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이 예제는 ‘예제: 화물 크레인’에서 해석한 것과 같은 화물 크레인을 사용한다. 이번은 0.2초 동안 10kN의 매달린 하중을 후크에 주었을 때의 응답을 조사한다. 점 A, B, C, D의 연결은 100kN의 최대 인력까지만 견딜 수 있다. 이런 조인트가 손상되었는지를 결정해야 한다. 주어진 하중의 크기 vs. 시간은 그림에 나와 있다.

하중의 지속 기간이 짧다는 것은 관성 효과가 중요할 가능성이 크다는 것을 의미하며 동역학 해석이 필수적이다. 이 구조물의 감쇠 정보는 제공되지 않는다. 트러스 구조와 교차 버팀대 사이에 볼트 체결이 존재하므로 마찰 효과로 에너지 흡수의 영향이 커질 가능성이 크다. 따라서 경험에 따라 각 모드에 임계 감쇠의 5%를 설정한다.

1) 모델의 수정

모델 데이터베이스 파일 Crane.cae를 열고 모델 Static을 모델 Dynamic에 복사한다. 동역학 해석 모델은 아래에 설명된 수정 사항을 제외하고 정역학 해석 모델과 같다.

동역학 해석에서 질량 행렬을 만들 수 있도록 모든 재료의 질량 밀도를 각각 지정해야 한다. 크레인 강철은 7,800kg/m³의 질량 밀도를 가진다.

이 모델에서 재료 특성이 요소 특성 정의에 포함되어 지정되었다. 따라서 Bracing Section과 Main Member Section의 요소 특성 정의를 편집하여 이 질량 밀도를 지정해야 한다. Edit Beam Section 대화 상자의 Specify section material density 필드에 각 요소 특성 정의에 7800의 값을 입력한다.

⊙ 재료 데이터를 요소 특성과 별도로 정의하면 재료 정의를 편집하고 Edit Material 대화 상자에서 General → Density를 선택하여 질량 밀도를 정의한다.

동역학 해석에 사용하는 단계의 정의는 정역학 해석에 사용하는 것과 매우 다르다. 따라서 이전에 만든 정적 단계는 두 개의 새 단계로 바꾼다.

동역학 해석의 첫 번째 단계는 구조물의 고유 진동수와 모드 모양을 계산한다.

그다음 두 번째 단계는 이런 데이터를 사용하여 호이스트의 과도 모드 동적 응답을 계산한다. 이 해석은 모든 것이 선형이라고 가정한다. 이 해석에서 비선형성을 만드는 경우 내연적 동적 절차를 사용하여 운동 방정식의 직접 적분을 대신 수행해야 한다.

Abaqus/Standard는 고유치를 추출하는 방법으로 Lanczos 방법과 subspace iteration eigenvalue 방법을 제공한다. 자유도가 많은 시스템에서 많은 고유 모드를 계산하려면 일반적으로 Lanczos 방법이 빠르다. 적은 수(20 이하)의 고유 모드를 계산하는 경우 subspace iteration eigenvalue 방법이 빠를 수 있다.

이 해석은 Lanczos 고유치 해법을 사용하고 30개의 고유치를 요청한다. 필요한 모드 수를 지정하는 대신, 주목하는 최소 진동수와 최대 진동수를 지정하는 것으로, 그 범위 안에서 모든 고유치가 발견되면 단계를 종료할 수 있다. 시프트 포인트를 지정하여 시프트 포인트에 가장 가까운 고유치를 추출할 수도 있다. 기본적으로 최소와 최대 진동수 또는 시프트는 사용하지 않는다. 구조가 강체 모드로 구속되지 않으면 시프트 값을 작은 음수로 설정하여 강체 운동과 관련된 수치 문제를 제거한다.

정적 단계를 고유치 추출 단계로 바꾸려면 다음과 같이 설정한다.

