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응력/변위 요소의 연속체(Solid) 요소가 Abaqus의 요소 라이브러리에서 가장 다양하다. Abaqus/Standard와 Abaqus/Explicit에서 사용할 수 있는 Solid 요소 라이브러리에는 몇 가지 차이점이 있다.

Abaqus/Standard의 Solid 요소 라이브러리는 완전 적분이나 저감 적분을 사용하는 2차원 또는 3차원 1차 선형 요소와 2차 포물선형 요소가 있다. 2차원은 3각형과 4각형 요소, 3차원은 4면체, 3각 기둥과 6면체 요소를 사용할 수 있다. 3각형과 4면체 수정 2차 요소도 제공한다. 또한 하이브리드와 부적합 모드 요소를 사용할 수 있다.

Abaqus/Explicit의 Solid 요소 라이브러리는 2차원 또는 3차원 저감 적분 1차 선형 요소가 있다. 3각형과 4면체 수정 2차 요소도 제공된다. 완전 적분과 일반 2차 요소는 Abaqus/Explicit에서 사용할 수 없다. 하지만 1차 완전 적분 6면체 요소를 사용할 수 있다. 이 요소의 부적합 모드 요소도 사용할 수 있다.

이런 모든 요소 옵션을 결합하면 사용할 수 있는 Solid 요소의 총수는 상당한 수이며, 3차원 모델만 20개가 넘는다. 해석의 정확도는 모델에 사용하는 요소의 종류에 크게 의존한다. 이런 요소 중에 모델에 가장 적합한 요소를 선택하는 건 특히 처음에는 매우 어렵게 느껴진다. 하지만 결국 이 선택이 20가지 이상의 공구를 선택할 수 있는 공구 세트와 같이 특정 작업에 맞는 공구를 선택할 수 있게 해준다는 것을 알아야 한다.

요소의 차수(선형 또는 2차), 요소의 공식화, 적분 정도가 구조 해석의 정밀도에 미치는 영향을 그림에 나타낸 외팔보의 정역학 해석을 예로 들어 구체적으로 설명한다.

이것은 주어진 유한 요소의 거동을 평가하는 데 사용하는 고전적인 문제이다. 이 Beam은 가느다란 구조물이므로 보통 Beam 요소로 만든다. 하지만 이번에는 다양한 Solid 요소의 효과를 평가하는 데 사용된다.

이 Beam은 길이 150mm, 폭 2.5mm, 깊이 5mm이며, 한쪽 끝이 고정되었고, 자유 단에 5N의 선단 하중을 받는다. 재료는 탄성 계수($E$)가 70GPa, 푸아송의 비가 0.0이다. Beam 이론을 사용하면 하중($P$)에 대한 Beam의 정적 처짐(deflection)은 다음과 같다.

$$ \delta_{tip} = {{Pl^3} \over {3EI}} $$

여기서, $I=bd^3 / 12$, $l$은 Beam의 길이, $b$는 Beam의 너비, $d$는 Beam의 깊이이다. 하중($P$)가 5N이면 팁의 처짐은 3.09mm이다.

1) 완전 적분

완전 적분(Full integration)이라는 표현은 표준 형상 요소의 강성 행렬의 다항식 항을 정확하게 적분할 때 필요한 Gauss 점의 수를 의미한다. 6면체 요소와 4각형 요소의 표준 형상(regular shape)은 각 에지가 직선이고, 서로 직교하고, 에지 절점이 있는 경우에 에지의 중간에 그 절점이 존재한다. 완전 적분 선형 요소는 각 방향에 두 개의 적분점을 사용한다. 따라서 3차원 요소 C3D8은 요소 내에서 2x2x2의 적분점 배열을 사용한다. 완전 적분의 2차 요소(Abaqus/Standard에서만 사용 가능)는 각 방향에 3개의 적분점을 사용한다. 완전 적분의 2차원 4각형 요소에서 적분점의 위치는 다음 그림과 같다.

다음 그림과 같이 이 외팔보 문제의 Abaqus/Standard 해석은 여러 가지 유한 요소망을 사용했다. 이런 해석은 선형 또는 2차 완전 적분 요소를 사용하여 요소 차수(1차와 2차)와 요소망 밀도가 모두 해석 결과의 정확도에 미치는 영향을 파악한다.

