로켓 모터의 내탄도 해석용 컴퓨터 코드 개발

개요

이 책은 고체 추진제 로켓 모터의 성능 예측과 내탄도 설계를 체계적으로 다룬다. 저자 S. Krishnan과 J. Raghavan은 Springer Aerospace Technology 시리즈(2020)를 통해, 실제 로켓 모터 개발 현장에서 "첫 번째 설계 사이징(first-cut sizing)"에 쓰이는 두 가지 핵심 해석 방법론을 중심으로 내용을 전개한다.

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1. 고체 로켓 모터의 구조와 기본 원리

고체 추진제 로켓 모터는 크게 네 가지 주요 구성 요소로 이루어진다.

• 점화기(Igniter): 추진제 그레인의 연소를 개시한다.
• 그레인(Grain): 연소 시 고온 · 고압의 연소 생성물을 만들어내는 고체 화학물질 덩어리다. 대부분 중심부에 구멍(port)이 뚫린 원통형 구조를 가진다.
• 노즐(Nozzle): 고온 · 고압 연소 생성물을 고속으로 가속시켜 추력을 발생시킨다.
• 모터 케이싱(Motor Casing): 그레인과 점화기를 수납하며 고압과 급격한 압력 변화를 견뎌야 한다. 고온 연소 생성물로부터 보호하기 위해 내열 인슐레이터와 라이너가 적용된다.

추력 F는 다음 식으로 표현된다:

 

$$ F = \dot{m} \cdot u_e + A_e(p_e − p_a) $$

 

즉, 추력은 노즐 출구의 운동량 추력과 압력 추력의 합이다. 고정 형상의 모터에서 추력은 노즐 입구 전압($p_0$)과 비행 고도의 대기압($p_a$)에 의해 결정되며, 따라서 성능 예측의 핵심은 $p_0$의 시간적 변화를 정확히 예측하는 것이다.

압력-시간 선도(Pressure-Time Trace)

로켓 모터의 작동은 세 단계로 구분된다:

1. 점화 과도(Ignition Transient): 점화기 작동으로부터 최초 평형 압력 도달까지의 과정으로, 점화 지연 → 화염 전파 → 챔버 충전의 세 단계로 세분된다.
2. 평형 운용(Equilibrium Operation): 연소 생성물의 생성 속도와 노즐을 통한 배출 속도가 균형을 이루는 주요 작동 구간이다. 이 구간이 실질적인 추력 발생 구간이며, 설계자는 점화 과도와 테일오프 과도를 최대한 짧고 부드럽게 만들고자 노력한다.
3. 테일오프 과도(Tail-off Transient): 번아웃(burnout) 이후 잔류 추진제(슬리버, sliver)가 소진될 때까지의 압력 감소 구간이다.

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2. 성능 예측 방법론

(1) 평형압력 해석 (Equilibrium-Pressure Analysis) — 0차원 모델

포트-노즐 목 면적비(port-to-throat area ratio)가 3~4 이상이고, 추진제 체적 충전률이 0.75 미만인 저성능 모터에 적용한다. 이 조건에서는 포트 내 유속이 낮아 전압(total pressure)과 정압(static pressure)의 차이가 3% 미만으로 무시할 수 있다. 따라서 챔버 전체에 균일한 단일 압력 $p(t)$를 가정하는 집중 챔버압 모델(lumped chamber-pressure model) 또는 0-D 모델로 처리된다.

(2) 증분 해석 (Incremental Analysis) — 1차원 모델

포트-목 면적비가 3~4 미만인 고성능 모터에 적용한다. 포트 내 유속이 높아 전압과 정압이 헤드엔드에서 노즐 엔드 방향으로 상당히 감소하므로, 포트를 따라 충분한 수의 증분 제어 체적(incremental control volume) 으로 분할하여 질량보존 및 운동량보존 방정식을 1차원적으로 풀어나간다. 이는 다시 두 가지로 세분된다:

• 준정상 유동 모델 $p(x)$: 챔버압 변화율이 완만한 평형 운용 구간에 적용한다.
• 비정상 1-D 유동 모델 $p(x, t)$: 챔버압 변화율이 큰 점화 과도 및 테일오프 과도에 적용한다.

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3. 평형압력 해석의 세부 내용

주요 가정

1. 단열 시스템: 연소 생성물은 고정 조성과 일정한 비열비($\gamma$)를 가지며, 전온도 $T_0$는 평균 평형 챔버압에서의 단열 화염 온도로 일정하게 취급된다.
2. 이상기체 상태방정식 적용: 알루미늄 산화물 등 응축상(liquid/solid) 입자들은 몰 분율 5%, 질량 분율 약 25%이나 체적 분율이 0.04%에 불과하여, 등가 몰질량($\dot{m}$)을 도입해 이상기체로 취급한다.
3. 항상 질식된 노즐: 노즐 목은 항상 질식 상태를 유지한다고 가정한다.
4. 무한 강성 그레인 및 케이싱: 구조적 변형은 무시한다.

