관적으로 이해할 수 있다. 안정 한계는 특성 요소 길이로 정의된 거리를 소밀파가 가로지르는 데 걸리는 시간이다. 최소 요소 치수의 크기와 재료의 소밀파 속도를 알면 안정 한계를 추정할 수 있다. 예를 들어, 최소 요소 치수가 5mm이고, 소밀파 속도가 5,000㎧라면 안정 시간 증분은 약 1×10^-6초이다.

 

3) 완전 자동 시간 증분과 고정 시간 증분 기능

Abaqus/Explicit는 이전 절에서 설명한 방정식을 사용하여, 모델의 상태를 바탕으로 안정 한계를 초과하지 않도록 해석하는 동안 시간 증분 크기를 조정한다. 시간 증분 제어는 자동이므로 사용자의 개입이 필요 없으며, 초기 시간 증분도 필요하지 않다. 안정 한계는 수치 모델에서 얻은 수학 개념이다. 유한 요소 프로그램은 관련된 모든 세부 정보가 있으므로 효율적이고 보수적인 안정 한계를 결정할 수 있다. 그러나 Abaqus/Explicit는 필요에 따라 사용자가 자동 시간 증분 기능을 무시할 수 있다.

 

외연적 해석에 사용되는 시간 증분은 중앙 차분법의 안정 한계보다 작아야 한다. 이 조건을 충족시키는 작은 시간 증분을 사용하지 않으면 불안정한 해법이 된다. 해법이 불안정해지면 보통 변위와 같은 해석 변수의 시간 이력 응답은 진폭을 높이면서 진동한다. 전체 에너지 균형도 크게 달라진다. 해석 모델의 재료 종류가 하나만 있으면 초기 시간 증분은 요소망의 가장 작은 요소 크기에 직접 비례한다. 요소 크기가 균일하고 여러 재료를 포함하면 가장 높은 소밀파 속도가 되는 요소에 기초하여 초기 시간 증분이 결정된다.

 

대변형이나 비선형 재료 응답을 포함하는 비선형 문제는 모델의 최대 진동수가 계속 변하므로 안정 한계도 변한다. Abaqus/Explicit는 시간 증분을 제어하는 두 가지 방법이 있다. 이 방법은 완전 자동 시간 증분(여기서 프로그램이 안정 한계의 변화를 고려한다)과 고정 시간 증분이다.

 

이 증분 방법은 안정 한계를 결정하려고 요소 기반 요소와 전체 기반 예측의 두 가지 방법이 사용된다. 해석은 처음에는 항상 요소별 추정법을 사용하고, 특정 상황에 따라 전체 추정법으로 전환한다.

 

요소별 추정법은 보수적이다. 이 방법은 전체 모델의 최대 주파수를 바탕으로 실제 안정 한계보다 작은 안정 시간 증분을 제공한다. 일반적으로 경계 조건이나 운동학에 따른 접촉과 같은 구속은 고유치의 스펙트럼을 압축하는 효과가 있으며, 요소별 추정법은 이것을 고려하지 않는다.

 

적응형 전체 추정 알고리즘은 현재 소밀파의 속도를 사용하여 전체 모델의 최대 주파수를 결정한다. 이 알고리즘은 지속해서 최대 주파수 추정을 업데이트한다. 전체 기반 추정은 요소별 추정값보다 일반적으로 큰 시간 증분을 허용한다.

 

고정 시간 증분 방법도 Abaqus/Explicit에서 사용할 수 있다. 고정 시간 증분은 단계가 시작할 때 요소별 추정법으로 얻은 안정 시간 또는 사용자가 직접 지정한 시간 증분으로 결정한다. 고정 시간 증분은 문제의 높은 모드 응답을 더 정확하게 표현해야 할 때 유용하다. 이 경우 시간 증분의 크기는 요소별 추정치보다 작은 값을 사용한다. 고정 시간 증분을 사용하면 Abaqus/Explicit는 단계에서 계산된 응답이 안정적인지 확인하지 않는다. 따라서 에너지 이력과 기타 변수의 응답을 신중하게 관찰하여 유효한 응답을 얻었는지 확인해야 한다.

