책상 옆 도서관

다음 그림과 같이 대부분 금속 재료는 변형률이 작을 때 거의 선형 탄성 거동이며, 영률 또는 탄성률이라고도 하는 재료의 강성은 일정하다.

다음 그림과 같이 응력 및 변형률이 높아지면 금속 재료는 비선형 비탄성 거동을 하기 시작한다. 이것은 소성이라고 한다.

* 소성 (塑性) : 고체에 외력을 가하여 탄성 한계 이상으로 변형시켰을 때, 외력을 빼어도 원래의 상태로 돌아가지 않는 성질

1) 연성 금속 재료의 소성 특성

재료의 소성 거동은 항복점과 항복 후 경화로 설명할 수 있다. 다음 그림과 같이 탄성이 소성으로 변하는 것은 탄성 한계 또는 항복점이라고 하는 재료의 응력-변형률 곡선상의 특정 지점에서 발생한다. 항복점의 응력을 항복 응력이라고 한다. 대부분 금속 재료에서 초기 항복 응력은 재료 탄성률의 0.05~0.1%이다.

항복점에 도달하기 전에 금속 재료의 변형은 탄성 변형만 발생시킨다. 이 변형은 주어진 하중이 제거되면 완벽히 회복된다. 그러나 금속 재료의 응력이 항복 응력을 초과하면 영구(비탄성) 변형이 발생하기 시작한다. 이 영구 변형과 관련된 변형을 소성 변형(塑性 變形)이라고 한다. 탄성과 소성 변형은 항복 후 영역에서 금속 재료의 변형과 함께 축적된다.

위 그림과 같이 일반적인 금속 재료의 강성은 재료가 항복할 때 급격히 감소한다. 항복한 연성 금속 재료는 주어진 하중이 제거되면 초기 탄성 강성으로 돌아간다. 때때로 항복 후에 하중이 계속되면 재료의 소성 변형과 함께 항복 응력이 증가한다. 이 거동을 가공 경화(Hardening)라고 한다.

금속 소성의 또 다른 중요한 특징은 비탄성 변형이 거의 비압축성인 재료 모델과 관련이 있다는 것이다. 이 효과를 해석하려면 탄성 해석에서 사용할 수 있는 요소 종류에 몇 가지 엄격한 제한이 있다.

금속은 인장 하중에서 소성 변형될 때 재료가 파손되면서 위 그림과 같이 네킹(necking)이라는 매우 국부적인 신장과 얇아지는 현상을 일으킬 수 있다. 금속 재료의 공업 응력(단위 초기 면적 당 힘)은 공칭 응력으로 알려져 있으며, 공칭 변형률(단위 초기 길이 당 길이의 변화)과 한 짝이다. 네킹이 일어날 때 금속 재료의 공칭 응력은 재료의 극한 강도보다 훨씬 작다. 이 재료 모델은 시험편의 형상, 시험 자체의 특성, 사용된 응력과 변형률로 발생한다. 예를 들어, 압축 방향으로 같은 재료를 시험하면 시편이 압축 하중에서 변형될 때 얇아지지 않으므로 네킹 영역이 없는 응력-변형률이 나타난다. 금속 재료의 소성 거동을 설명하는 수학 모델은 구조물의 기하 형상과 주어진 하중의 특성과 독립적으로 압축과 인장의 차이를 표현할 수 있어야 한다. 이것은 잘 알려진 공칭 응력($ F/A_0$)과 공칭 변형률($\Delta l/l_0$)의 정의가 유한하게 변형할 때 면적의 변화를 설명하는 새로운 응력과 변형률의 측정으로 대체하여 실현할 수 있다. 여기서 아래 첨자의 0은 재료의 변형 전 상태의 값을 나타낸다.

2) 유한 변형에 대한 응력과 변형의 측정

압축과 인장의 변형률은 $ \Delta  l \rightarrow  dl \rightarrow  0$와 같이 극한으로 간주할 때만 같다. 
$$ d \varepsilon = {{dl} \over {l}}$$

$$ \varepsilon = \int_{l_0}^{l} {{dl} \over {l}} = \ln \left( l \over l_0 \right) $$
여기서 $l$은 현재 길이, $ l_0 $은 원래 길이, $ \varepsilon $은 진 변형률(true strain) 또는 지수 변형률(logarithmic strain)이다.

