[대수학] 실수: 대수학의 기초

 

※ 대수학(代數學)은 숫자 대신에 문자를 기호로 사용하여 수의 성질이나 관계 따위를 연구하는 학문이다.

 

수학은 흔히 과학의 언어라고 말한다. 이것이 사실이라면 수학 언어에서 가장 중요한 것은 바로 숫자이다. 숫자를 처음으로 사용한 것은 100세기 전 중동에서 수를 세거나 열거하려고 나타났다. 농부, 가축 사육자, 상인은 토큰(token), 돌 또는 표식을 사용하여 곡물 한 뭉치, 가축 한 마리 또는 정해진 길이의 옷감 등의 수량을 표시했다. 이 숫자를 통해서 상업이 발전할 수 있었으며, 의사소통이 향상되면서 문명이 확산하였다.

 

3~4천 년 전에 이집트인들은 분수(fraction)를 도입했다. 그들은 처음에 상호성을 보여주기 위해 그것을 사용했다. 나중에 그들은 수량을 같은 부분으로 나눌 때 사용했다.

 

하지만 거래할 소나 양이 한마리도 없거나 홍수로 곡물이 모두 떠내려 갔다면 어떻게 될까? 누군가가 아무것도 없다는 것을 도대체 어떻게 나타낼 수 있을까? 아주 먼 옛날부터 사람들은 숫자를 세는 ‘기본인 상태(base state)’를 생각하고, 이 ‘존재하지 않는’ 조건을 나타내려고 다양한 기호를 사용했다. 하지만 인도에서 ‘0’이 숫자 체계에 추가되어 계산에 숫자로 사용한 것은 기원후 5세기경이 된 후였다.

 

분명히 손실이나 빚을 나타내는 숫자도 필요했다. 인도에서는 기원후 7세기에 수학 방정식과 장사에서 생긴 빚에 대한 해법으로 음수가 사용되었다. 이 숫자를 반대로 세는 방법은 숫자 체계를 더욱 확장했다.

 

숫자 체계의 발전으로 이제 숫자, 0, 음수 등을 사용하여 복잡한 계산을 수행할 수 있었다. 여기에서는 숫자 집합, 다양한 종류의 숫자를 사용한 계산, 표현식에서 숫자 사용을 살펴보겠다.

 

실수 분류

무엇을 세거나 열거하는 데 사용하는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5 등의 자연수(natural numbers)이다. 생략 부호($ \ldots $)는 숫자가 무한대로 계속되는 것을 나타내며, $ \left\{ 1,2,3,\ldots \right\} $과 같이 집합을 표시하는 방법으로 설명한다. 자연수는 물론 계수(計數, counting numbers)라고도 한다. 가족 구성원의 수를 세거나, 동전의 수를 세거나, 숲에 있는 나무의 수를 셀 때마다 우리는 자연수 집합을 사용한다. 범자연수(whole numbers) 집합은 $ \left\{ 0,1,2,3,\ldots \right\} $와 같이 자연수에 0을 더한 집합이다.

 

정수(integer) 집합은 $ \left\{ \ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \right\} $와 같이 자연수의 반대 수를 정수 집합에 추가한다. 정수 집합은 음의 정수, 0, 양의 정수와 같이 세 가지 별개의 집합으로 구성되었다는 점을 알아두면 유용하다. 이런 의미에서 양의 정수만 자연수이다. 또 다른 방법은 자연수가 정수의 부분집합이라는 것이다.

 

유리수(rational numbers) 집합은 $ \left\{ m \over n \right\} $이고, $ m $과 $ n $은 정수이고, $n \neq 0$이다. 이 정의에서 유리수는 분자와 분모가 모두 정수인 분수(또는 몫)이며, 분모는 결코 0이 아니다. 또한 모든 자연수, 범자연수, 정수는 분모가 1인 유리수라는 것도 알 수 있다.

 

모두 분수이기 때문에 모든 유리수는 소수 형식으로 표현할 수 있다. 모든 유리수는 다음 중 하나로 표시할 수 있다. 집합을 여러 번 쓰는 대신 다음과 같이 반복되는 숫자 위에 그려진 선을 사용한다.

$$ {15 \over 8} = 1.875 $$

$$ {4 \over 11} = {0.36363636 \ldots} = {0. \overline {36}} $$

 

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