가속도(Acceleration)란 무엇인가?

일상 대화에서 가속(acceleration)한다는 것은 속력을 높인다는 뜻이다. 실제로 자동차의 가속기는 자동차의 속력을 높일 수 있다. 가속이 커질수록 주어진 시간 동안의 속도 변화도 커진다. 가속도의 공식적인 정의는 이런 개념과 일치하지만, 더 포괄적이다.

 

가속도는 속도($ m/s $)를 시간(초)으로 나눈 값이므로, 가속도의 SI 단위는 $ m/s^2 $, 초의 제곱당 미터로, 말 그대로 초당 몇 미터씩 속도가 변하는지를 의미한다.

 

평균 가속도는 속도가 변하는 비율이다.

$$ \bar{a} = {\Delta v \over \Delta t} = {{v_f - v_0} \over {t_f - t_0}} $$

여기서 $ \bar{a}$는 평균 가속도, $v$는 속도, $t$는 시간이다.

 

속도는 벡터이며, 크기와 방향을 모두 가지고 있다는 점을 기억하자. 즉, 속도의 변화는 크기(또는 속력)의 변화일 수도 있지만 방향의 변화일 수도 있다. 예를 들어, 자동차가 일정한 속력으로 코너를 돌면 방향이 바뀌기 때문에 가속하는 것이다. 더 빨리 회전할수록 가속도가 커진다. 따라서 속도의 크기(속력 증가나 감소) 또는 방향 또는 두 가지 모두에 변화가 있을 때 가속이 발생한다.

 

가속도는 속도의 변화 $ \Delta v $와 같은 방향의 벡터이다. 속도는 벡터이기 때문에 크기나 방향이 바뀔 수 있다. 따라서 가속도는 속도나 방향 중 하나 또는 둘 다의 변화이다.

 

가속도는 속도의 변화 방향이지만 항상 운동 방향과 같은 것은 아니라는 점에 유의하자. 물체가 느려지면 가속도는 물체가 움직이는 방향과 반대이다. 이를 감속(deceleration)이라고 한다.

 

감속과 음의 가속도

감속은 항상 속도 방향과 반대 방향으로 가속을 의미한다. 감속은 항상 속력을 감소시킨다. 그러나 음의 가속도는 선택한 좌표계에서 음의 방향으로 가속하는 것을 말한다. 음의 가속도는 감속일 수도 있고, 감속이 아닐 수도 있으며, 감속은 음의 가속도로 간주할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어 다음 그림을 생각해 보자.

 

 

(a) 이 자동차는 오른쪽으로 이동하면서 속력을 높이고 있다. 따라서 좌표계에서는 양의 가속도를 가진다.

(b) 이 차는 오른쪽으로 이동하면서 속도를 늦추고 있다. 따라서 좌표계에서는 가속도가 왼쪽을 향하고 있어서 음의 가속도를 가진다. 이 차는 또한 감속하고 있다. 가속의 방향이 이동 방향과 반대이다.

(c) 이 자동차는 왼쪽을 향해 움직이고 있지만 시간이 지나면서 속도가 느려진다. 따라서 오른쪽을 향하고 있는 좌표계에서 가속도는 양수이다. 그러나 가속도가 운동과 반대이기 때문에 자동차는 감속하고 있다.

(d) 이 차는 왼쪽으로 이동하면서 속도를 높이고 있다. 왼쪽을 향해 가속하고 있어서 가속도가 음수이다. 그러나 가속도가 운동과 같은 방향이므로 감속이 아닌 가속을 하고 있다.

 

순간 가속도

순간 가속도 $a$ 또는 특정 시점의 가속도는 시간, 속도 및 속력의 순간 속도에 관해 설명한 것과 같은 과정, 즉 무한히 작은 시간 간격을 고려하여 구할 수 있다. 대수만 사용하여 순간 가속도를 구하려면 어떻게 해야 할까? 답은 운동을 대표하는 평균 가속도를 선택하면 된다. 다음 그림은 매우 다른 두 가지 운동에 대한 시간 대비 순간 가속도 그래프를 보여준다. 그림(a)에서 가속도는 약간 변화하지만 전체 구간의 평균은 어느 시점의 순간 가속도와 거의 같다. 이 경우 이 운동은 평균과 같은 일정한 가속도(이 경우 약 $ 1.8 m/s^2 $)를 갖는 것처럼 취급해야 한다. 그림(b)에서 가속도는 시간에 따라 급격하게 변한다. 이러한 상황에서 더 작은 시간 간격을 고려하고 각각에 대한 평균 가속도를 선택하는 것이 가장 좋다. 예를 들어 0초에서 1.0초까지의 시간 간격과 1.0초에서 3.0초까지의 시간 간격의 운동을 각각 $+3.0 m/s^2$ 및 $-2 m/s^2 $의 가속도를 가진 별도의 운동으로 간주할 수 있다.

 

 

위 그림은 두 가지 다른 1차원 동작에 대한 순간 가속도 대 시간 그래프이다. (a) 여기서 가속도는 약간만 변하고 양수이므로 항상 같은 방향이다. 간격에 걸친 평균은 주어진 시간의 가속도와 거의 같다. (b) 여기서는 가속도가 크게 달라지는데, 이것은 우체국 컨베이어 벨트 위의 소포가 부딪히면서 앞뒤로 가속되는 것을 나타낸다. 이러한 상황에서 가속도가 일정하거나 거의 일정한 작은 시간 간격(예: 0초에서 1.0초 사이)을 고려해야 한다.

 

다음은 지하철 열차의 운동 예이다. (가)에서는 지하철이 오른쪽으로 이동하고 (나)에서는 왼쪽으로 이동한다.

 

 

여기서 (+)는 오른쪽을, (-)는 왼쪽을 변위, 속도 및 가속도를 의미하도록 x축을 선택했다. (a) 지하철 열차가 $ x_0 $에서 $ x_f $로 오른쪽으로 이동한다. 변위 $ \Delta x $는 +2.0km이다. (b) 기차가 $ x'_0 $에서 $ x'_f $로 왼쪽으로 이동한다. 변위 $ \Delta x' $는 -1.5km입니다. (소수 기호(′)는 두 가지 다른 상황에서의 변위를 구분하기 위해 간단히 사용된다. 이동 거리와 자동차의 크기는 다이어그램에 모든 것을 맞추기 위해 다른 눈금을 사용한다.)

 

예제에서 주목해야 할 가장 중요한 점은 아마도 답의 부호일 것이다. 우리가 선택한 좌표계에서 (+)는 양이 오른쪽에 있음을 의미하고, (-)는 왼쪽에 있음을 의미한다. 이는 변위와 속도의 경우 쉽게 상상할 수 있다. 하지만 가속도의 경우에는 조금 덜 분명하다. 사람들은 대부분 음의 가속도를 물체의 속도가 느려지는 것으로 해석한다. 중요한 차이점은 가속도가 속도와 반대 방향이라는 점이다. 실제로 음의 가속도는 음의 속도를 증가시킨다. 이 경우 $v$와 $a$는 모두 음수이다. (+)와 (-) 기호는 가속도의 방향을 나타낸다. 가속도가 속도와 같은 부호를 가지면 물체의 속도가 빨라지고, 반대 부호를 가지면 물체가 느려진다.

 

 

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