진 변형률에 따라 변화하는 응력은 진 응력(true stress)이라고 하며 다음과 같다.
$$ \sigma = {F \over A} $$
여기서 $ F $는 재료의 힘이고, $ A $는 현재 면적이다. 유한 변형을 받는 연성 금속 재료는 변형률에 대한 응력을 표시할 때 인장과 압축이 같은 응력-변형률 거동을 가진다.

3) Abaqus에서 소성의 정의

Abaqus에서 소성 데이터를 정의할 때, 진 응력과 진 변형률을 사용해야 한다. Abaqus는 올바르게 해석하려면 이 값이 필요하다. 대부분 재료 시험 데이터는 공칭 응력과 공칭 변형의 값으로 제공된다. 이 상황에서는 아래에 주어진 공식을 사용하여 소성 재료 데이터를 공칭 응력-변형률 값에서 진 응력-변형률 값으로 변환해야 한다.

진 변형률과 공칭 변형률의 관계는 다음과 같이 공칭 변형률로 나타낼 수 있다.
$$ \varepsilon_{nom} = {{l - l_0} \over {l_0}} = {l \over l_0} - {l_0 \over l_0} = {l \over l_0} - 1 $$
이 식의 양변에 1을 더하고, 양변의 자연로그를 취하면 진 변형률과 공칭 변형률의 관계식이 얻어진다.
$$ \varepsilon = \ln \left( 1 + \varepsilon_{nom} \right) $$
진 응력과 공칭 응력의 관계식은 소성 변형의 비압축성을 고려하고, 탄성도 비압축성이라고 가정하면 만들 수 있다. 
$$ l_0 A_0 = lA $$
현재 면적은 다음 식으로 원래 면적과 관련이 있다.
$$ A = A_0 {l_0 \over l} $$
이 $ A $의 정의를 진 응력의 정의에 대입하여 다음을 얻을 수 있다.
$$ \sigma = {F \over A} = {F \over A_0} {l \over l_0} = \sigma_{nom} \left ( {l \over l_0} \right ) $$
여기서, $ l/l_0$을 $ 1 + \varepsilon_{nom} $으로 다시 작성할 수도 있다.

이 마지막 대입은 공칭 응력과 공칭 변형률에 의한 진 응력의 공식을 제공한다.
$$ \sigma = \sigma_{nom} \left( 1 + \varepsilon_{nom} \right) $$
이런 관계는 네킹 전에만 유효하다.

Abaqus의 고전적인 금속 소성 모델은 대부분 금속이 항복한 후 거동을 정의한다. Abaqus는 주어진 데이터점을 연속적인 여러 직선으로 연결하고, 재료의 매끄러운 응력-변형률 거동을 근사한다. 임의의 수의 데이터 포인트를 사용하여 실제 재료 모델을 근사할 수 있다. 다시 말하여, 실제 재료 모델에 매우 가까운 근사를 사용할 수 있다. 소성 데이터는 재료의 진 항복 응력을 진 소성 변형률의 함수로 정의한다. 주어진 데이터의 첫 번째 점은 재료의 초기 항복 응력을 정의한다. 따라서 데이터 포인트는 값이 0인 소성 변형률을 제공해야 한다.

소성 거동을 정의하는 데 사용하는 재료 시험 데이터의 변형률은 재료의 소성 변형률이 아니다. 대부분은 그들은 재료의 전체 변형률이다. 이런 모든 변형률 값을 탄성과 소성 변형 성분으로 분해해야 한다. 소성 변형률은 전체 변형률 값에서 탄성 변형률(진 응력을 영률로 나눈 값)을 뺀 값으로 계산한다.

이 식은 아래에 설명되어 있다.
$$ \varepsilon^{pl} = \varepsilon^t - \varepsilon^{el} = \varepsilon^t - \sigma/E $$
여기에서 $ \varepsilon^{pl} $은 진 소성 변형률, $ \varepsilon^t $은 진 전체 변형률, $ \varepsilon^{el} $은 진 탄성 변형률, $ \sigma $는 진 응력, $ E $는 영률이다.

재료의 소성 거동을 정의하는 시험 데이터를 Abaqus의 적절한 입력 형식으로 변환하는 방법의 예로 다음 그림의 공칭 응력-변형률 곡선을 사용한다. 이 공칭 응력-변형률 곡선에 표시된 6개의 포인트는 소성 데이터를 결정하는 데 사용한다.

