[수학] 상형문자로 숫자를 표현하기

단일 지도자 아래 이집트의 통일이 이루어지자마자 강력하고 광범위한 행정 시스템이 발전하기 시작했다. 인구를 조사하고, 세금을 부과하고, 군대를 유지해야 하는 등 비교적 많은 수의 인구를 계산해야 했다. (제2왕조의 해 중 하나는 남북의 모든 크고 작은 소의 수를 세는 해로 명명되었다). 기원전 3500년에 이미 이집트인들은 수시로 새로운 기호를 도입하는 것만으로 계산을 무한정 지속할 수 있는 완전한 숫자 체계를 갖추고 있었다. 이는 현재 옥스퍼드 대학교 박물관이 소장하고 있는 고대 세계에서 가장 주목할 만한 유물 중 하나인 나르메르 왕의 메이스헤드를 통해 확인할 수 있다.

나르메르의 메이스헤드

 

왕조 시대 초기에 나르메르(일부 학자들은 통일 이집트 국가의 초대 통치자였던 전설적인 메네스로 추정)는 서부 델타에서 반란을 일으킨 리비아인들을 처벌해야 할 의무가 있었다. 그는 히에라콘폴리스(Hierakonpolis)의 신전에 유명한 나르메르 팔레트인 마그네슘 슬레이트 팔레트와 그의 승리를 증명하는 장면이 새겨진 기념용 메이스헤드를 남겼다. 메이스헤드에는 12만 명의 포로와 40만 마리의 소와 1,422,000마리의 염소 등 포로로 잡은 동물의 명단이 새겨져 있어 왕의 업적을 영원히 보존하고 있다.

이 그림은 포로들이 파라오 나르메르에게 바쳐지는 모습을 보여주는데, 그는 하이집트의 붉은 왕관을 쓰고, 도리깨를 들고 있으며, 긴 망토를 두르고 있다. 맨 아래에는 동물과 인간의 약탈에 대한 기록이 있습니다. 소 400,000마리, 염소 1,422,000마리, 포로 120,000마리.

 

초기에 매우 많은 숫자를 기록한 또 다른 예는 고인에게 만족스러운 사후 세계를 보장하는 것이 주된 목표였던 종교 및 마법의 글 모음인 《죽은 자의 책》에서 발견했다. 제1왕조인 것으로 추정되는 한 절에서 우리는 (이집트 신 누(Nu)가 말하는) 다음과 같은 내용이 적혀있다. "너희 영혼아, 나는 너희를 위해 일한다, 우리는 4백만, 6백, 1천, 2백 명이다."

 

처음 두 왕조의 파라오 치하에서 이집트 정부와 행정의 눈부신 출현은 글쓰기 방법 없이는 불가능했을 것이며, 우리는 정교한 ‘신성한 기호’ 또는 상형문자와 회계 서기의 빠른 필기체 모두에서 그러한 방법을 발견할 수 있다. 상형문자 체계는 각 문자가 구체적인 대상을 나타내는 그림 문자로, 그 중요성은 많은 경우에 여전히 인식할 수 있다. 기자 피라미드 근처의 무덤 중 하나에서 숫자 1이 하나의 수직 획 또는 지팡이 그림으로 표시되고, 일종의 말굽 또는 발굽 뼈 기호가 10개의 개별 획을 대체하는 집합 기호로 사용되는 상형문자 숫자 기호가 발견되었다. 즉, 이집트 수 체계는 10의 소수(라틴어의 '10'에서 유래)로 10의 거듭제곱으로 수를 세는 방식이었다. 고대인들이 숫자 체계의 기본으로 10을 자주 사용한 것은 의심할 여지 없이 인간의 열 손가락과 손가락으로 세는 습관 때문일 것이다. 같은 이유로 숫자 1과 비슷한 기호가 숫자 1을 표현하는 방법이 거의 모두 사용되었다.

 

100은 구부러진 밧줄, 1000은 연꽃, 1만은 똑바로 구부러진 손가락, 10만은 올챙이, 1,000,000은 사람이 놀란 듯 두 손을 들고 있는 모습, 10,000,000은 떠오르는 태양으로 추측되는 기호 등 10에서 10,000,000까지의 새로운 수마다 특별한 그림 문자가 사용되었다.

다른 숫자는 이러한 기호를 더하여(즉, 기호 집합이 나타내는 숫자는 개별 기호가 나타내는 숫자의 합이다) 각 문자를 최대 9번까지 반복하여 표현할 수 있다. 일반적으로 쓰는 방향은 오른쪽에서 왼쪽으로, 큰 단위를 먼저 나열한 다음 중요한 순서대로 다른 단위를 나열했다. 따라서 서기는 다음과 같이 기록했다.

 

이 기록을 현대의 숫자로 표현하면 다음과 같다.

 

1 · 100,000 + 4 · 10,000 + 2 · 1000 + 1 · 100 + 3 · 10 + 6 · 1 = 142,136

 

간혹 더 큰 단위가 왼쪽에 쓰이는 경우가 있었는데, 이 경우 기호를 뒤집어쓰기가 시작된 방향을 향하도록 썼다. 기호를 서로 위에 두 줄 또는 세 줄로 배치하여 측면 공간을 절약했다. 10의 거듭제곱마다 다른 기호가 있었기 때문에 표시되는 숫자의 값은 그룹 내 상형문자의 순서에 영향을 받지 않았다. 예를 들어

 

이것은 모두 숫자 1232를 의미합니다. 따라서 이집트의 숫자 표기 방식은 같은 기호가 숫자 표현의 위치에 따라 다른 의미를 갖는 '위치 체계'가 아니었다.

 

이집트 수 체계에서 덧셈과 뺄셈은 거의 어려움이 없었다. 또한 기호를 모아 같은 기호 10개를 다음 상위 기호로 교환하기만 하면 되었다. 이집트인들은 이렇게 345와 678을 더했을 것이다.

이것은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

다시 바꾸면 다음과 같다.

뺄셈은 같은 절차를 반대로 수행했다. 다음과 같이 큰 숫자를 나타내는 기호를 10개의 하위 기호로 교환하여 작은 숫자를 빼기에 충분한 양을 제공하는 '차용'이 사용되기도 했다.

이것은 다시 다음과 같이 변한한다.

이집트인들에게는 숫자를 나타내는 기호는 있었지만 산술 연산을 위한 통일된 표기는 없었다. 유명한 린드 파피루스(기원전 1650년경)의 경우, 서기가 상형문자로 덧셈과 뺄셈을 표현했는데, 이는 사람의 다리를 오가는 모양과 비슷하다.