1. 모델 트리에서 Steps 컨테이너를 확장한다. 그다음 단계 Tip Load를 마우스 버튼 3으로 클릭하고, 표시된 메뉴에서 Replace를 선택한다. Replace Step 대화 상자에서 사용할 수 있는 Linear perturbation 절차 목록에서 Frequency를 선택한다. 변환할 수 없는 모델 속성은 삭제한다. 이 예에서 집중하중은 고유치 추출 단계에서 사용할 수 없으므로 삭제한다. 반면에 정적 단계의 경계 조건과 출력 요청은 고유치 추출 단계로 상속된다.

2. Edit Step 대화 상자의 Basic 탭에서 단계 설명에 First 30 modes를 입력하고 Lanczos 고유치 해석기 옵션을 그대로 사용하여 30개의 고유치를 요청한다.

3. 이름 Tip Load를 마우스 버튼 3으로 클릭하고 표시된 메뉴에서 Rename을 선택하여 단계의 이름을 Extract Frequencies로 변경한다.

구조 동역학 해석에서 응답은 일반적으로 낮은 차수의 모드와 관련이 있다. 그러나 구조의 동적 응답이 정확하게 표현되도록 충분한 수의 모드를 추출해야 한다. 충분한 수의 고유치가 추출되었는지 확인하는 한 가지 방법은 각 자유도의 전체 유효 질량을 조사하는 것이다. 이것은 추출된 모드의 각 방향에서 유효한 질량의 크기를 나타낸다. 이런 유효 질량은 데이터 파일의 고유치 출력 아래에 표 형식으로 출력된다. 이상적으로, 각 방향의 모드 당 모드 유효 질량의 합은 적어도 총질량의 90%여야 한다.

모드 동적 절차를 사용하여 과도 동역학을 해석한다. 이 과도 응답은 첫 번째 해석 단계에서 추출된 모든 모드를 기반으로 한다. 모든 30가지 모드에서 임계 감쇠의 5%를 사용한다.

일시적인 모드 동적 단계를 만들려면 다음과 같이 설정한다.

1. 모델 트리에서 Steps 컨테이너를 두 번 클릭하여 새 단계를 만든다. 유효한 Linear perturbation 절차 목록에서 Modal dynamics를 선택하고, 단계를 Transient modal dynamics라고 부른다. 이전에 정의된 고유치 추출 단계 다음에 이 단계를 삽입한다.

2. Edit Step 대화 상자의 Basic 탭에서 설명에 Crane Response to Dropped Load를 입력하고, 0.5의 시간 폭과 0.005의 시간 증분을 지정한다. 동역학 해석의 시간은 실제 물리적 양이다.

3. Edit Step 대화 상자의 Damping 탭에서 직접 모드 감쇠를 지정하고, 모드 1~30에 0.05의 임계 감쇠 비율을 입력한다.

Field Output Requests Manager를 사용하여 Preselected defaults가 선택되도록 Extract Frequencies 단계의 필드 출력 요청을 수정한다. 기본적으로 모드 표시는 ODB 파일에 기록되어 Visualization 모듈을 사용하여 모드 모양을 표시할 수 있다. 각 모드 모양에 대한 절점 변위는 최대 변위가 1.0이 되도록 정규화된다. 따라서, 이 결과가 대응 응력과 변형률에 물리적 의미가 없다. 이들은 상대적인 비교를 수행하는 데에만 사용된다.

일반적으로 동역학 해석에서 완료되기 전에 필요한 증가는 정역학 해석보다 훨씬 많다. 결과적으로 동역학 해석의 출력은 매우 많을 수 있다. 따라서 출력 요청을 제어하고, 출력 파일을 합리적인 크기로 줄여야 한다. 이 예제는 각 5 증가의 끝에서 변형 모양을 ODB 파일에 출력해야 한다. 이 단계에는 100개의 증가가 있다(0.5/0.005). 따라서 필드 출력은 20프레임이다.