3.09mm의 이론값에 대한 각 해석에서 팁 변위의 비율은 다음 표와 같다.

완전 적분 요소로 정규화된 자유 단 변위

선형 요소 CPS4와 C3D8은 결과가 유용하지 않을수록 처짐을 과소 예측한다. 이 결과는 요소망이 거칠수록 정확하지는 않지만, 미세한 요소망(8×24)조차도 예측된 팁 변위는 이론값의 56%에 불과하다. 이런 선형의 완전 적분 요소는 Beam 두께 방향의 요소 수가 변경된 경우에만 결과가 같다는 것을 알 수 있다. 팁의 처짐이 과소 예측되는 것은 전단 잠금(Shear locking) 때문이며, 이는 모든 완전 통합의 1차 Solid 요소에서 문제가 된다.

보시다시피, 전단 잠금은 휨에서 요소를 지나치게 단단하게 만든다. 이것은 다음과 같이 설명된다. 순수한 휨을 받는 구조물 재료의 작은 부분을 고려한다. 이 재료는 다음 그림과 같이 변형된다.

처음에 수평축에 평행했던 라인은 일정한 곡률을 가지고, 두께 방향의 라인은 직선을 유지한다. 수평 방향의 라인과 수직 방향의 라인 사이의 각도는 90°를 유지한다.

선형 요소의 모서리는 구부러지지 않는다. 따라서 재료의 작은 부분을 하나의 요소로 만들면 변형 모양은 다음 그림과 같다.

쉽게 볼 수 있도록 적분점을 통과하는 점선이 그려져 있다. 상단 점선은 길이가 분명히 증가하고, 첫 번째 방향의 직접 응력은 인장이다. 반대로, 아래쪽 점선은 길이가 줄어들고, 압축이다. 수직 방향의 점선 길이는 변하지 않는다(변위는 미세하다고 가정). 따라서 모든 적분점에서 ‘0’이다. 지금까지 순수한 휨을 받는 재료의 작은 부분에 대해 예측된 응력 상태와 완벽히 일치한다. 그러나 각 적분점에서 수직선과 수평선 사이의 각도(원래 90°)가 변경되었다. 이것은 전단 응력이 이런 적분점 위치에서 ‘0’이 아닌 것을 나타낸다. 이것은 정확하지 않은 결과이다. 따라서, 순수하게 휨(Pure bending)을 받는 재료의 작은 부분에서 전단 응력은 ‘0’이다.

이 부자연스러운 전단 응력은 요소의 가장자리가 구부러지지 않아서 발생한다. 이 응력이 존재하므로, 변형 에너지는 예상되는 휨 변형이 아닌 전단 변형을 일으킨다. 따라서 전체 처진 양은 작아지고 요소는 지나치게 단단하다.

전단 잠금은 휨 하중을 받는 완전 적분 선형 요소의 성능에만 영향을 미친다. 이런 요소는 수직하중이나 전단 하중에 문제없이 작동한다. 2차 요소의 경우 가장자리가 구부러질 수 있으므로 전단 잠금은 문제가 되지 않는다. 표에 표시된 2차 요소의 예측 팁 변위는 이론값에 가깝다. 그러나 2차 요소조차도 왜곡되거나 휨 응력에 기울기가 있으면(이것은 실제 문제에서 발생할 수 있음) 약간의 잠금을 볼 수 있다.

완전 적분 선형 요소는 하중이 모델에 최소한의 휨 만 발생한다고 확신할 수 있는 경우에만 사용된다. 하중으로 인한 변형이 그러한 종류가 될 것이라고 확신할 수 없는 경우 다른 요소 종류를 사용한다. 복잡한 응력 조건에서 완전 통합 2차 요소도 잠길 수 있다. 따라서 모델에 해당 요소만 사용하는 경우 해석 결과를 신중하게 확인해야 한다. 그러나 이런 요소는 로컬 응력 집중이 있는 모델링 영역에서 매우 유용하다.

체적 잠김(Volume locking)은 재료가 거의 비압축성인 경우, 완전 적분 요소에서 발생하는 다른 형태의 과도한 구속이다.