연소 안정성 조건

평형 운용의 안정적 유지를 위해서는 추진제의 연소율 지수(burning rate index, $n$)가 1 미만이어야 한다. $n ≥ 1$이면 압력 섭동이 자기강화(self-reinforcing)되어 모터가 불안정해진다.

테이퍼 원통형 그레인의 기하학적 해석

원통형 케이싱에 수납된 테이퍼 원통형 그레인의 연소 면적 진행(burning area progression) 지배 방정식을 유도하고, 이를 토대로 전체 압력-시간 선도를 계산하는 방법을 실례를 통해 상세히 설명한다.

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4. 증분 해석의 세부 내용 

Frozen 유동 vs. Shift 평형 유동

• Frozen 평형 유동(Frozen-flow assumption): 연소 생성물의 화학 조성이 포트 전체에 걸쳐 고정되어("frozen") 있다고 가정한다. 유동 체류 시간이 반응 시간보다 매우 짧을 때 근사적으로 성립한다.
• Shift 평형 유동(Shifting-equilibrium assumption): 유동 조건(정압, 정온도)이 변함에 따라 연소 생성물의 평형 조성이 연속적으로 변화한다고 가정한다. CO, OH, H, O 등의 해리 화학종이 재결합하거나, Al₂O₃ 입자의 상변화가 일어날 수 있다. 이 두 가정은 로켓 성능의 이론적 상하한을 나타내며, 실제 성능은 추진제 조성에 따라 두 극단 사이의 어딘가에 위치한다.

침식 연소 (Erosive Burning)

포트 내 유동의 질량 유량 밀도(ρu) 또는 마하수(M) 가 증가하면 연소율이 기본 연소율보다 상승하는 침식 연소가 발생한다. Lenoir-Robillard 모델을 이용해 이를 정량적으로 예측하며, 실제 모터 설계에서 무시할 수 없는 중요한 현상이다.

포트 유동 지배 방정식

비정상 포트 유동에 대한 질량보존 방정식과 운동량보존 방정식을 유도하고, 비정상 항을 제거하면 정상 포트 유동 방정식이 자연스럽게 얻어진다. 정상 및 비정상 포트 유동 모두에 대한 수치 풀이 절차가 예제와 함께 설명된다.

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5. FORTRAN 컴퓨터 프로그램

침식 연소를 포함한 정상 유동 증분 해석(steady-flow incremental analysis) 을 구현한 FORTRAN 프로그램 Steadyfull을 제공한다. 이 프로그램은 테이퍼 원통형 그레인을 가진 고체 추진제 로켓 모터의 점화 과도·평형 운용·테일오프 과도를 모두 포함한 전체 내탄도를 계산한다.

• 입력 파일: 추진제 데이터(연소율 계수 a, 압력 지수 n, 밀도 ρₚ, 비열 등)와 모터 형상 데이터(외경, 그레인 길이, 노즐 목 직경, 면적비, 테이퍼 각도 등)를 각각 별도 파일로 입력한다.
• 출력 파일: 매 시간 스텝별 포트 유동 상세 결과(상세 출력)와 전체 요약 출력의 두 종류로 제공된다.
• 적용 범위: 6가지 서로 다른 모터 형상에 대한 예제와 상세 출력이 제공된다.

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결론

이 책은 고체 추진제 로켓 모터의 내탄도 해석을 위한 이론적 기초에서 수치 구현까지를 일관되게 다루는 전문 교재다. 0차원 평형압력 해석으로 시작해 1차원 증분 해석으로 심화되는 구성은, 독자가 단계적으로 모터 성능 예측의 복잡도를 높여가며 이해할 수 있도록 설계되어 있다. 특히 침식 연소, Frozen/Shift 평형 유동, 압력 안정 조건 등 실무에서 반드시 고려해야 할 현상들을 수식과 예제로 명확히 설명함으로써, 로켓 추진 분야 입문자와 실무 엔지니어 모두에게 실용적인 참고서가 된다.

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키워드: 고체 추진제 로켓 모터, 내부 탄도학, 평형압력 해석, 증분 해석, 연소율 지수, 에로시브 연소, 포트-목 면적비, 점화 과도, 테일오프 과도, Lenoir-Robillard 모델

 

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