또한 모델의 하중 끝(예: 세트 Tip-a)에서 변위와 고정 끝(세트 Attach)에서 반력의 더 상세한 데이터를 얻기 위해 이력 데이터로서 ODB 파일에 증분 별로 내보낸다. 동역학 해석에서 모델의 에너지 분포와 에너지 형태에 주목한다. 운동 에너지는 질량 운동의 결과로 모델에 존재한다. 변형 에너지는 구조물 변위의 결과로 존재한다. 기본적으로 모드 동적 절차의 경우 모든 모델 에너지가 기록 데이터로 ODB 파일에 기록된다. 이 해석에서 에너지 출력은 운동 에너지, 내부 에너지와 점성 분산 에너지로 제한된다.

과도 모드 동역학 해석 단계에 대한 출력을 요청하려면 다음과 같이 설정한다.

1. Field Output Requests Manager를 연다. Transient modal dynamics 열에서 생성과 레이블이 지정된 셀을 선택한다(필요한 경우 열을 확장하여 단계 이름을 완벽히 표시한다.)

2. 절점 변위 만 ODB 파일에 5 증가마다 기록하도록 필드 출력 요청을 편집한다.

3. History Output Requests Manager를 연다. ALLIE, ALLKE, ALLVD만 증가한 후 내보내도록 기본 출력 요청을 편집한다. 또한 단계 Transient modal dynamics에 두 개의 새로운 출력 요청을 만든다. 첫 번째 출력 요청에서 세트 Tip-a의 변위(이동 성분 만)는 매 증가 후에 기록된다. 두 번째 출력 요청에서 세트 Attach의 반력(모멘트 제외)은 매 증가 후에 기록된다.

경계 조건은 정역학 해석과 같다. 이들은 단계 대체 작업 중에 상속되므로 새 경계 조건을 정의할 필요는 없다.

크레인의 팁에 집중하중을 가한다. 이 하중의 크기는 그림 7.6과 같이 시간 의존적이다. 하중의 시간 의존성은 시간 변화 곡선을 사용하여 정의할 수 있다. 언제든지 적용되는 하중의 실제 크기는 하중의 크기(-10,000N)에 해당 시간의 시간 변화 곡선의 값을 곱하여 구한다.

시간 의존 하중을 지정하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 시간 변화 곡선을 정의하는 것으로 시작한다. 모델 트리에서 Amplitudes 컨테이너를 두 번 클릭한다. 시간 변화 곡선에 Bounce라는 이름을 지정하고, Tabular 형식을 선택한다. 다음 표에 표시된 데이터를 Edit Amplitude 대화 상자에 입력한다. 시간 범위의 기본 선택인 Step time을 그대로 사용하고 평활화 매개 변수의 값으로 0.25를 지정한다.

⊙ 테이블 옵션을 사용하려면 마우스 버튼 3을 사용한다.

표 . 시간 변화 곡선 데이터

2. 그다음 하중을 정의한다. 모델 트리에서 Loads 컨테이너를 두 번 클릭한다. Transient modal dynamics 단계에서 이 하중을 적용하고, Dyn load라는 이름을 지정하고 하중 종류에 집중하중을 선택한다. 이 하중을 세트 Tip-b에 적용한다. 이전에 정의된 세트 Tip-a와 Tip-b의 방정식 구속은 크레인의 양쪽 구조 부분이 이 하중을 고르게 유지한다.

3. Edit Load 대화 상자에서 CF2에 -1.E4 값을 입력하고, 시간 변화에 Bounce를 선택한다.

이 예에서 구조물은 초기 속도나 초기 가속도가 없다. 이것은 기본 설정이다. 만약 초기 속도를 정의할 필요가 있으면 메뉴에서 Predefined Field → Create를 선택하고, 모델의 선택한 영역에 초기 이동 속도를 초기 단계에서 지정을 통해 초기 속도를 정의할 수 있다. 또한 모드 동역학 해석 단계의 정의를 편집하고 초기 조건을 사용해야 한다. DynCrane 작업을 만들고 다음 설명을 입력한다.