2) 저감 적분

4각형 요소와 6면체 요소만 저감 적분 방법을 사용할 수 있다. 5면체, 4면체, 3각형의 모든 Solid 요소는 완전 적분을 사용한다. 이런 요소는 축소 적분의 6면체 요소 또는 4각형 요소와 같은 요소망으로 사용할 수 있다.

저감 적분 요소는 각 방향으로 완전 적분 요소보다 하나 적은 적분점을 사용한다. 저감 적분의 선형 요소는 요소의 중심에 하나의 적분점만을 갖는다. 이 공식화에서 변형 성분의 평균값은 요소에 대해 계산된다. 여기서 차이는 중요하지 않다. 저감 적분의 4각형 요소에서의 적분점의 위치는 다음 그림과 같다.

이전에 사용한 네 가지 요소의 저감 적분에서 4개의 유한 요소망을 사용하여 외팔보 문제의 Abaqus 해석을 수행했다. 이런 해석 결과를 다음 표와 같다.

저감 적분 요소로 정규화된 자유 단 변위

선형 저감 적분 요소는 요소 자체에 Hourglass 모드 라는 수치 문제가 있으므로 지나치게 부드러워지는 경향이 있다 . 따라서 순수하게 휨을 받는 재료의 작은 부분을 만들 때 하나의 저감 적분 요소를 고려한다.

어느 점선도 길이는 변하지 않았다. 또한, 이들 사이의 각도도 변하지 않는다. 따라서 이 요소의 변형으로 변형 에너지가 발생하지 않으므로 휨 변형 모드는 제로 에너지 모드이다. 이 요소는 이 모드에서 강성이 없으므로 이런 종류의 변형에 저항할 수 없다. 거친 요소망에서 이 제로 에너지 모드는 요소망을 통해 전파되어 의미 없는 결과를 초래할 수 있다.

Abaqus는 소량의 인공적인 Hourglass 강성을 1차 저감 적분 요소에 도입하여 Hourglass 모드가 전파하는 것을 제한한다. 이 강성은 모델에 사용되는 요소가 많을수록 Hourglass 모드의 제한에 더 효과적이다. 이것은 적당히 미세한 요소망을 사용하면 선형 저감 적분 요소에서 좋은 결과를 얻을 수 있다는 것을 의미한다. 선형 저감 적분 요소의 미세한 요소망에서 발견되는 오차(표 참조)는 대부분 문제에서 허용되는 범위 안에 있다. 이 결과로부터 휨 하중을 유지하는 구조물을 이 종류의 요소로 만들 때 최소 두께 방향으로 4개의 요소를 사용하는 것이 좋다. Beam 두께 방향으로 하나의 선형 저감 적분 요소를 사용하면 모든 적분점이 중립축에 있으므로 이 모델은 휨 하중에 저항할 수 없다.(이 경우는 표 안에 *가 표시된다.)

선형 저감 적분 요소는 왜곡에 매우 관용적이다. 따라서 왜곡이 상당히 큰 해석은 이런 요소의 미세한 요소망을 사용한다.

Abaqus/Standard에서 사용할 수 있는 2차 저감 적분 요소도 Hourglass 모드를 가지고 있다. 그러나 이런 모드는 요소망이 매우 가늘면 정상적인 요소망을 전파하는 것이 거의 불가능하며 문제가 되지 않는다. C3D20R 요소의 1×6 요소망은 폭 방향으로 2개의 요소를 사용하지 않으면 Hourglass 모드 때문에 수렴에 실패한다. 그러나 미세한 요소망은 폭 방향으로 하나의 요소만 사용해도 수렴이 실패하지 않는다. 2차 저감 적분 요소는 복잡한 응력 상태가 되더라도 잠금의 영향을 받지 않는다. 따라서 일반적으로 대부분 일반 응력/변위 해석에서(매우 대변형이 발생하는 대변형 해석과 일부 접촉 해석을 제외하고) 이 요소는 최상의 선택이다.

