[Abaqus] 요소망의 수렴성에 관하여...

Abaqus 해석에서 합리적인 결과를 얻으려면 충분히 미세한 요소망을 사용하는 게 중요하다. 요소망이 거칠면 내연법이나 외연법을 사용한 해석으로 결과가 부정확해질 수 있다. 해석 모델에서 얻은 수치 해는 요소망 밀도가 증가하면서 고유한 값으로 수렴한다. 또한 해석을 수행하는 데 필요한 컴퓨터 자원은 요소망이 미세해질수록 증가한다. 요소망은 더 미세해도 해법에 약간의 변화만 있을 때 수렴된 것으로 간주한다.

 

경험을 쌓으면 대부분 해석에서 합리적인 결과를 얻을 수 있는 적절한 요소망을 결정할 수 있다. 그러나 같은 문제를 더 미세한 요소망으로 해석하고 결과를 비교하여 요소망의 수렴성을 조사하는 것이 항상 좋은 방법이다. 두 요소망에서 본질적으로 같은 결과를 얻으면 자기 모델이 수학적으로 정확한 해법을 제공한다는 자신감을 가질 수 있다.

 

요소망의 수렴성은 Abaqus/Standard와 Abaqus/Explicit 모두에서 중요한 고려 사항이다. 연결용 러그를 요소망 세분화의 예로 사용하고, 네 가지 요소망 밀도(그림)를 사용하여 Abaqus/Standard에서 추가 해석한다. 각 요소망에서 사용하는 요소의 수는 그림과 같다.

연결용 러그 예제에 대한 다른 요소망 분할

 

⊙ 그림의 요소망은 다음 그림과 같이 파티션으로 분할하고 , 적절한 요소망 Seed 를 제공하여 얻을 수 있다 .

연결 지연의 추가 파티션

이 모델의 다음 세 가지 해석 결과에서 요소망 밀도의 영향을 고려해보자.

 

● 구멍 아래쪽 변위

● 구멍 아래쪽 표면의 응력 집중 위치에서 피크 Mises 응력

● 러그와 부모 구조물의 접합부에서의 피크 Mises 응력

 

이 결과가 비교되는 위치는 다음 그림과 같다.

요소망 세분화를 고려하여 해석 결과를 비교하는 위치

이 네 가지 요소망 밀도의 각각 해석 결과는 각 해석을 실행하는 데 필요한 CPU 시간과 함께 다음 표에서 비교된다.

 

표. 요소망 세분화 해석 결과

요소망	구멍 아래쪽 변위	구멍 아래쪽의 응력	접합부에서의 응력	CPU 시간 비율
Coarse	3.07E − 4	256.E6	312.E6	0.83
Normal	3.13E − 4	311.E6	365.E6	1.0
Fine	3.14E − 4	332.E6	426.E6	3.2
Very fine	3.15E − 4	345.E6	496.E6	13.3

 

구멍의 하단 변위 예측에서 거친 요소망은 다른 요소망보다 부정확하다. 한편, 보통 요소망, 미세 요소망, 매우 미세한 요소망은 모두 비슷한 결과를 얻는다. 따라서 일반적으로 요소망은 변위와 관련하여 수렴한다. 각 해석 결과의 수렴성을 다음 그림에 표시하였다.

요소망 세분화를 고려한 각 해석 결과의 수렴성

모든 해석 결과는 거친 요소망의 예측값에 대해 정규화된다. 응력과 변형률은 변위 기울기에서 계산되므로 구멍 아래의 피크 응력은 변위보다 훨씬 느리게 수렴한다. 따라서 정확한 변위 기울기를 예측하려면 정확한 변위를 계산하는 것보다 아주 미세한 요소망이 필요하다.

