[물리학] 1차원에서 일정한 가속도를 위한 운동 방정식

정지 신호에서 멀어지는 자동차의 가속도가 클수록 주어진 시간 동안 변위가 커진다는 것을 알 수 있다. 하지만 가속도와 변위를 연관시키는 구체적인 방정식은 아직 개발되지 않았다. 여기에서는 이미 다룬 변위, 속도, 가속도의 정의에서 시작하여 운동학 관계에 대한 몇 가지 편리한 방정식을 만들었다.

 

먼저 표기법을 몇 가지 단순화해 보겠다. 스톱워치로 시간을 측정하는 것처럼 초기 시간을 $0$으로 간주하면 매우 단순화할 수 있다. 경과 시간은 $ \Delta t = t_f - t_0 $이므로 $ t_0 = 0 $을 취하면 스톱워치의 최종 시간인 $ \Delta t = t_f $가 된다. 초기 시간을 $0$으로 간주할 때는 아래 첨자 $0$을 사용하여 위치 및 속도의 초기 값을 나타낸다. 즉, $x_0$은 초기 위치이고 $v_0$은 초기 속도이다. 최종 값에는 첨자를 넣지 않는다. 즉, $t$는 최종 시간, $x$는 최종 위치, $v$는 최종 속도이다. 이렇게 하면 경과 시간(현재)에 대한 더 간단한 표현식인 $ \Delta t = t $가 된다. 또한 변위에 대한 표현식도 단순화되어 이제 $ \Delta x = x - x_0 $이 된다. 또한 속도 변화에 대한 식도 단순화되어 이제 $ \Delta v = v - v_0 $이 된다. 요약하면, 초기 소요 시간을 $0$으로 하여 단순화된 표기법을 사용한다.

$$ \Delta t = t $$

$$ \Delta x = x - x_0 $$

$$ \Delta v = v - v_0 $$

여기서 첨자 $0$은 초기 값을 나타내고, 첨자가 없는 것은 고려 중인 운동의 최종 값을 나타낸다.

이제 가속도가 일정하다는 중요한 가정을 한다. 이 가정을 통해 순간 가속도를 구하기 위해 미적분을 사용하지 않아도 된다. 가속도는 일정하므로 평균 가속도와 순간 가속도는 동일하다. 즉,

$$ \bar a = a = constant $$

따라서 가속도에는 항상 기호 $a$를 사용한다. 가속도를 일정하다고 가정해도 연구할 수 있는 상황이 심각하게 제한되거나 치료의 정확도가 떨어지지는 않는다. 우선, 가속도는 많은 상황에서 일정하다. 또한, 다른 많은 상황에서는 해당 운동의 평균 가속도와 같은 일정한 가속도를 가정함으로써 동작을 정확하게 설명할 수 있다. 마지막으로, 자동차가 최고 속도로 가속한 후 제동하여 정지하는 것과 같이 가속도가 급격하게 변하는 동작에서는 동작을 각각 일정한 가속도를 갖는 별도의 부분으로 간주할 수 있다.

 

가속도($a$)가 상수일 때 평균 속도에서 변위($ \Delta x$)와 최종 위치($x$)를 구한다.

처음 두 개의 새로운 방정식을 구하려면 평균 속도의 정의부터 시작해야 한다.

$$ \bar{v} = {\Delta x \over \Delta t} $$

단순화된 표기법 $\Delta x$과 $\Delta t$를 대입하면 다음과 같다.

$$ \bar{v} = {{x - x_0} \over t } $$

$x$에 대해 풀면 다음과 같다.

$$ x = x_0 + \bar{v} t $$

여기서 평균 속도는 다음과 같다.

$$ \bar{v} = {{v_0 + v} \over {2}} $$

$a$는 상수이다.

 

이 방정식 $ \bar{v}=(v_0 + v)/2 $은 가속도가 일정할 때 $v$는 초기 속도와 최종 속도의 단순 평균이라는 사실을 반영한다. 예를 들어, 속도가 30km/h에서 60km/h로 꾸준히 증가한다면(즉, 가속도가 일정하다면) 이 꾸준한 증가 동안의 평균 속도는 45km/h이다. 이를 확인하기 위해 방정식 $ \bar{v}=(v_0 + v)/2 $을 사용하면 다음과 같다.

$$ \bar{v} = {{v_0 + v} \over 2} = {{30km/h+60km/h} \over 2} = 45 km/h $$

이것은 논리적으로 보인다.

