[수학의 역사] 고대 이집트의 상형문자 숫자 표기법

 
이집트가 단일 지도자 아래 통일되자마자, 강력하고 광범위한 행정 체계가 점차 형성되기 시작했다. 인구 조사, 과세, 군대 유지 등 다양한 업무가 필요했으며, 이는 상대적으로 큰 숫자를 다루는 게 필요했다. (제2왕조 시대의 어떤 해는 ‘북부와 남부의 모든 큰 가축과 작은 가축의 수를 세는 해’로 명명되었다) 기원전 3500년경 이미 이집트인은 새로운 기호를 가끔 도입하는 것만으로 무한히 계산을 계속할 수 있는 완전히 발달한 숫자 체계를 갖추고 있었다. 이는 옥스퍼드 대학교 박물관에 소장된 고대 세계의 가장 놀라운 유물 중 하나인 나르메르 왕의 메이스 헤드에서 확인할 수 있다. 왕조 시대 초기에 나르메르(일부 학자들은 그가 연합된 이집트 국가의 첫 번째 통치자라고 추정하는 전설적인 메네스일 수 있다고 추정한다)는 서부 삼각주 지역의 반란을 진압하기 위해 리비아인을 처벌해야 했다. 그는 히에라콘폴리스의 신전에 화려한 석판 팔레트인 그 유명한 나르메르 팔레트와 의식용 메이스 헤드를 남겼으며, 이 두 유물에는 그의 승리를 증언하는 장면이 새겨져 있다. 메이스 헤드에는 왕의 업적을 공식적으로 기록한 내용이 영원히 보존되어 있다. 이 기록에는 12만 명의 포로 포획과 포로 동물 목록(40만 마리의 소와 142만 2천 마리의 염소)이 자랑스럽게 새겨져 있다.
 

나르메르의 메이스헤드

 

이 그림은 포로들이 파라오 나르메르에게 바쳐지는 모습을 보여주는데, 그는 하이집트의 붉은 왕관을 쓰고, 도리깨를 들고 있으며, 긴 망토를 두르고 있다. 맨 아래에는 동물과 인간의 약탈에 대한 기록이 있습니다. 소 400,000마리, 염소 1,422,000마리, 포로 120,000마리.

 
초기 단계에서 매우 큰 숫자를 기록한 또 다른 예시는 종교적 및 마법적 문헌의 모음집인 《사자의 서》에서 찾을 수 있다. 이 문헌의 주요 목적은 죽은 자에게 만족스러운 사후 세계를 보장하는 것이었다. 제1왕조 시대에 작성된 거로 추정되는 한 구절에서(이집트 신 <누>가 말하고 있다), “나는 너희를 위해 일한다, 오! 영혼들이여. 우리는 400만 6천1백2천 명이다.”
 
이집트 왕조 초기 두 개의 왕조 시대에 파라오 아래에서 이집트 정부와 행정이 화려하게 등장한 것은 글쓰기 방법이 없었더라면 불가능했을 것이다. 우리는 이러한 글쓰기 방법을 복잡한 ‘성스러운 상징’ 신성문자 또는 상형문자와 회계 서기의 빠른 필기체에서 모두 찾을 수 있다. 신성문자 체계는 그림 문자 체계로, 각 문자가 구체적인 물체를 나타내며, 그 의미는 여전히 알아볼 수 있다. 기자의 대피라미드 근처의 한 무덤에서 발견된 신성문자 숫자 기호는 숫자 1이 단일 수직선이나 지팡이 그림으로 표현되며, 10을 나타내는 기호로 말굽 모양이나 발꿈치뼈 기호 ⋂가 사용되었다. 즉, 이집트 숫자 체계는 십진법(라틴어 decem, ‘열’에서 유래)이었으며, 10의 거듭제곱으로 계산을 사용했다. 고대인들 사이에서 10이 숫자 체계의 기반으로 자주 사용된 것은 열 개의 손가락으로 세는 습관 때문이라는 건 의심할 여지가 없다. 같은 이유로, 우리 숫자 1과 유사한 기호가 거의 모든 곳에서 숫자 1을 표현하려고 사용하였다.
 
10의 각 새로운 10의 배수까지 10,000,000까지의 숫자를 표현하려고 특수한 그림 문자를 사용하였다. 100은 곡선형 줄로, 1,000은 연꽃으로, 10,000은 세워진 구부러진 손가락으로, 100,000은 올챙이로, 1,000,000은 큰 놀람을 표현하는 듯 두 손을 들어 올린 사람으로, 그리고 10,000,000은 때로는 떠오르는 태양으로 추정되는 기호로 표시되었다.

다른 숫자는 이러한 기호를 덧셈으로 표현할 수 있다. 바꿔 말하면, 기호 집합으로 표현된 숫자는 해당 기호 각각이 표현하는 숫자의 합이다. 각 기호는 최대 9번까지 반복할 수 있다. 보통 글쓰기 방향은 오른쪽에서 왼쪽으로 썼으며, 더 큰 단위가 먼저 나열되고 그다음 중요도 순으로 다른 단위가 나열되었다. 따라서 다음과 같이 작성했다.

 
이 숫자를 표시하면 다음과 같다.
 

1 · 100,000 + 4 · 10,000 + 2 · 1000 + 1 · 100 + 3 · 10 + 6 · 1 = 142,136

 
가끔 큰 단위는 왼쪽에 쓰였으며, 이 경우 기호는 글쓰기가 시작된 방향을 향해 회전하였다. 수평 공간을 절약하려고 기호는 두세 줄로 배치했으며, 한 줄이 다른 줄 위에 놓였다. 10의 지수마다 다른 기호가 사용되었기 때문에, 하나의 숫자 안에 자릿수 기호의 순서는 숫자의 값에 영향을 미치지 않았다. 예를 들면, 다음과 같다.

모든 숫자는 1232를 의미했다. 따라서 이집트의 숫자 표기법은 자릿수 체계가 아니었다. 즉, 숫자 표현에서 동일한 기호가 위치에 따라 다른 의미를 갖는 체계가 아니었다.

이집트 숫자 체계에서 덧셈과 뺄셈은 큰 어려움이 없었다. 덧셈은 단순히 기호를 모으고, 같은 기호 10개를 다음 더 높은 기호로 교환하는 것만 필요했다. 이집트인들이 예를 들어 345와 678을 더하는 방법은 다음과 같다.

이걸 바꾸면 다음과 같다.

다시 바꾸면 다음과 같다.

뺄셈은 같은 과정을 반대로 하였다. 때로는 ‘차용’을 사용했는데, 이는 큰 수의 기호를 10개의 낮은 차수의 기호로 교환하여 작은 수를 뺄 수 있도록 충분한 기호를 제공하는 방법이다. 예를 들어,

다시 바꾸면 다음과 같다.

이집트인들은 숫자를 나타내는 기호를 가지고 있었지만, 산술 연산에 사용하는 통일된 표기법은 없었다. 유명한 린드 파피루스(약 기원전 1650년경)의 경우, 작성자는 덧셈과 뺄셈을 사람의 다리가 오고 가는 모양을 닮은 상형문자로 표현했다.