3) 부적합 모드 요소

부적합 모드 요소(Abaqus/Standard에서 주로 사용 가능)는 완전 통합 1차 요소에서 전단 잠금 문제를 극복하기 위한 것이다. 전단 잠김은 요소의 변위장이 휨과 관련된 운동을 만들 수 없어서 발생하므로 추가 자유도(요소의 변형 기울기를 강화하는)를 1차 요소에 도입한다. 기울기에 대한 이런 향상으로 1차 요소는 그림 (a)에 표시된 것처럼 요소 전체에 걸쳐 변형 기울기의 선형 변화를 가질 수 있다. 표준 요소의 공식화에서 그림 (b)와 같이 요소의 글로벌에 걸쳐 변형 기울기가 일정하고, 결과적으로 전단 잠금과 관련된 ‘0’이 아닌 전단 응력이 발생한다. 이런 향상은 요소에 완벽히 내부적이며, 요소의 가장자리에 있는 절점과 관련이 없다.

변위장을 직접 강화하는 부적합 모드의 공식화와 달리, 다음 그림과 같이 Abaqus에서 사용하는 공식화는 두 요소의 경계에서 재료가 겹치거나 구멍이 생기지 않는다.

또한 Abaqus에서 사용하는 공식은 비선형 유한 변형 해석과 같이 강화 변위 필드 요소에서 쉽게 대응할 수 없는 해석으로 쉽게 확장된다.

부적합 모드 요소는 2차 요소보다 상당히 적은 계산량으로 같은 정도의 결과를 휨 문제로 얻을 수 있다. 그러나, 부적합 모드 요소는 요소의 왜곡에 민감하다. 다음 그림은 의도적으로 왜곡되고 적합하지 않은 모드 요소로 만든 외팔보를 보여준다. 어떤 경우는 ‘평행’의 왜곡을, 다른 경우는 ‘사다리꼴’의 왜곡을 주고 있다.

다음 그림은 이런 캔틸레버 모델의 정규화된 자유 단의 변위를 보여준다 . 이 자유 단 변위는 해석 솔루션에서 정규화되고 , 요소의 왜곡 수준에 대해 표시한다.

Abaqus/Standard의 세 가지 평면 응력 요소(완전 적분 선형 요소, 저감 적분의 2차 요소, 선형 부적합 모드 요소)가 비교되었다. 완전 적분 선형 요소는 예상대로 모든 경우에 정확하지 않은 결과를 제공한다. 반면에 저감 적분의 2차 요소는 매우 좋은 결과를 얻을 수 있으며, 요소가 심하게 왜곡되지 않는 한 악화하지 않는다.

직사각형의 부적합 모드 요소는 캔틸레버의 두께 방향으로 하나의 요소만 있는 요소망조차도 이론값에 매우 가까운 결과를 얻을 수 있다. 그러나 사다리꼴 왜곡이 조금이라도 이 요소는 이론값보다 훨씬 단단하다. 또한 평행 왜곡도 그다지 아니지만, 이 요소의 정확도를 떨어뜨린다.

적합하지 않은 모드 요소는 적절하게 사용하면 적은 계산으로 높은 정확도를 얻을 수 있으므로 유용하다. 그러나 요소의 왜곡이 작아지도록 주의를 기울여야 한다. 이것은 복잡한 형상을 요소망으로 나누는 데 어려움이 있다. 따라서 이런 형상이 있는 모델은 요소망 왜곡의 영향을 받기 어려운 저감 적분 2차 요소의 사용을 다시 고려해야 한다. 그러나 왜곡이 심한 요소망은 일반적으로 요소 종류를 변경하는 것만으로도 정확한 결과를 얻을 수 없다. 해석 결과의 정확도를 높이려면 요소망 왜곡을 가능한 한 작게 유지해야 한다.

4) 하이브리드 요소

하이브리드 요소의 공식화는 Abaqus/Standard 연속체 요소의 거의 모든 종류에서 사용할 수 있다. 하이브리드 요소는 Abaqus/Explicit에서 사용할 수 없다. 이 공식화를 사용하는 요소는 이름에 문자 ‘H’를 포함한다.

