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어떤 경우에는 부재가 지탱할 수 있는 최대 하중이 재료 강도가 아니라 부재의 강성으로 결정된다. 임계 하중($P_{cr}$)은 물체가 변형된 상태에서 탄성 평형이 불안정하게 되는 시점에서의 압축력으로 정의되며, 이 임계 하중 이상으로 하중이 증가하면 물체는 탄성적으로 붕괴한다. 좌굴의 관심 대상이 되는 전형적인 예는 축 하중을 받는 가느다란 오일러 기둥과 외부 압력을 받는 박판 원통, 테두리에서 횡 방향 압축을 받는 박판, 끝단에서 횡 방향 하중을 받는 외팔보 등이다.

균일 단면을 가진 직선 기둥에서 임계 집중 하중을 구하기 위한 오일러식은 다음과 같다.

$$ P_{cr} = {{\pi^2 EI} \over {L_e}} $$

여기서 $E$는 기둥 재료의 탄성계수이고, $I$는 단면적의 최소 관성 모멘트, $L_e$는 유효 길이(effective length)다. 마지막 항 $L_{e} = KL$은 기둥의 실제 길이($L$)와 유효 길이 계수인 $K$로 계산하며 기둥 끝단의 구속조건에 좌우되는 값이다. 다음 그림은 통상적인 끝단 조건과 그에 상응하는 $K$ 값을 나타낸다.

좌굴과 관련된 역학 공식을 유도하기 위해 기둥 단면적 $A$를 최소 회전 반경 $r$로 대체하는 것이 편리하다. 

$$ r = \sqrt{I \over A} $$

이 식과 오일러식을 함께 사용하면 대응되는 임계 응력($ \sigma_{cr} $)은 다음 식으로 표현할 수 있다.

$$ \sigma_{cr} = {{\pi^2 E} \over {(L_{e}/r})^2} $$

이제 오일러 기둥을 정의할 수 있다. 형상 종횡비(slenderness ratio, $L_{e}/r$)를 이용하여 이 계수가 다음 식을 만족하면 오일러 기둥으로 간주할 수 있으므로 임계 하중을 계산할 수 있다.

$$ {L_e \over r}>{\sqrt{{\pi^2 E} \over {S_y}}} $$

이 식은 기둥의 좌굴이 재료의 항복점 이하에서 발생함을 의미한다.

오일러 기둥에 대한 임계 응력은 재료의 항복점 이하이므로, 임계 응력은 오일러 기둥에서 유효하다. 반면에 오일러 기둥이 아닌 경우에는 다음과 같은 더욱 일반적인 응력 식을 사용해야 한다.

$$ \sigma_{cr} = {{\pi^2 E_{t}} \over {(L_{e}/r})^2} $$

이 식은 탄성계수 대신 접선 계수($E_t$)가 들어가 있다. 이 값은 응력-변형률 곡선의 접선 기울기로 정의되기 때문에 응력-변형률 곡선상의 위치 함수이다. 물론 항복점 이하에서는 $E_{t} = E$이다.

위의 그림은 임계 응력($\sigma_{cr}$)과 형상 종횡비($L_{e}/r$)의 관계를 표현하였으며, 시험을 통해 검증한 결과 아주 정확한 것으로 확인되었다. 임계 응력식 또는 오일러 쌍곡선을 확장하면, 이 쌍곡선과 일치하지 않는 비오일러 곡선 영역은 하중을 제거한 후에도 복원되지 않는 비보존적(nonconservative) 임계 응력 영역에 해당한다. 그러므로 좌굴 해석을 위하여 선형 FEA 프로그램을 사용할 경우, 오일러 기둥이 아닌 경우에는 비보존적임에 주의해야 한다. 그러나 비오일러 기둥에 작용하는 응력이 항복점 이하이면 좌굴은 발생하지 않는다.

완전히 직선인 기둥은 실제로 존재하지 않으므로, 다음 그림과 같이 축 중심에서 떨어진 곳에 편심 하중을 받는 기둥이 지탱할 수 있는 최대 축방향 응력을 구하는 식이 필요하다. 이런 기둥이 좌굴 전에 어느 정도의 축 하중을 지탱할 수 있지만, 정확한 임계 응력의 유도는 복잡하고 일반화하기가 어렵다.

따라서 압축 상태에서 파괴는 보수적으로 재료의 항복을 발생시킨다고 가정한다. 이 가정에서 편심 하중을 받는 기둥이 지지할 수 있는 최대 단위 하중($P/A$)은 다음 식으로 계산할 수 있다.

$$ {P \over A} = S_{yc} \left[ 1 + {ec \over r^2} sec \left( { L_e \over r} \sqrt { P \over 4AE} \right) \right]^{-1}$$

여기서 $e$는 하중의 편심, $c$는 압축응력 상태에 있는 중립축으로부터 기둥 표면까지의 거리이다. 이 경우 $r$은 최소 회전 반경일 필요는 없으며, 휨 하중이 작용하는 축의 관성 모멘트($I$)에 대응되는 값이다. 여기서 이 식은 $P/A$로 명쾌하게 풀 수 없으므로, 일반적으로 도해법(graphical solution)을 많이 사용한다. 위 그림의 ⒝는 편심량과 형상 종횡비의 함수로 나타낸 단위 하중의 전형적인 변동을 나타낸다. 형상 종횡비가 증가하거나 편심량이 감소할수록 이 곡선은 오일러 쌍곡선에 근접함을 확인할 수 있다.