[대수학] 지수와 과학적 표기법

수학자, 과학자나 경제학자는 보통 매우 크거나 매우 작은 숫자를 자주 계산한다. 하지만 그런 숫자는 일상생활에서 별로 자주 쓰지는 않는다. 예를 들어, 픽셀(pixel)은 디지털카메라로 인식하고 기록할 수 있는 가장 작은 빛의 단위이다. 특정 카메라는 2,048×1,536픽셀의 이미지를 기록할 수 있으며, 이것은 매우 높은 해상도의 사진이다. 또한 프레임당 최대 48비트의 색 농도(색상 그러데이션)를 인식할 수 있으며, 초당 24프레임에 해당하는 사진을 촬영할 수 있다. 1시간(3,600초)짜리 디지털 필름을 촬영하는 데 사용할 수 있는 최대 정보 비트 수는 매우 큰 수이다. 계산기를 사용하여 계산하면, 계산기에 1.304596316E13이 표시된다. 이 숫자는 무엇을 의미할까? 결과에서 E13은 10의 지수 13을 나타내므로 1시간짜리 영화는 최대 약 1.3×10¹³비트의 데이터가 필요하다. 여기에서는 먼저 지수 규칙을 검토한 다음 매우 크거나 작은 숫자와 관련된 계산을 해보자.

 

디지털 카메라의 핵심인 CCD 또는 CMOS 이미지 센서

 

지수의 곱셈 규칙 사용곱셈 $ x^3 \cdot x^4 $ 을 생각해보자. 두 항은 같은 밑(base) x를 가졌지만, 다른 지수가 위에 있다. 두 식을 확장하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ x^3 \cdot x^4 = (x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x) = x^7 $$

결과는 다음과 같다.

$$ x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7 $$

지수의 곱셈은 지수를 더한다. 즉, 같은 밑(base)을 가진 지수로 나타낸 식을 곱할 때 같은 밑을 쓰고 지수는 더한다. 이것은 지수의 곱셈 규칙이라고 한다.

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

이것을 실수로 바꾸어 생각해보자.

$$ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 $$

항상 지수로 표현한 식을 단순화하여 이것이 사실인지 확인할 수 있다. 2³= 8, 2⁴= 16, 2⁷= 128이라는 것을 알 수 있다. 곱이 128이므로 이 관계는 참이다. 지수의 곱셈 규칙을 사용하여 두 숫자의 곱 또는 밑은 같지만 지수가 다른 표현식을 단순화할 수 있다.

지수의 곱셈 규칙
모든 실수와 자연수 및 지수의 곱셈 규칙은 다음과 같다.
$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

 

지수의 몫 규칙 사용
지수의 몫 규칙을 사용하면 밑(base)은 같지만 지수가 다른 두 숫자를 나누는 표현식을 단순화할 수 있다. 곱셈 규칙과 비슷한 방식으로 다음과 같이 표현식을 단순화할 수 있다. $ y^m \over y^{n} $, 여기서 $ m > n $이다. 

$ y^9 \over y^{5} $을 생각해보자. 공통 밑을 취소하여 나눗셈을 한다.

$$ {y^9 \over y^{5}}  = {{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y } \over {y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y }} = {{y \cdot y \cdot y \cdot y } \over {1}} = y^4 $$

몫의 지수는 분모와 분자의 지수 사이의 차이다.

$$ {a^m \over a^n} = a^{m-n}$$

같은 밑으로 지수 표현을 나눌 때 공통 밑으로 결과를 쓰고 지수를 뺀다.

$$ {y^9 \over y^5} = y^{9-5} = y^4 $$

당분간, $ m > n $ 조건을 알고 있어야 한다. 그렇지 않으면 차이가 0 또는 음수가 될 수 있다. 이러한 가능성은 곧 알게 될 것이다. 또한 매번 변수를 0이 아닌 것으로 한정하는 대신 문제를 단순화하고 여기서부터 모든 변수가 0이 아닌 실수를 나타낸다고 가정한다.

지수의 몫 규칙 사용
모든 실수와 자연수에 대해 지수의 몫 규칙은 다음과 같다.
$$ {a^m \over a^n} = a^{m-n}$$