하이브리드 요소는 재료 모델이 비압축(푸아송의 비 〓 0.5) 또는 비압축에 매우 가까울 때 사용한다. (푸아송의 비 > 0.475) 고무는 비압축성 재료 모델을 갖는 재료의 예이다. 다음 그림과 같이 비압축성 재료 응답은 요소의 정수압 응력이 불확실하므로 표준 요소로 만들 수 없다(평면 응력의 경우는 제외). 균일한 정수압을 받는 요소에 대해 생각한다.

이 재료가 비압축성이면, 이런 하중 상태에서 부피가 변하지 않는다. 따라서 정수압 응력은 절점 변위에서 계산할 수 없어서 순수한 변위의 공식화는 비압축성 재료 모델을 갖는 모든 요소에 부적절하다.

하이브리드 요소는 요소 안의 정수압 응력을 직접 결정하는 추가 자유도가 포함된다. 절점 변위는 편차(전단) 변형률과 응력을 계산하는 데에만 사용된다.

5) 연속체 요소 선택

정밀한 결과를 적당한 계산량으로 얻으려면 개별 해석에서 올바른 요소를 선택하는 것이 필수적이다. Abaqus의 사용 경험을 쌓아 가면 자신의 문제에서 요소를 선택하는 독자적인 지침이 반드시 만들어진다. 그러나 Abaqus 사용을 시작할 때, 여기에 제공된 지침이 매우 유용하다. 다음 지침은 Abaqus/Standard와 Abaqus/Explicit 모두에 적용된다.

○ 요소망의 왜곡은 가능한 한 작게 만든다. 왜곡된 선형 요소의 거친 요소망은 매우 정확하지 않은 결과를 제공한다.

○ 매우 큰 요소망 왜곡을 포함하는 해석(대변형 해석)은 선형 저감 적분 요소(CAX4R, CPE4R, CPS4R, C3D8R 등)의 미세한 요소망을 사용한다.

○ 3차원은 가능하면 6면체 요소를 주로 사용한다. 이 요소는 최소 계산량으로 최상의 결과를 제공한다. 복잡한 형상은 6면체로 완벽히 요소망 나누기가 어려울 수 있다. 이 경우 5면체와 4면체 요소도 필요하다. 이런 요소의 선형 버전 C3D4과 C3D6은 정밀도가 좋지 않은 요소이다(정확성이 좋은 결과를 얻으려면 미세한 요소망이 필요하다). 따라서 이런 요소는 일반적으로 요소망의 틈을 채워야 하는 경우에만 사용하며, 이 경우에 정확한 결과가 필요한 영역에서 먼 곳에 사용한다.

○ 일부 전처리기는 4면체 요소로 임의의 모양을 요소망으로 나누는 자유 요소망 알고리즘을 가지고 있다. Abaqus/Standard의 2차 4면체 요소(C3D10 또는 C3D10HS)는 일반적인 용도에 적합하다. 이런 요소의 대안으로, 두 해석 제품 모두 수정 2차 4면체 요소(C3D10M)를 사용할 수 있다. 이산화를 사용하는 접촉 문제에 강력하며 전단 잠금과 체적 잠금의 발생이 최소화된다. 그러나 두 가지 종류의 요소를 모두 사용하면 해석에 걸리는 시간은 6면체 요소의 등가 요소망보다 길어진다. 선형 4면체 요소(C3D4)만으로 구성된 요소망은 사용하면 안 된다. 이런 요소망은 매우 많은 요소를 사용하지 않으면 정확한 결과를 얻을 수 없다.

Abaqus/Standard를 사용한다면 다음 사항을 고려해야 한다.

○ 일반적인 해석 문제에서(대변형을 해석하는 경우와 복잡하고 접촉 조건이 변화하는 해석은 제외), 2차의 저감 적분 요소(CAX8R, CPE8R, CPS8R, C3D20R 등)를 사용 예.

○ 응력 집중이 있는 곳에는 2차 완전 적분 요소(CAX8, CPE8, CPS8, C3D20 등)를 부분적으로 사용한다. 이 요소는 가장 적은 계산량으로 가장 정확하게 응력 기울기를 계산한다.

○ 접촉 문제는 선형 저감 적분 요소 또는 부적합 모드 요소(CAX4I, CPE4I, CPS4I, C3D8I 등)로 미세한 요소망을 만든다.