Saint-Robert's Law 단위 변환 정리

체코 OZM 사의 스트랜드 버너

기본 개념

Saint-Robert's Burning Rate Law (Power Law)는 고체 추진제의 연소속도와 연소실 압력 사이의 경험적 관계식이다.

$$r = a \cdot P^n$$

여기서 $r$은 연소속도, $P$는 연소실 압력, $a$는 연소속도 계수, $n$은 압력 지수이다.

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단위 체계

변수	설명	Imperial	SI
$r$	연소속도	in/s	m/s
$P$	연소실 압력	psi	Pa (또는 MPa)
$a$	연소속도 계수	in/(s·psi$^n$)	m/(s·Pa$^n$)
$n$	압력 지수	무차원	무차원

 

$n$은 무차원 지수이므로 단위계와 무관하게 동일한 값을 유지한다. 변환 대상은 $a$뿐이다.

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단위 변환 인자

연소속도와 압력의 단위 변환 인자는 다음과 같다.

$$r_{\text{SI}} = r_{\text{imp}} \times 0.0254$$

$$P_{\text{SI}} = P_{\text{imp}} \times 6894.757$$

 

역방향은 다음과 같다.

$$r_{\text{imp}} = \frac{r_{\text{SI}}}{0.0254}$$

$$P_{\text{imp}} = \frac{P_{\text{SI}}}{6894.757}$$

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핵심 유도 원리

변환의 핵심은 같은 물리 현상이므로 $r$은 동일해야 한다는 등치 조건이다. 두 단위계에서 동일한 추진제의 연소속도를 나타내므로 다음이 성립한다.

$$a_{\text{imp}} \cdot P_{\text{imp}}^{n} \times 0.0254$$

$$= a_{\text{SI}} \cdot \left(P_{\text{imp}} \times 6894.757\right)^{n}$$

좌변과 우변을 $P_{\text{imp}}^{n}$으로 나누면 $a$의 변환식이 도출된다.

$$a_{\text{imp}} \times 0.0254 = a_{\text{SI}} \times 6894.757^{n}$$

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① Imperial → SI 변환 (psi 기준 → Pa 기준)

$${a_{\text{SI}} = \frac{a_{\text{imp}} \times 0.0254}{6894.757^{n}}}$$

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② SI → Imperial 변환 (Pa 기준 → psi 기준)

$${a_{\text{imp}} = \frac{a_{\text{SI}} \times 6894.757^{n}}{0.0254}}$$

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③ SI 단위를 MPa로 쓰는 경우

실무에서는 압력을 Pa 대신 MPa로 표기하는 경우가 많다. 이때 변환 인자는 다음과 같다.

$$P_{\text{MPa}} = P_{\text{psi}} \times 6.894757 \times 10^{-3}$$

 

Imperial → SI (MPa 기준)

$${a_{\text{SI, MPa}} = \frac{a_{\text{imp}} \times 0.0254}{\left(6.894757 \times 10^{-3}\right)^{n}}}$$

 

SI (MPa 기준) → Imperial

$${a_{\text{imp}} = \frac{a_{\text{SI, MPa}} \times \left(6.894757 \times 10^{-3}\right)^{n}}{0.0254}}$$

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④ 변환식 요약

변환 방향	$a$ 변환식	$n$
Imperial → SI (Pa)	$\displaystyle a_{\text{SI}} = \dfrac{a_{\text{imp}} \times 0.0254}{6894.757^{n}}$	불변
SI (Pa) → Imperial	$\displaystyle a_{\text{imp}} = \dfrac{a_{\text{SI}} \times 6894.757^{n}}{0.0254}$	불변
Imperial → SI (MPa)	$\displaystyle a_{\text{SI, MPa}} = \dfrac{a_{\text{imp}} \times 0.0254}{\left(6.894757 \times 10^{-3}\right)^{n}}$	불변
SI (MPa) → Imperial	$\displaystyle a_{\text{imp}} = \dfrac{a_{\text{SI, MPa}} \times \left(6.894757 \times 10^{-3}\right)^{n}}{0.0254}$	불변

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⑤ 수치 예시 ($n = 0.35$)

Imperial 기준 $a_{\text{imp}} = 0.066\ \text{in/(s·psi}^{0.35}\text{)}$일 때,

 

SI (Pa 기준)

$$a_{\text{SI}} = \frac{0.066 \times 0.0254}{6894.757^{0.35}} \approx 7.82 \times 10^{-6}\ \text{m/(s·Pa}^{0.35}\text{)}$$

 

SI (MPa 기준)

$$a_{\text{SI, MPa}} = \frac{0.066 \times 0.0254}{\left(6.894757 \times 10^{-3}\right)^{0.35}} \approx 3.16 \times 10^{-3}\ \text{m/(s·MPa}^{0.35}\text{)}$$

 

검증: 동일한 물리 압력 $P = 1000\ \text{psi} = 6.895\ \text{MPa} = 6.895 \times 10^{6}\ \text{Pa}$를 대입하면,

$$r = 0.066 \times 1000^{0.35} \approx 0.468\ \text{in/s} = 0.01189\ \text{m/s}$$

$$r = 7.82 \times 10^{-6} \times \left(6.895 \times 10^{6}\right)^{0.35} \approx 0.01189\ \text{m/s} \quad \checkmark$$

$$r = 3.16 \times 10^{-3} \times 6.895^{0.35} \approx 0.01189\ \text{m/s} \quad \checkmark$$

 

세 단위계에서 동일한 $r$ 값이 도출되어 변환식이 검증된다.

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실무 주의사항

$a$의 수치는 $n$의 값에 따라 크게 달라지므로, 문헌에서 데이터를 가져올 때는 반드시 $r$과 $P$의 단위를 $a$와 함께 명기해야 한다. 특히 Pa 기준과 MPa 기준 $a$ 사이에는 $\left(10^6\right)^n$배의 차이가 발생하므로 혼용에 주의해야 한다.

$$a_{\text{SI, Pa}} = a_{\text{SI, MPa}} \times \left(10^{-6}\right)^{n}$$