[CAE] 헤르츠 응력(Hertzian stresses)

서로 눌리는 두 물체의 내부에 발생한 응력 상태는 일부 특별한 경우 수 계산으로 분석적으로 계산할 수 있는 복잡한 비선형 현상이다. 여기에서는 두 개의 구체와 두 개의 같은 길이의 원통 사이에 강제 접촉으로 발생하는 헤르츠 응력(Hertzian stresses)에 관해 설명할 것이다.

 

 

지름이 $d_1$과 $d_2$ 인 두 개의 구체를 힘 $F$가 작용하여 접촉했을 때, 그 접촉면의 반지름($a$)은 다음 식으로 계산할 수 있다. 

$$a=\sqrt[3]{\frac{3F}{8}\frac{(1-v_1^2)/E_1+(1-v_2^2)/E_2}{1/d_1+1/d_2}}$$

여기서 $E_1$, $E_2$, $\nu_1$, $\nu_2$는 각각 두 구체의 탄성계수와 푸아송비이다. 이 접촉면의 중심에는 다음 식과 같은 최대 압력($p_{max}$)이 발생한다. 

$$P_{max}=\frac{3F}{2\pi a^2}$$

평면에 접촉 원이 있고, 축이 하나의 구체에 수직인 중심점에 좌표계를 배치하면 주응력은 이 축과 일치하며, 다음 식과 같이 $z$좌표의 함수이다.

$${\sigma }_x={\sigma }_y=-p_{max}[(1-\frac{z}{a}{\tan }^{-1}\frac{1}{z/a})(1+\nu )-\frac{1}{2(1+z^2/a^2)}]$$

$${\sigma }_z=\frac{-p_{max}}{1+z^2/a^2}$$

여기서 $\nu$는 구체의 푸아송비이다. 최대 주축 전단 응력은 다음 식으로 계산한다.

$${\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_z}{2}=\frac{{\sigma }_y-{\sigma }_z}{2}$$

세 개의 수직 응력은 압축응력이고, 접촉면에서 가장 높지만, 전단 응력은 이 접촉면 약간 아래에서 최댓값에 도달한다는 것을 유의해야 한다.

길이가 $l$로 같고, 지름이 $d_1$과 $d_2$인 두 실린더의 접촉면은 길이가 $l$이고 폭이 $2b$인 직사각형 접촉면이다. 여기서 $b$는 다음 식과 같다. 

$$b=\sqrt{\frac{2F}{\pi l}\frac{(1-{\nu }_1^2)/E_1+(1-{\nu }_2^2)/E_2}{1/d_1+1/d_2}}$$

최대 압력은 사각형의 길이 방향 중심선을 따라 발생한다.

$$P_{max}=\frac{2F}{\pi bl}$$

이 접촉면에서 비슷한 좌표계를 위치시키고, 실린더의 축에 평행한 $x$축 방향으로 정의하면 수직 주응력은 다음 식과 같다.

$${\sigma }_x=-2\nu p_{max}(\sqrt{1+\frac{z^2}{b^2}}-\frac{z}{b})$$

$${\sigma }_y=-p_{max}[(2-\frac{1}{1+z^2/b^2})\sqrt{1+\frac{z^2}{b^2}}-2\frac{z}{b}]$$

$${\sigma }_z=\frac{-p_{max}}{\sqrt{1+z^2/b^2}}$$

또한, 주축의 전단 응력은 다음 식과 같다.

$${\tau }_{xy}=\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}$$

$${\tau }_{xz}=\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_z}{2}$$

$${\tau }_{yz}=\frac{{\sigma }_y-{\sigma }_z}{2}$$

여기서 수직 응력은 압축응력이고, 접촉면에서 최댓값이다. 최대 전단 응력($\tau_{zy}$)은  근처에서 발생한다. 
구체나 원통이 평면과 접촉할 때 평면의 지름($d$)을 무한대로 대체하고, 구체나 원통이 내부에서 다른 구체나 원통과 접촉할 때 지름을 음수로 대체하면, 이 절에서 제시한 식들을 그대로 사용할 수 있다.