 

4) 시간 증분을 제어하는 질량 스케일링

질량 밀도는 안정 한계에 영향을 미치므로 특정 상황에서 질량 밀도를 스케일링하면 해석 효율을 높일 수 있다. 예를 들어, 많은 모델은 이산화가 복잡해지므로 영역에 포함된 매우 작은 요소와 모양이 나쁜 요소가 가끔 안정 한계를 결정한다. 이런 제어 요소는 거의 없으며, 가끔 일부 영역에 존재한다. 이런 제어 요소의 질량을 늘리면 안정 한계를 크게 늘릴 수 있으며 모델의 전반적인 동적 거동에 미치는 영향은 무시할 수 있다.

 

Abaqus/Explicit의 자동 질량 스케일링 기능은 문제가 되는 요소가 안정 한계를 방해하지 않도록 할 수 있다. 질량 스케일링은 계수는 두 가지 기본 방법을 사용한다. 직접 정의하는 방법과 질량을 스케일링하는 요소에서 요소별 안정 시간 증분을 정의하는 것이다. 이 두 가지 방법은 안정 한계에 대한 추가 사용자 제어를 제공한다. 그러나 모델의 질량을 크게 변경하면 문제의 물리적 현상도 달라지므로 질량 스케일링을 사용할 때는 주의가 필요하다.

 

5) 안정 한계에 대한 재료의 영향

재료 모델은 소밀파의 속도에 미치는 영향 때문에 안정 한계에 영향을 미친다. 선형 재료에서 소밀파 속도는 일정하다. 따라서 해석 중 안정 한계의 유일한 변화는 해석 중 최소 요소 치수의 변화 때문에 발생한다. 소성을 포함하는 재료와 같은 비선형 재료에서 재료가 항복하고, 재료의 강성이 변하면 소밀파 속도가 변한다. Abaqus/Explicit는 해석하는 동안 모델의 소밀파 유효 속도를 관찰하고, 현재 각 요소의 재료 상태를 사용하여 안정 한계를 추정한다. 항복이 발생하면 강성이 떨어지고, 소밀파의 속도가 감소하므로 안정 한계가 증가한다.

 

6) 안정 한계에 대한 요소망의 영향

안정 한계는 가장 짧은 요소 치수에 대략 비례하므로 요소 크기를 가능한 한 크게 유지하는 게 편리하다. 그러나 대부분 정밀하게 해석하려면 미세한 요소망이 필요하다. 필요한 수준의 요소망 분할을 유지하면서 가능한 한 큰 안정 한계를 얻으려면 가능한 한 균일한 요소망을 정의하는 것이 가장 좋다. 안정 한계는 모델의 최소 요소 치수에 기반하므로 하나의 작은 요소와 모양이 심하게 왜곡되는 요소만 있으면 안정 한계를 크게 줄일 수 있다. 진단을 위해 Abaqus/Explicit는 요소망에서 최소 안정 한계를 갖는 10개의 요소 목록을 상태 파일(.sta)에 출력한다. 안정 한계가 요소망의 다른 부분보다 훨씬 작은 요소가 모델에 포함되면 모델을 더 균일하게 요소망을 나누는 것이 좋다.

 

7) 수치 불안정성

Abaqus/Explicit는 대부분 상황에서 대부분의 요소가 안정적이다. 그러나 해석이 수행되는 동안 스프링 요소와 대시 포트 요소를 불안정하게 정의할 수 있다. 따라서 해석에 수치 불안정성이 발생하면 이를 인식할 수 있는 것이 유용하다. 수치 불안정성이 발생하면 일반적으로 해석 결과는 한계가 없으며 비물리적이 되어 해가 진동하는 특징이 있다.