3-D model of light-service cargo crane dynamic analysis.

2) 해석

모델을 모델 데이터베이스 파일에 저장하고, 해석 작업을 제출한다. 해석의 진행 상황을 관찰하고, 모델링 오류가 감지되면 이를 수정하고, 경고 메시지가 있는 경우 원인을 조사하고, 필요한 경우 수정한다.

3) 결과

Job Monitor는 해석에 사용된 자동 시간 증분 기능의 요약을 증분 단위로 제공한다. 이 정보는 증가가 완료되면 바로 기록되므로 실행 중인 해석을 관찰할 수 있다. 이 기능은 크고 복잡한 문제에서 유용하다. Job Monitor에서 얻은 정보는 상태 파일(DynCrane.sta)에서 얻은 정보와 같다.

Job Monitor와 인쇄 출력 데이터 파일(DynCrane.dat)을 검사하여 해석 결과를 평가한다.

Job Monitor에서 첫 번째 열은 단계 번호를 나타내고, 두 번째 열은 증가 번호를 나타낸다. 여섯 번째 열은 각 증분에서 수렴 솔루션을 얻기 위해 Abaqus/Standard가 필요로 하는 반복 수를 나타낸다. Job Monitor의 내용을 보면 1단계 중 하나만 증가하는 것과 관련된 시간 증분이 매우 작다는 것을 알 수 있다. 고유치 추출 절차는 시간과 관련이 없으므로 이 단계는 시간을 사용하지 않는다.

2단계의 출력은 시간 증분의 크기가 단계 안에서 일정하며, 각 증가는 한 번의 반복만 필요하다는 것을 나타낸다. Job Monitor의 마지막 부분을 다음 그림에 표시한다.

Job Monitor의 Data File 탭을 클릭하여 대화 상자 아래의 탭에 데이터 파일을 표시한다. 1단계의 주요 결과는 아래와 같이 추출된 고유치, 자극 계수, 유효 질량이다.

추출된 최대 진동수는 96Hz이다. 이 진동수에 대응하는 주기는 0.0104초이다. 이것은 고정 시간 증분의 0.005초에 필적한다. 사용된 시간 증분보다 실질적으로 작은 주기를 갖는 모드 추출에는 의미가 없다. 반대로 시간 증분은 주목할 만한 최대 진동수의 주기를 나눌 수 있을 만큼 작아야 한다.

일반화된 질량 열은 각 모드와 관련된 단일 자유도 시스템의 질량을 나열한다.

Participation Factors 테이블은 각 모드가 작용하는 지배적인 자유도를 보여준다. 예를 들어, 이 결과에서 모드 1은 세 번째 방향으로 주로 작용한다는 것을 알 수 있다.

유효 질량 테이블은 단일 모드의 각 자유도에서 유효 질량의 크기를 나타낸다. 이 결과는 두 번째 방향의 질량이 큰 첫 번째 모드가 모드 3임을 보여준다. 두 번째 방향의 모든 모드 유효 질량은 378.26kg이다. 모델의 총질량은 데이터 파일 앞에 주어지며 414.34kg이다.

충분한 수의 모드가 사용되었는지 확인하려면 각 방향의 총 유효 질량이 모델의 질량에 비해 큰 비율(예: 90%)이어야 한다. 그러나 모델의 일부 질량은 구속된 절점에 포함된다. 이 구속된 질량은 구속된 절점을 포함하는 모든 요소의 질량의 약 ¼이다. 이 예제는 약 28kg이다. 따라서 운동할 수 있는 모델의 질량은 385kg이다.

