[Abaqus] Beam 요소의 공식화와 적분

Abaqus의 모든 Beam 요소는 ‘보-기둥(beam-column)’ 요소이다. 이것은 축 방향, 휨 방향, 비틀림 방향의 변형이 가능하다는 것을 의미한다. Timoshenko Beam 요소는 가로 전단 변형의 효과를 고려한다.

1) 전단 변형

선형 요소(B21과 B31)와 2차 요소(B22와 B32)는 전단 변형이 가능한 Timoshenko Beam이다. 따라서, 이 요소는 전단 변형이 중요한 두꺼운 부재와 전단 변형이 중요하지 않은 얇은 부재의 모델링에 적합하다. 이 요소의 단면은 Shell 공식화에서 설명한 것처럼 두꺼운 Shell 요소의 단면과 같은 방식으로 거동한다.

그림. 횡단면 거동: (a) 얇은 부재, (b) 두꺼운 부재

Abaqus는 이 Beam 요소의 가로 전단 강성이 선형 탄성의 상수라고 가정한다. 또한, 이 Beam은 단면적이 축 방향 변형에 따라 변할 수 있도록 공식화된다. 이것은 기하 비선형 해석에서 단면 푸아송의 비가 ‘0’이 아닌 경우에만 고려되는 효과이다. 이 요소는 부재 축 대표 치수의 1/10보다 단면 치수가 작으면 실용적인 결과를 제공한다. 일반적으로 이것은 Beam 이론의 적용 한계로 간주한다. Beam 단면이 휨 변형에서 평면을 유지할 수 없을 때 Beam 이론은 변형을 만드는 데 적합하지 않다.

 

Euler-Bernoulli Beam 요소인 Abaqus/Standard에서 사용하는 3차 요소(B23과 B33)는 전단 변형을 만들지 않는다. 이 요소의 단면은 Beam 축에 수직인 상태를 유지한다(그림 6.6(a) 참조). 따라서 3차 Beam 요소는 비교적 긴 부재로 구성된 구조물을 만들 때 가장 효과적이다. 3차 요소는 길이 방향을 따라 변위의 3차 변화를 만들기 때문에, 가끔 정역학 해석에서 하나의 3차 요소이며 동역학 해석에서는 여러 3차 요소 하나의 구조 요소를 만들 수 있다. 이런 요소는 전단 변형이 무시할 정도로 작다고 가정한다. 일반적으로, 단면의 치수가 구조의 축 방향의 대표 치수의 1/15보다 작으면, 이 가정은 유효하다.

2) 비틀림과 뒤틀림

구조 부재는 가끔 비틀림 모멘트를 받는다. 이것은 3차원 프레임 구조라면 거의 모두 발생한다. 그림 6.7과 같이 하중이 한 부재에서 휨을 일으키면 다른 부재에 비틀림이 발생할 수 있다.

그림. 프레임 구조에서 발생하는 비틀림

 

비틀림에 대한 Beam의 응답은 Beam의 단면 형상에 따라 다르다. 일반적으로 Beam의 비틀림은 단면에 휘어지거나 불균일한 면외 방향 변위를 일으킨다. Abaqus는 3차원 요소의 경우만 비틀림과 뒤틀림 효과를 고려한다. 뒤틀림 계산에서 뒤틀림 변위는 미세하다고 가정한다. 다음 속이 꽉 찬 단면, 얇은 벽의 폐쇄 단면, 얇은 벽의 개방 단면은 비틀림 변형에서 각각 다른 거동을 보여준다.

 

원형 이외의 Beam 단면은 비틀림 변형에서 평면이 유지되지 않고, 단면이 뒤틀린다. Abaqus는 St. Venant 뒤틀림 이론을 사용하여 단면 뒤틀림으로 생긴 단일 전단 변형 성분을 각 단면점에서 계산한다. 이런 Beam 단면의 뒤틀림은 구속되지 않은 것으로 가정하며 무시할 정도로 작은 축 방향 응력만 발생한다(뒤틀림 구속은 고정단 근처의 결과에만 영향을 미친다). Beam 단면을 갖는 비틀림 강성은 재료의 전단 탄성률(G)과 단면의 비틀림 상수(J)에 의존한다. 비틀림 상수는 단면의 모양과 뒤틀림 특성에 따라 다르다. 단면에서 큰 비탄성 변형을 일으키는 비틀림 하중은 이 방법으로 정확하게 만들 수 없다.