 

방정식 $ x = x_0 + \bar{v} t $는 변위, 평균 속도, 시간 사이의 관계에 대한 통찰력을 제공한다. 예를 들어, 변위는 평균 속도의 선형 함수라는 것을 보여준다. (선형 함수란 변위가 $ \bar{v}^2$와 같은 다른 거듭제곱이 아닌 $\bar{v}$에 따라 $\bar{v}$에 따라 달라지는 것을 의미한다. 그래프로 그릴 때 선형 함수는 일정한 기울기를 가진 직선처럼 보인다.) 예를 들어 자동차 여행의 경우, 평균 시속 45km/h보다 평균 90km/h로 주행하면 주어진 시간 동안 두 배 더 멀리 갈 수 있다.

 

변위와 평균 속도 사이에는 선형 관계가 있다. 주어진 시간 $t$ 동안 다른 물체보다 두 배 빠르게 움직이는 물체는 다른 물체보다 두 배 더 멀리 이동한다.

 

최종 속도 계산

가속도의 정의를 조작하여 또 다른 유용한 방정식을 도출할 수 있다.

$$ a = {\Delta v \over \Delta t} $$

단순화하기 위해 $ \Delta v $와 $ \Delta t$를 대입하면 다음과 같다.

$$ a = {{v - v_0} \over t }$$

$a$는 상수이다.

$ v $를 풀면 다음과 같다.

$$ v = v_0 + at $$

$a$는 상수이다.

 

$v = v_0 + at$ 방정식은 문제 해결에 유용할 뿐만 아니라 속도, 가속도, 시간 간의 관계에 대한 통찰력을 제공한다. 예를 들어 이 식을 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.
- 최종 속도는 가속도가 얼마나 큰지, 얼마나 오래 지속되는지에 따라 달라진다.

- 가속도가 $0$이면 최종 속도는 예상대로 초기 속도($ v = v_0$)와 같다(즉, 속도는 일정하다).

- $a$가 음수이면 최종 속도는 초기 속도보다 작다.

(이러한 모든 관찰은 우리의 직관에 부합하며, 기본 방정식을 직관과 경험에 비추어 검토하여 실제로 자연을 정확하게 설명하는지 확인하는 것은 항상 유용하다.)

 

속도가 일정하지 않을 때($a \ne 0$) 최종 위치 구하기

위의 방정식을 결합하여 일정한 가속도를 가지는 물체의 최종 위치를 계산할 수 있는 세 번째 방정식을 찾을 수 있다. 먼저 다음 식으로 시작한다.

$$ v = v_0 + at $$

이 식의 양 쪽에 $v_0$를 더하고, 2로 나누면 다음과 같다.

$$ {{v_0 + v} \over {2}} = v_0 + {1 \over 2} at $$

기속도가 일정할 때, $\bar{v}$는 $ {{v_0 + v} \over 2}$이므로 식은 다음과 같다.

$$ \bar{v} = v_0 + {1 \over 2} at $$

이제 이 식을 변위 방정식($ x = x_0 + v_t$)에 $ \bar{v} $로 대입하면 다음과 같이 계산된다.

$$ x = x_0 + v_0 t + { 1 \over 2} at^2 $$

$a$는 상수이다.

 

이 식 $x = x_0 + v_0 t + {1 \over 2} at^2 $을 살펴봄으로써 무엇을 배울 수 있을까? 

º 변위는 가속도가 0이 아닐 때 경과 시간의 제곱에 따라 달라진다.

º 가속도가 0이면 초기 속도는 평균 속도($ v_0 = \bar{v}$)와 같고, $ x = x_0 + v_0 t + { 1 \over 2} at^2 $는 $ x = x_0 + v_0 t $이다.

 

속도가 일정하지 않을 때($a \ne 0$) 최종 속도 구하기

네 번째 유용한 방정식은 이전 방정식의 다른 대수적 조작을 통해 얻을 수 있다.

만약 시간 $t$에서 $ v = v_0 + at $를 풀면 다음과 같다.

$$ t = {{v - v_0} \over a} $$

이 값과 $ \bar{v} = (v_0 + v)/2 $를 $ x = x_0 + \bar{v} t$로 대입하면 다음과 같다.

$$ v^2 = v_0^2 + 2a (x -x_0) $$

$a$는 상수이다.

 

물리량 사이의 식 $ v^2 = v_0^2 + 2a (x -x_0) $를 조사하면 일반적인 관계에 대한 추가 통찰력을 얻을 수 있다.

- 최종 속도는 가속도의 크기와 가속도가 작용하는 거리에 따라 달라진다.

- 고정 감속의 경우, 두 배 빠른 속도로 가는 자동차는 단순히 두 배의 거리에서 멈추는 것이 아니라 훨씬 더
멈추는 데 더 많은 시간이 걸린다. (이것이 바로 학교 근처에 제한 속도 구간을 설정한 이유이다.)

 

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