[물리학] 떨어지는 물체의 운동학

피사

 

떨어지는 물체는 흥미로운 종류의 운동 문제이다. 예를 들어 수직 광산 갱도에 돌을 떨어뜨려 바닥에 부딪히는 소리를 들으면서 수직 갱도의 깊이를 추정할 수 있다. 지금까지 개발한 운동학을 낙하하는 물체에 적용하면 몇 가지 흥미로운 상황을 살펴보고, 그 과정에서 중력에 대해 많은 것을 배울 수 있다.

 

낙하하는 물체에 대한 가장 놀랍고 의외의 사실은 공기 저항과 마찰이 무시할 수 있는 수준이라면 주어진 위치에서 모든 물체는 질량과 관계없이 같은 일정한 가속도로 지구 중심을 향해 떨어진다는 것이다. 우리는 공기 저항과 마찰의 영향에 너무 익숙해져서 가벼운 물체가 무거운 물체보다 느리게 떨어질 것으로 예상하기 때문에 실험적으로 밝혀진 이 사실은 의외의 사실이다.

 

실제 세계에서는 공기 저항으로 같은 크기의 무거운 물체보다 가벼운 물체가 더 느리게 떨어질 수 있다. 테니스공은 딱딱한 야구공을 동시에 떨어뜨린 후에 땅에 닿는다. (높이가 크지 않으면 그 차이를 관찰하기 어려울 수 있다) 공기 저항은 물체가 공기를 통과하는 운동에 반대하며, 옷과 세탁 슈트 사이 또는 돌과 떨어뜨린 수영장 사이의 마찰과 같은 물체 사이의 운동도 물체 사이의 운동에 반대한다. 처음 몇 장의 이상적인 상황에서는 공기 저항이나 마찰 없이 떨어지는 물체를 자유 낙하라고 정의한다.

 

중력은 물체를 지구 중심을 향해 떨어지게 한다. 따라서 자유 낙하하는 물체의 가속도를 중력에 의한 가속도라고 한다. 중력에 의한 가속도는 일정하므로 공기 저항과 마찰이 무시할 수 있는 모든 낙하하는 물체에 운동학 방정식을 적용할 수 있다. 이것은 우리에게 매우 흥미로운 상황을 열어준다. 중력으로 인한 가속도는 매우 중요하기 때문에 그 크기에 고유한 기호인 $g$가 부여되며, 지구의 어느 위치에서나 일정하고 평균값을 가진다.

 

위도, 고도, 기본 지질 구조 및 지역 지형에 따라 $g$는 $ 9.78 m/s^2 $에서 $ 9.83 m/s^2 $까지 다양하지만, 여기에서는 특별한 설명이 없는 한 평균값인 $ 9.80 m/s^2 $를 사용한다. 중력에 의한 가속도의 방향은 아래쪽(지구 중심을 향함)이다. 실제로 그 방향은 우리가 수직이라고 부르는 것을 정의한다. 운동 방정식의 가속도 $a$가 $+g$ 또는 $-g$ 값을 갖는지 아닌지는 좌표계를 어떻게 정의하느냐에 따라 달라진다. 위쪽을 양으로 정의하면 $ a = -g = -9.80 m/s^2 $가 되고, 아래쪽을 양으로 정의하면 $ a = g = 9.80 m/s^2 $가 된다.

 

중력과 관련된 동작의 기본 특징을 파악하는 가장 좋은 방법은 가장 단순한 상황부터 시작하여 더 복잡한 상황으로 나아가는 것이다. 따라서 공기 저항이나 마찰이 없는 직선 위아래 운동을 고려하는 것으로 시작한다. 이러한 가정은 속도(있는 경우)가 수직인 것을 의미한다. 물체를 떨어뜨리면 초기 속도는 $0$이라는 것을 알 수 있다. 물체가 물체를 잡거나 던진 물체와 접촉을 끊고 나면 물체는 자유 낙하 상태에 놓이게 된다. 이러한 상황에서 운동은 1차원이며 일정한 가속도 $g$를 가진다. 또한 수직 변위는 기호 $y$로 나타내고 수평 변위는 $x$를 사용한다.

 

가속도 $-g$인 자유 낙하하는 물체의 운동 방정식

$$ v = v_0 - gt $$

$$ y = y_0 + v_0 t - {1 \over 2} gt^2 $$

$$ v^2 = v_0 ^2 - 2g (y - y_0) $$

 

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