⊙ 구속된 절점이 포함된 요소의 질량을 얻으려면 Mesh 모듈로 전환하고, Query 도구를 클릭하고 일반 Query 목록에서 Mass properties를 선택한다. 프롬프트에서 Select mesh entities를 선택하고 구속된 절점이 포함된 6개의 요소를 선택한다. 전체 질량이 메시지 영역에 표시된다(114kg).

x, y, z 방향의 유효 질량은 각각 운동할 수 있는 질량의 6%, 98%, 97%이다. 2와 3방향의 총 유효 질량은 전술한 권장 비율의 90%를 초과한다. 1방향의 총 유효 질량은 그보다 훨씬 작다. 그러나 하중은 2방향에 적용되므로 1방향의 응답은 중요하지 않다.

모드 동적 단계에서 데이터 파일의 출력 요청이 모두 삭제되었으므로 해당 단계의 결과는 데이터 파일에 포함되지 않는다.

4) 후처리

Visualization 모듈을 시작하고 ODB 파일 DynCrane.odb를 연다. 얻어진 고유 진동수에 대응하는 변형 모드는 그 진동수에 대응하는 모드 형상을 표시하여 시각화할 수 있다.

모드를 선택하고 해당 모드 모양을 표시하려면 다음과 같이 설정한다.

1. Frame Selector 도구를 클릭하면, Frame Selector 대화 상자가 나타난다. 대화 상자의 아래쪽 모서리를 드래그하여 두 단계 이름을 모두 알 수 있도록 대화 상자를 펼친다.

2. 프레임 슬라이더를 드래그하여 Extract Frequencies 단계의 프레임 1을 선택한다. 이것은 첫 번째 고유 모드이다.

3. 메뉴에서 Plot → Deformed Shape를 선택한다. 다음 그림과 같이 첫 번째 진동 모드에 해당하는 변형 모드 모양이 표시된다.

4. Frame Selector 대화 상자에서 세 번째 모드(Extract Frequencies 단계의 프레임 3)를 선택한다. 그다음 대화 상자를 닫는다. 다음 그림에 표시된 세 번째 모드 모양이 표시된다.

⊙ 유효한 프레임의 전체 목록은 Step/Frame 대화 상자에서 제공한다(Result → Step/Frame). 이 대화 상자는 프레임 사이에 이동하는 다른 수단을 제공한다.

해석 결과를 애니메이션 한다. 먼저 모드 3의 Scale Factor 애니메이션을 수행한다.

고유 모드의 Scale Factor 애니메이션을 수행하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 메뉴에서 Animate → Scale Factor를 선택한다. 모드 3의 모양이 표시되고, 0에서 1까지의 다른 변형 배율로 프레임이 표시된다. 컨텍스트 막대의 오른쪽에는 동영상 재생기 제어도 표시된다.

2. 컨텍스트 막대에서 || 을 클릭하여 애니메이션을 일시 중지한다.

과도 결과의 시각 기록 애니메이션을 실행하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 메뉴에서 Result → Active Steps/Frames를 선택하여 시각 기록 애니메이션으로 활성화할 프레임을 선택한다. Active Steps/Frames 대화 상자가 나타난다.

2. 두 번째 단계(Transient modal dynamics)만 선택되도록 각 단계 이름을 켜거나 끈다.

3. OK를 클릭하여 선택을 확인하고, 대화 상자를 닫는다.

4. 메뉴에서 Animate → Time History를 선택하거나 도구 상자의 도구를 사용한다.

두 번째 단계의 유효한 프레임은 순서대로 프레임으로 표시된다. 상태 블록은 애니메이션의 현재 단계와 증가를 표시한다. 이 단계의 마지막 증가에 도달하면 같은 애니메이션이 반복적으로 표시된다.

5. 애니메이션이 실행되는 동안 변형 표시를 사용자 정의할 수 있다. Common Plot Options 대화 상자를 표시한다. Deformation Scale Factor 필드에서 Uniform을 선택한다. 변형 배율의 값으로 15.0을 입력한다. Apply를 클릭하여 변경 사항을 적용한다. 이제 두 번째 단계의 프레임이 15.0의 변형 배율로 프레임으로 표시된다. Deformation Scale Factor 필드에서 Auto-compute를 선택한다. OK를 클릭하여 변경 사항을 적용하고 Common Plot Options 대화 상자를 닫는다.

