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그리스인들은 수학을 하나의 학문으로 만들어 다양한 경험적 계산 규칙을 질서 정연하고 체계적인 통일성으로 변화시켰다. 동양의 축적된 지식을 계승한 것은 분명하지만, 그리스인들은 자신들의 노력으로 그 이전의 어떤 수학보다 더 심오하고 추상적이며(일상생활의 사용과 거리가 멀다는 의미에서) 더 합리적인 수학을 만들어 냈다. 고대 바빌로니아와 이집트에서 수학은 실용적 적용을 위한 도구로, 또는 특권층인 서기들의 특별한 지식의 일부로 발전해 왔다. 반면에 그리스 수학은 지식인들에게 별개의 지적 과목이었던 것 같다. 그리스인들의 추상적 사고 습관은 이전의 사상가들과 차별화되었으며, 그들의 관심은 예를 들어 삼각형의 밀밭이 아니라 삼각형과 삼각형태에 수반되어야 하는 특성에 있었다. 추상적인 개념에 대한 이러한 선호는 숫자 $\sqrt{2}$에 대한 여러 문화권의 태도에서 볼 수 있는데, 바빌로니아 사람들은 그 근사치를 높은 정확도로 계산했지만 그리스인들은 그것이 비합리적이라는 것을 증명했다. 지식을 그 자체로 추구한다는 개념은 고대 동양 문명에서는 거의 완전히 이질적이었기 때문에 그리스인들은 추론을 수학에 적용하면서 주제의 본질을 완전히 바꾸어 놓았다. 플라톤이 아카데미 문에 새긴 '기하학에 무지한 사람은 이곳에 들어오지 말라'는 문구는 괴짜의 훈계가 아니라 탐구 정신과 엄격한 논리를 통해 질서 있는 우주에서 인간의 위치를 이해할 수 있다는 그리스인의 신념에 대한 경의를 표한 것이었다.

플라톤 아카데미의 고고학 유적지

모든 기록은 서면 문서를 기반으로 한다. 이집트와 바빌로니아 수학에 관한 문서는 매우 정확한 경우가 많지만, 그리스 수학의 초기 발전 과정을 명확하게 파악할 수 있는 주요 자료는 빈약하다. 그리스에는 이집트에서 볼 수 있었던 파피루스가 없었고, 바빌로니아에서 볼 수 있었던 점토도 없었다. 기록된 '책'은 극소수였을 것이며, 시간이 흐르고 자연이 황폐화되면서 원본 자료는 거의 남아있지 않았다. 따라서 초기 그리스 역사는 신화, 전설, 모호한 일화들이 뒤섞인 소용돌이 속에 놓여 있으며, 그 사건보다 수세기 후에 살았던 작가들에 의해 보존되어 있다. 우리는 원본 문서에서 여러 번 제거된 단편과 사본에 의존하고 있다. 사본가가 초기 텍스트의 모호한 구절에 아무리 세심한 주의를 기울였다고 해도 사본가가 자신의 상상력을 얼마나 많이 동원해야 했는지, 실제로 사본가가 원본을 얼마나 잘 이해했는지 확신할 수 없다.

그리스인들이 항상 현대의 위치인 유럽의 남동쪽 구석에 갇혀 있었던 것은 아니다. 이집트인들은 자기들만의 세계에 머물렀지만 그리스인들은 여행에 능했다. 기원전 11세기부터 9세기까지 소아시아의 해안과 연안 섬을 식민지로 삼은 것은 이후 그리스 본토에서 대규모로 이주하는 전초전이었다. 기원전 8세기 중엽, 지중해 연안에 그리스 도시 네트워크가 형성되어 흑해 동쪽 끝까지 흩어져 정착지가 형성되었다. 기원전 650년까지 그리스 확장의 주요 통로는 하부 이탈리아와 시칠리아였으며, 그곳의 많은 식민지 때문에 이 지역 전체에 서쪽의 그리스라는 이름이 붙게 되었다. 소아시아로의 초기 이주는 발칸 반도의 대부분을 정복한 도리아 정복의 결과였겠지만, 고국의 경제적 고통과 정치적 불안은 해외로 진출하는 새로운 동기가 되었다. 인구 증가는 토지 소유의 위기와 심각한 식량 부족을 초래했다. 이러한 모든 이주는 국내 인구의 불만 요소를 해소할 수 있는 출구를 제공했을 뿐만 아니라 해외 시장을 개척하고 예술, 문학, 과학의 물질적 토대를 마련하는 데도 기여했다. 그리스 문화는 확장된 그리스에서 시작되었지만, 시간이 지나면서 반도 그리스는 '그레이터 그리스'의 일부에 불과하게 되었다. 기원전 800년경에는 대체로 고대 지중해 세계 전체에 걸쳐 언어와 관습의 통일이 이루어졌다.