첫째, 앞서 언급한 진 응력과 공칭 응력, 공칭 변형률 관계식과 진 변형률과 공칭 변형률의 관계식을 사용하여 공칭 응력과 공칭 변형률을 진 응력과 진 변형률로 변환한다. 이 값을 구하면 소성 변형률과 전체 변형률, 탄성 변형률 관계식을 사용하여 각 항복 응력 값에 대응하는 소성 변형률을 구할 수 있다. 변환 후의 데이터는 다음 표와 같다.

표. 응력과 변형률 변환

변형률이 작을 때 공칭 값과 진 값의 차이는 거의 없지만 변형률이 높아지면 그 차이는 매우 벌어진다. 따라서 해석에서 변형률이 높아지면 진 응력-변형률 데이터를 Abaqus에 제공하는 것이 매우 중요하다.

해석을 수행할 때 Abaqus/Explicit는 재료 데이터를 정확하게 사용자가 정의한 대로 사용하지 않을 수 있다. 효율적인 이유로 테이블 형식으로 정의된 모든 재료 데이터는 자동으로 조정된다. 재료 데이터는 온도, 외부 필드, 내부 상태 변수(소성 변형 등)의 함수 일 수 있다. 각 재료 점을 계산할 때 재료의 상태를 보간법으로 구해야 한다. 따라서 효율적인 이유로 Abaqus/Explicit는 사용자 정의 곡선을 같은 간격 포인트로 구성된 곡선으로 근사한다. 이런 조정된 재료 곡선은 해석 중에 사용되는 재료 데이터이다. 해석에 사용되는 조정 된 재료 곡선과 사용자가 지정한 재료 곡선 사이에는 이런 차이가 있을 수 있으며 이런 차이를 이해하는 것이 중요하다.

조정된 재료 데이터를 사용할 때, 영향을 설명하기 위해 다음 두 가지 예를 고려한다. 다음 그림은 비정규 데이터를 사용자가 정의한 예를 보여준다.

이 예에서 Abaqus/Explicit는 그림에 표시된 6개의 규칙적인 데이터 포인트를 생성하고 사용자의 데이터를 정확하게 재현한다. 다음 그림은 사용자가 정확하게 조정하기 어려운 데이터를 정의한 예를 보여준다. 이 예에서는 Abaqus/Explicit이 데이터 범위를 10개의 구간으로 나누는 데이터 조정을 수행한다고 가정한다. 이 조정에서 사용자의 데이터 포인트가 정확하게 재현되지 않는다.

Abaqus/Explicit는 조정된 데이터와 사용자 정의 데이터 사이의 최대 오차가 3% 미만이 되도록 충분한 수의 간격을 사용하려고 시도한다. 데이터 검사 중에 허용 조건을 만족하는 조정 곡선을 얻기 위해 200개 이상의 구간이 필요하면 해석은 오류 메시지를 출력하고 종료한다. 일반적으로 사용자가 정의한 최소 구간이 독립 변수의 범위에 비해 작으면 조정이 어렵다. 위 그림에서 왜곡이 1.0인 데이터가 있으므로 왜곡이 작을 때의 작은 간격과 비교하여 왜곡 값의 범위가 상당히 커진다. 이 마지막 데이터 포인트를 삭제하면 이 데이터를 매우 쉽게 조정할 수 있다.

Abaqus는 주어진 데이터점(Abaqus/Explicit의 경우 조정된 데이터)을 선형 보간법을 사용하여 재료의 응답을 찾는다. 입력 데이터에 정의된 범위 외부에서 위 그림과 같이 응답이 일정하다고 가정한다. 따라서 이 재료의 응력은 480MPa을 초과하지 않는다. 재료의 응력이 480MPa에 도달하면 응력이 떨어지지 않는 한 이 재료는 지속해서 변형된다.

Abaqus/CAE를 사용하면 시험 데이터에서 재료 모델을 보정(補正)할 수 있다. 이 기능을 사용하면 재료 시험 데이터를 Abaqus/CAE로 가져와 데이터를 처리하고 데이터에서 탄성과 소성 등방성 재료의 거동을 결정할 수 있다.