이제 두 번째 단계의 프레임이 0.8의 기본 변형 배율로 표시된다.

결합점에서 피크 인출력을 구하려면 결합 절점에서 1방향 반력(변수 RF1)의 X-Y 표시한다. 이를 위해서는 동시에 복수의 커브를 표시하는 것이 필요하다.

여러 커브를 표시하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 결과 트리에서 DynCrane.odb 출력 데이터베이스의 History Output을 마우스 버튼 3으로 클릭한다. 표시된 메뉴에서 Filter를 선택한다.

2. 필터 필드에 *RF1*을 입력하여 이력 출력을 첫 번째 방향의 반력 성분으로 좁힌다.

3. 유효한 이력 출력 목록에서 다음 형식의 네 개의 커브를 선택한다([Ctrl]+클릭 사용):

Reaction Force:RF1 PI:TRUSS-1 Node xxx in NSET ATTACH

4. 마우스 버튼 3을 클릭하고 표시된 메뉴에서 Plot을 선택한다. 선택한 커브가 표시된다.

5. 프롬프트에서 X를 클릭하여 현재 작업을 취소한다.

그리드를 배치하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 표시를 두 번 클릭하여 Chart Options 대화 상자를 연다.

2. 이 대화 상자에서 Grid Area 탭으로 전환한다.

3. 이 페이지의 Size 영역에서 Square 옵션을 선택한다.

4. 슬라이더를 사용하여 크기를 75로 설정한다.

5. 이 페이지의 Position 영역에서 Auto-align 옵션을 선택한다.

6. 사용할 수 있는 정렬 옵션 중에서 마지막 옵션을 선택한다(뷰포트의 오른쪽 아래 모서리에 그리드를 배치).

7. Dismiss를 클릭한다.

범례를 배치하려면 다음과 같이 설정한다.

1. 범례를 두 번 클릭하여 Chart Legend Options 대화 상자를 연다.

2. 이 대화 상자에서 Area 탭으로 전환한다.

3. 이 페이지의 Position 영역에서 Inset을 켭니다.

4. 범례의 최솟값과 최댓값을 표시하려면 대화 상자의 Contents 탭으로 전환한다. 이 페이지의 Numbers 영역에서 Show min/max를 켠다.

5. Dismiss를 클릭한다.

6. 뷰포트에서 범례를 드래그하여 위치를 변경한다.

표시 결과(사용자 정의됨)는 다음 그림에 나와 있다. 각 트러스 구조의 상단에 있는 두 개의 절점(점 B와 C)의 곡선은 각 트러스 구조의 아래쪽 절점(점 A와 D)의 곡선을 반전한 것과 거의 같다.

⊙ 곡선의 스타일을 변경하려면 Visualization 도구 상자에서 아이콘을 클릭하여 Curve Options 대화 상자를 연다.

각 트러스 구조의 상단에 있는 결합 지점에서 피크 인장력은 약 80 kN이다. 이것은 이 커플 링의 힘 100 kN보다 작다. 첫 번째 방향의 음의 반력은 부재가 벽에서 빠져나가는 것을 의미한다. 하단 결합은 하중이 가해지는 동안 압축(양의 반력)이지만 하중이 제거된 후 인장과 압축 사이를 진동한다. 이 진동의 피크 인장력은 약 40 kN이며, 허용치보다 상당히 작다. 이 값을 얻으려면 X-Y 표시를 측정한다.

X–Y 표시를 나타내려면 다음과 같이 설정한다.

1. 메뉴 모음에서 Tools → Query를 선택한다. Query 대화 상자가 나타난다.

2. Visualization Module Queries 필드에서 Probe values를 클릭한다. Probe Values 대화 상자가 나타난다.

3. 그림에 표시된 점을 선택한다.

이 점의 Y 좌푯값은 -40.30 kN이다. 이것은 첫 번째 방향의 반력 값에 해당한다.