기원전 8세기부터 6세기까지 에게해 밖에서 일어난 식민지 개척의 물결은 이성의 비약적인 발전과 그에 따른 문화적 진보의 길을 열었다. 역사가들은 이 현상을 그리스의 기적이라고 불렀다. 그리스의 기적은 한 가지가 아니라 두 가지로, 첫째는 타의 추종을 불허하는 속도와 다양성, 그리고 성취의 질이며, 둘째는 외계 문명에 침투하여 그 가치를 주입하는 데 성공했다는 점이다. 이를 위해 식민지는 그리스 문화가 '야만인'의 세계에 빚진 통로와 같았고, 고대 이집트 및 바빌로니아 문화가 그리스에 유입되었다. 초기 그리스 수학이 모두 그리스 본토가 아닌 소아시아, 이탈리아 남부, 아프리카의 전초 기지에서 나왔다는 점은 놀랍다. 마치 더 발전된 사회 바로 옆에 살던 빈약한 그리스 인구가 이러한 접촉을 통해 지혜를 키우고 그들이 수집한 지식에 접근할 수 있었던 것처럼 말이다. 그리스에서 빌린 것 중 가장 결정적인 것은 편리한 페니키아 알파벳으로 글을 쓰는 기술이었다. 페니키아 알파벳의 각 기호는 자음을 나타내며 모음을 나타내는 기호는 없었다. 페니키아 알파벳에는 그리스어에 필요한 것보다 더 많은 자음 기호가 있었기 때문에 그리스인들은 필요한 자음 기호를 선택하고 변형하여 사용했다. 그 후 그리스인들은 읽기와 쓰기가 사제 계급의 전유물이었던 고대 문화권에서보다 더 폭넓은 배움의 기회를 부여했다. (페니키아 상인들은 결국 이 새로운 기호를 지중해 전역에 전파했지만, 이집트와 바빌로니아의 지식인들은 알파벳을 경멸했다. 아마도 전문가들의 신비한 즐거움인 정교한 표의 문자를 배우는 데 평생을 투자했기 때문일 것이다.) 나머지 기호에 모음 값을 추가하여 필요한 새로운 기호만 추가했다(예: 페니키아 알파벳에서 자음 값을 가진 $\alpha$가 그리스 알파벳에서 모음 A의 기호가 된 것). 다른 문제와 마찬가지로 그리스 도시 국가들은 알파벳을 정교화하기 위해 서로 경쟁했으며, 무려 10개의 다른 버전이 만들어졌다. 점차 이 지역 알파벳 중 하나인 이오니아 문자가 우위를 점하게 되었고, 기원전 403년 아테네에서 공식적으로 채택한 후 그리스 전역으로 빠르게 확산되었다. 알파벳 문자의 수용이 대중 교육과 같은 것을 시작하지는 않았지만, 쉽게 배울 수 있었기 때문에 읽기와 쓰기가 사제 계층의 전유물이었던 이전 문화에서보다 더 광범위한 학습이 가능했다. (페니키아 상인들은 결국 이 새로운 문자를 지중해 전역에 전파했지만, 이집트와 바빌로니아의 지식인들은 알파벳을 경멸했다. 아마도 전문가들의 신비한 즐거움인 정교한 표의 문자를 배우는 데 평생을 투자했기 때문이었을 것입니다).

귀금속 주화는 기원전 700년경 소아시아의 그리스 도시에서 발명되어 무역을 활성화하고 농업뿐만 아니라 동산을 기반으로 한 화폐 경제를 일으켰다. 이 새로운 화폐 경제는 부의 축적을 가능하게 함으로써 지적 귀족이 출현할 수 있는 여가 계층의 형성을 가능하게 했다. 아리스토텔레스는 『형이상학』에서 비실용적 활동이 지식의 발전에 얼마나 중요한지 인식했다.

