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실제 상황에서 대부분 경계조건은 응력 상태가 복잡하다. 이 응력 상태를 기본 상태의 선형 합으로 나눌 수 없다면 단순한 분석 방법으로 정량화하기는 너무 어렵다. 여기에서는 기계 시스템에서 발생할 수 있는 이런 기본 응력 상태 중에 가장 중요한 상태를 설명한다.

1) 휨 응력

방향에 따라 특성이 변화하지 않으며, 균질한 등방성 재료라고 가정하자. 또한, 이 물질은 훅의 법칙을 따른다고 가정한다. 이제 순수 휨 모멘트($M$)를 받는 일정한 단면적을 가진 직선 보를 생각해 보자. 보의 단면이 여전히 평면을 유지하고 단면 주축의 하나가 휘어지는 면과 일치하면 발생한 수직 응력은 다음 식과 같다.

식에서 $I$는 보의 횡 단면에서 가로축에 대한 면적 관성 모멘트를 나타내며, $y$는 중립축(neutral axis)으로부터 휨 평면까지 수직 거리이다. 중립축은 휨 평면과 중립면(neutral surface)의 교차점으로 정의된다. 중립면의 위치는 면적 모멘트가 같은 수평 단면선을 찾아서 계산할 수 있다. 

식의 부호 규약은 오른손 좌표계를 따른다. 여기서 휨 응력은 $ y_max = c $에서 크기가 최대이며, $ c $의 부호는 식에 의한 응력의 방향을 의미한다. 

어떤 재료에서는 다음 식을 이용하면 편리하게 휨(flexural) 또는 휨 계수(bending modulus, $ E_{BR} $)을 구할 수 있다.

여기서 $R$은 변형된 중립축의 곡률 반경이다. 식을 유도하는 과정에서 필요한 모든 가정을 만족하는 재료의 경우, 휨 계수와 탄성계수는 서로 같다.

만약 보가 곡선보의 그림과 같이 원래 곡선인 경우, 중립축은 더 이상 단면의 중심축에 일치하지 않는다. 두 축은 거리($e$)만큼 떨어져 있으며, 다음 식으로 계산되는 중립축의 곡률 반경($r_n$)을 이용하여 구할 수 있다. 

여기서 $A$는 보의 단면적을 나타내며, 응력은 다음 식이 된다.

임계 응력(critical stress)은 보의 윗면과 아랫면에서 발생하며, 다음 식으로 계산할 수 있다.

여기서 $c_i$와 $c_0$는 중립축으로부터 각각 보의 안쪽과 바깥쪽의 거리이고, $r_i$와 $r_0$는 각 곡률 반지름이다.

2) 전단응력

실제로 순수하게 휨 응력만 받는 보는 매우 드물다. 보는 일반적으로 전단력과 휨 모멘트를 동시에 받는다. 수학적으로 유도하는 게 힘들지만, 존재하는 전단력은 이미 설명한 공식이 유효하다. 또한, 휨 모멘트에 의한 수직 응력뿐만 아니라, 전단력에 의한 전단응력이 추가로 발생한다. 이 전단응력은 다음 식으로 계산할 수 있다.

여기서 $V$는 전단력이고, $b$는 응력 단면의 폭, $Q$는 중립축에 원점을 둔 가로축에 대한 단면의 1차 면적 모멘트(first moment of area)이다. 다음 그림은 사각형 단면 보에 대한 전단응력의 일반적인 분포를 나타낸다. 전단응력은 보의 중립축에서 최대이고 보의 바깥면에서는 ‘0’이다. 위의 식에서 대표적인 표준 단면에 적용하여 구한 최대전단응력을 표에 수록하였다.

표. 표준 단면에 대한 최대 전단응력

3) 비틀림 응력

토크($T$)가 탄성 봉의 길이 방향 축에 작용할 때, 전단응력이 토크 축으로부터 발생한다. 다음 그림의 원형 단면에서, 변형 후에도 평면과 평행 단면이 평면과 평행 단면을 유지하고, 반지름 선이 직선을 유지하면, 토크는 다음 식으로 주어진다. 

여기서 $r$은 토크 축으로부터의 반경이고, $J$는 단면의 극관성 면적 모멘트이다. 물론 최대 토크 전단응력은 봉의 가장 외경 $r_{max} = r_o$에서 발생한다. 길이 $l$인 봉의 비틀림 각도($ \theta $)는 다음과 같다.

여기서 $G$는 재료의 전단 탄성계수이다.

위의 식 자체는 단면이 완전히 원형이 아닌 보에 적용할 수 없지만, 변수 $K$ 대신 $J$를 대입하면 여러 가지 모양의 단면에도 적용할 수 있는 일반식이 된다. 여기서 $K$는 단면의 비틀림 강성 계수(torsional stiffness factor)이다. 계수는 원형 단면에서는 $J$와 같지만, 그 이외의 단면은 $J$보다 작다. FEA에서 선 요소(line element)의 특성을 정의할 때 $J$를 입력해야만 한다. FEA의 많은 전처리기에서 $K$를 $J$로 간주하여 혼동을 일으킬 수 있으므로 주의해야 한다. 만약 단면의 극관성 면적 모멘트를 비틀림 강성 계수로 잘못 입력하면 비틀림을 받는 선 요소의 강성을 감소시키는 결과를 초래한다. 다양한 보 단면에 대한 $K$의 값은 공학 교재에 표로 제공된다.

원형이 아닌 단면 보에서, 응력 분포와 최대 응력을 구하는 공식을 유도하는 건 매우 어려워서 대부분 실험적인 방법을 사용한다. 다음은 폭($w$)와 두께($t$)를 가지는 직사각형 단면 보의 최대 비틀림 응력을 계산하는 근사식이다.