 

요소망 세분화는 연결용 러그의 접합부에서 계산된 응력을 크게 변화시킨다. 이 응력은 요소망 세분화에 따라 계속 증가한다. 응력의 특이성은 부모 구조와 결합하는 표면의 러그 모서리에 있다. 이론적으로 이 위치에서 응력은 무한하다. 따라서 요소망 밀도를 늘려도 이 위치에서 응력 수렴 값을 얻을 수 없다. 이 특이성은 유한 요소 모델에서 사용하는 이상화로 발생한다. 러그와 부모 구조물 사이의 접합부는 날카로운 모서리로 만들고 부모 구조체는 강체로 만든다. 이런 이상화는 응력의 특이성을 만든다. 현실적으로 러그와 부모 구조 사이에 작은 필렛이 존재하며, 부모 구조는 강체가 아닌 변형체로 간주한다. 이 위치에서 정확한 응력이 필요하다면 각 구성 요소 사이의 필렛을 정확하게 만들고(그림 참조) 부모 구조의 강성도 고려해야 한다.

날카로운 모서리로 필렛 이상화

유한 요소 모델에서 필렛 반경과 같은 미세 부분을 생략하고 해석을 단순화하고 모델을 적당한 크기로 줄이는 경우가 많다. 그러나 모델에 날카로운 모서리가 있으면 필드에 응력 특이성이 생긴다. 일반적으로 이것은 모델의 전반적인 응답에 거의 영향을 미치지 않지만, 특이점에 가까운 예측 응력은 부정확하다.

 

복잡한 3차원 해석에서 사용할 수 있는 컴퓨터 자원에 따라 사용할 수 있는 요소망 밀도가 실제로 제한되는 경우가 많다. 이 경우 해석에서 얻은 결과를 신중하게 사용해야 한다. 추세를 예측하고 다른 모델의 거동을 상대적으로 비교할 때 거친 요소망으로 충분하다. 그러나 거친 요소망으로 계산된 변위나 응력 값을 그대로 사용할 때 주의가 필요하다.

 

대부분 해석할 구조물 전체에 고르게 미세한 요소망을 사용할 필요가 없다. 미세 요소망은 응력 기울기가 큰 영역에서 주로 사용하며, 응력 기울기가 작은 영역이나 응력의 크기에 주목하지 않는 영역에는 거친 요소망을 사용한다. 예를 들어, 그림은 구멍 아래의 응력 집중을 정확하게 예측하려고 만들어진 요소망이다.

구멍 주위를 세밀하게 한 요소망

미세한 요소망은 응력 기울기가 큰 영역에서 사용되고 다른 영역은 거친 요소망을 사용한다. 국부적으로 미세하게 나눈 요소망을 이용한 Abaqus/Standard 해석 결과는 다음 표와 같다. 이 표에서 국부적으로 미세한 요소망 해석은 매우 미세한 요소망과 거의 같은 해석 결과를 얻는 데 필요한 CPU 시간이 상당히 짧다는 것을 보여준다.

 

표. 매우 미세한 요소망과 국부적으로 미세한 요소망의 비교

요소망	구멍 하단 변위	구멍 하단 응력	CPU 시간 비율
Very fine	3.15E − 4	345.E6	22.5
Locally refined	3.14E − 4	346.E6	3.44

 

대부분은 유사한 부품에 대한 지식과 수학 계산을 사용하여 모델에서 큰 응력이 발생하는 영역의 위치, 즉 미세한 요소망이 필요한 영역을 예측할 수 있다. 또한 이 정보는 먼저 거친 요소망을 사용하여 응력이 큰 영역을 식별한 다음 해당 영역에서 요소망을 미세하게 만들어서 얻을 수 있다. 후자의 작업은 구조 형상을 바탕으로 완전한 수치 모델(재료 특성, 경계 조건, 하중 등)을 정의할 수 있는 Abaqus/CAE와 같은 전처리기를 사용하여 쉽게 수행할 수 있다. 첫 번째 해석에서 형상을 거칠게 요소망으로 나눈 다음 거친 요소망 해석의 결과에 따라 적절한 영역에서 요소망을 세밀하게 하는 것이 쉽다.

 

Abaqus는 구조의 주요 영역에서 더 상세하고 정확한 결과를 얻을 수 있는 서브 모델링이라고 하는 고급 기능을 제공한다. 전체 구조물의 거친 요소망 솔루션을 사용하여 관심 영역에서 미세 요소망을 사용하여 상세한 로컬 해석을 ‘구동’한다.