 

원형 이외의 얇은 폐쇄 단면(BOX 또는 HEX)을 갖는 Beam은 큰 비틀림 강성을 가지므로 Beam 단면과 유사한 거동을 나타낸다. Abaqus는 이런 단면의 휨도 구속되지 않는다고 가정한다. 단면이 얇은 두께이므로 전단 변형은 벽 두께 방향으로 일정한 것으로 간주한다. 일반적으로 이 얇은 가정은 벽 두께가 단면 대표 치수의 1/10이면 효과적이다. 얇은 단면의 대표 단면 치수의 예는 다음과 같다.

 

• 원형 관 단면의 지름

• 박스 단면 에지의 길이

• 임의 단면 에지의 길이

 

얇은 개방 단면은 뒤틀림이 구속되지 않으면 매우 변형하기 쉽다. 또한, 이 구조에서 비틀림 강성은 대부분 축 방향의 뒤틀림 변형을 구속해서 발생한다. 얇은 개방 단면의 뒤틀림을 구속하면 축 방향 응력이 도입되어 다른 하중 종류에 대한 Beam의 응답에 영향을 미친다. Abaqus/Standard에는 전단 변형 Beam 요소 B31OS와 B32OS가 있으며, 얇은 개방 단면의 뒤틀림 효과가 고려된다. 채널(선택 단면으로 정의)이나 I 단면 같은 얇은 개방 단면이 있는 구조에 큰 비틀림 하중을 주는 모델을 만들 때 이런 요소를 사용해야 한다.

 

횡단면의 뒤틀림으로 축 방향 변형의 분포는 단면의 뒤틀림 함수로 정의된다. 이 함수의 값은 단면 개방 요소의 추가 자유도 7로 취급된다. 이 자유도를 구속하면 구속이 적용되는 절점에서 뒤틀림이 발생하지 않는다.

 

일반적으로, 가지마다 다른 크기의 뒤틀림이 발생할 수 있도록 프레임 구조 내의 개방 단면 사이의 접합부는 가지마다 별도의 절점으로 만든다(그림 6.8 참조).

 

그림. 개방 단면 접합

 

그러나 뒤틀림이 발생하지 않도록 접합된 부분에 모든 가지에서 같은 절점을 공유하고 뒤틀림 자유도를 구속한다.

 

Beam 전단 중심에서 벗어나 작용하는 전단력은 비틀림을 발생시킨다. 비틀림 모멘트는 이 전단력에 전단 중심으로부터 편심 거리를 곱한 값과 같다. 대부분은 얇은 열린 단면 Beam에서는 단면 중심과 전단 중심이 일치하지 않는다(그림 6.9 참조). Beam 절점이 단면의 전단 중심에 있지 않으면 단면이 하중을 받으면 비틀릴 수 있다.

 

그림. 다양한 단면에서의 전단 중심 s와 단면 중심 c의 대략적인 위치

3) Beam 요소 선택

접촉 포함 해석은 전단 변형이 가능한 1차 Beam 요소(B21, B31)를 사용한다.

 

횡 전단 변형이 중요하면 Timoshenko(2차) Beam 요소(B22, B32)를 사용한다.

 

구조가 매우 단단하거나, 매우 부드러울 때 경우 Abaqus/Standard에서 사용할 수 있는 하이브리드 Beam 요소(B21H, B32H 등)를 기하 비선형 해석에 사용한다.

 

Abaqus/Standard에서 사용하는 Euler-Bernoulli(3차) Beam 요소(B23, B33)는 동적 진동 해석과 같은 분포 하중을 포함하는 해석에 매우 정확하다.

 

얇은 개방 단면을 갖는 구조는 Abaqus/Standard에서 사용할 수 있는 개방 단면 뒤틀림 이론을 사용하는 요소(B31OS, B32OS)로 만든다.