모든 발명품이 발견되었을 때, 삶의 즐거움과 필수품과 관련이 없는 과학은 인간이 여가를 즐기기 시작한 땅에서 가장 먼저 발전했다. 사제 계급이 여가를 즐길 수 있었던 이집트에서 수학이 시작된 이유도 여기에 있다.

대부분의 고대 문명 사회에서는 교육을 받은 엘리트, 보통 사제들이 공동체의 활동을 지휘했다. 초기 바빌로니아에서처럼 사제 자체가 정부가 되었든 이집트에서처럼 단순한 하인에 불과했든, 글쓰기와 수학에 능통한 것은 사제들의 특별한 능력의 일부로 간주되었다. 이집트 관료제 구조에서 학식 있는 사람은 큰 특권과 잠재적 권력을 가진 지위를 가졌다. 그리스 역사가 폴리비우스는 "이집트 사제들은 지식 면에서 동료들을 뛰어넘었기 때문에 리더십과 존경의 지위를 얻었다"고 말했다. 동양의 학문은 전문가들만 공유할 수 있는 비밀이었지 일반 시민에게는 공개되지 않았다. 능력 있고 야망이 있는 사람은 교육을 통해 자신의 지위를 향상시킬 기회가 있었지만, 나폴레옹의 병사 중 야전 원수가 된 사람이 거의 없었던 것처럼 이러한 희망이 실현된 경우는 거의 없었다. 반면 그리스의 교육은 훨씬 더 광범위하게 이루어졌고 신사적인 아마추어를 배출하기 위해 고안되었다. 아마도 그리스인에게는 학문을 독점할 수 있는 강력한 사제직이 없었고, 정신의 복종을 요구하는 신성한 글이나 엄격한 교리가 없었다는 점이 차이점일 것이다. 어쨌든 최초의 그리스 지식인들은 정부 관리 계급이 아니라 사업을 직업으로 삼고 학문을 취미로 삼는 서민 출신이었다.

지리는 그리스 정치 생활의 패턴을 형성했다. 이집트와 바빌로니아에서는 많은 인구를 한 명의 통치자에게 복종시키는 것이 쉬웠지만, 산이나 바다로 모든 지역이 분리되어 있던 그리스에서는 절대 군주에 의한 중앙 통제가 불가능했다. 산악 장벽은 침략을 막기에는 충분하지 않았지만, 한 국가가 다른 국가와 합병되는 것을 막는 데는 충분했다. 애국적인 충성심은 아테네, 코린트, 테베, 스파르타 등 모국 도시에 대한 것이지 그리스 전체에 대한 것이 아니었다. 그리스 국가들은 큰 위기가 닥쳤을 때 단결하지 않으면 멸망할 수 있다는 생각으로 집단적으로 행동했다. 기원전 6세기 후반과 5세기 초반에 페르시아가 침략했을 때 그리스인들은 전투력을 모아 마라톤에서 다리우스(기원전 490년)를, 테르모필레에서 300명의 스파르타인이 재방위 작전을 펼친 후 살라미스에서 크세르크세스(기원전 480년)를 물리쳤다. 어느 경우에도 연합이 성공적이거나 오래 지속되지는 못했는데, 승리할 때마다 도시 국가들은 곧바로 무너져 긴 지역 전쟁으로 지쳐버렸기 때문이다. 정치적 단결이 부족했기 때문에 결과는 불가피했다. 기원전 338년 마케도니아의 필립 2세가 카로네아 전투에서 그리스 혼합 세력을 제압하고 스파르타를 제외한 모든 그리스 국가의 수장으로 자리매김하면서 종말이 왔다. 2년 후 필립이 죽고 권력은 그의 아들 알렉산더 대왕에게 넘어갔고, 알렉산더 대왕은 그 어떤 지도자도 이루지 못한 일을 해냈다. 알렉산더 대왕은 그리스를 통일하고 그리스 문명을 세계의 한계까지 끌어올렸다. 기원전 323년, 32세의 나이로 사망한 알렉산더 대왕은 200만 평방마일이 넘는 지역을 정복하고 통치했다. 하지만 주인이 바뀌었다고 해서 그리스인이나 그리스 문화가 사라진 것은 아니다. 알렉산더 대왕 시대부터 기원전 1세기까지의 세월은 학자들에게 헬레니즘 시대로 알려진 찬란한 역사의 시기를 형성했다.