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물체에 하중이 작용하면 내부에 응력이 발생한다. 응력은 가상의 분리된 평면에서 물체의 어떤 인접한 두 부분 중 하나가 다른 한 부분에 작용하는 내력으로 설명할 수 있다. 힘이 이 평면에 평행하게 작용하는 응력을 전단응력(shear stress,  $ \tau $)이라고 한다. 힘이 이 평면에 수직 방향으로 작용하는 응력을 수직응력(normal stress, $ \sigma $)이라고 한다.

물체를 가상의 작은 응력 요소로 나누어 생각하면 편리하다. 물체가 정적 평형을 유지하려면 전단응력과 수직응력이 모두 정적 평형 상태로 이 응력 요소 각각에 작용해야 한다. 수직응력이 응력 요소 방향으로 작용하면 압축응력이라고 하며, 음(-)의 값으로 표현한다. 만약 그 요소로부터 멀어지면 인장응력이라 하고 양(+)의 값으로 규정한다. 이 모든 응력은 물체 재료가 응집하는 성질 때문에 발생한다. 만약 물체에 하중을 작용할 때 저항 없이 분리되면, 응력은 생기지 않을 것이다.

그림과 같이 응력의 특성을 나타내려고 다양한 첨자를 사용한다. 예를 들어 $ \tau_{xy} $는 축에 수직인 요소면 위에 $y$축과 평행하게 작용하는 전단응력이며, $ \sigma_{y} $ 는 $y$축에 수직인 면에 축 방향으로 작용하는 수직 응력이다. 물체가 정적 평형 상태라면 $ \tau_{xy} = \tau_{yx} $, $ \tau_{yz} = \tau_{zy} $, $ \tau_{zx} = \tau_{xz} $ 를 만족한다.

주응력(principal stresses)

하중을 받는 구조물에 전단응력 성분이 모두 ‘0’이 되는 특별한 요소 면의 방향이 존재한다. 이 요소 면에 수직인 방향을 주방향(principal direction)이라 하고, 이 요소의 면에 작용하는 수직 응력이 주응력(principal stress)이다. 세 개의 주 방향과 주응력이 존재하는데 주응력 크기에 따라 각각 최대 주응력($ \sigma_1$), 중간 주응력( $ \sigma_2$ ), 최소 주응력( $ \sigma_3$ )이라고 한다. 주응력의 방향은 물체의 형상뿐만 아니라 작용 하중에 따라 다르다.

주응력 중 하나가 ‘0’일 때 응력 상태를 2축(biaxial) 응력 또는 평면 응력(plane stress)이라고 한다. 이 문제는 하중과 경계조건이 그 평면에 존재하고 평행한 평면에서 같은 평면 근삿값으로 가정할 수 있다. 이 평면에 수직 방향으로 변형률은 존재하지만, 응력은 존재하지 않는다.

하중이 작용하는 평면에 수직 방향으로 변형률이 없는 경우를 평면 변형률(plane strain)이라고 한다. 이 조건에서는 단면을 깊이 방향으로 자르고 어떤 부재의 단부 효과는 무시할 수 있다.

세 개의 주응력 중에서 두 개가 ‘0’인 경우가 단축(uniaxial) 응력이라고 한다.

평면 응력 상태

그림과 같은 평면 응력에서 최대 및 최소 주응력은 다음 2차 방정식의 해로 쉽게 구할 수 있다.

그림과 같이 이 식의 해를 구하려면 단면의 수직 응력($ \sigma_x $, $ \sigma_y $ )과 전단응력( $ \tau_{xy} $ )을 알아야 한다. 

2축 응력 상태에서 또 다른 주요 관심사는 최대 전단응력이 발생하는 방향이다. 이 방향에서 수직 응력은 ‘0’이 아니다. 이 방향은 주응력 방향과 항상 45°만큼 차이가 나며, 이 방향에서의 최대 전단응력과 수직 응력은 다음과 같이 계산할 수 있다.

일반적인 3축(triaxial) 응력 상태에서 세 개의 주응력을 계산하려면 다음 3차 방정식의 근을 구해야 한다.

$ I_1 $, $ I_2 $, $ I_3 $를 응력 불변량(stress invariant)이라고 한다. 여기서 $ I_1 $은 제1 불변량이라 불리며 물체 내 해당 지점에서 응력에 의한 정수압(hydrostatic pressure)이다. 이 값은 균열과 파괴 해석에서 중요하다.

일반적인 3축 응력 상태에서, 최대 전단응력은 다음 식과 같이 최대 주응력과 최소 주응력으로 나타낼 수 있다.