[CAE] 압축을 받는 물체의 응력

그림과 같이 내부와 외부로부터 압력을 받는 원통형 압력용기는 접선 방향과 반경 방향, 길이 방향으로 수직 응력이 발생한다. 내부 반지름($r_i$), 내부 압력($p_i$), 외부 반지름($r_o$), 외부 압력($p_o$)인 원통에서, 반경이 $r$인 위치의 접선 방향과 반경 방향의 응력은 다음 식으로 계산할 수 있다.

$$ \sigma_t = {{p_i r_i^2 - p_o r_o^2 - r_i^2 r_o^2 (p_o - p_i)/r^2} \over {r_o^2 - r_i^2}} $$

$$ \sigma_r = {{p_i r_i^2 - p_o r_o^2 + r_i^2 r_o^2 (p_o - p_i)/r^2} \over {r_o^2 -r_i^2}} $$

 

여기서 접선 응력($ \sigma_t $)을 원통의 원주(hoop) 응력이라고 한다.
뚜껑에 압력이 작용하면 길이 방향 응력은 원통 전체에 일정하며 다음 식과 같다.

$$ \sigma_l = {{p_i r_i^2 - p_o r_o^2} \over {r_o^2 - r_i^2}} $$

두께가 반지름의 1/20 이하인 얇은 두께 $t$의 원통에서는 내압($p$)으로 발생한 최대 접선 응력과 일정한 길이 방향 응력과 무시할 수 있는 외압은 다음 식으로 계산된다.

$$ \sigma_{t,max} = {{p(d_i + t)} \over 2t} $$

$$ \sigma_l = {{pd_i} \over 4t} $$

 

물론 이 경우 반경 방향의 응력은 원통 내부는 간단히 내압과 같고, 외부는 ‘0’이다.

 

같은 길이의 두 원통을 억지 끼워 맞춤으로 발생하는 압력을 알고 있다면, $ \sigma_t$와 $ \sigma_r$의 식은 내부 및 외부 원통에 발생하는 응력을 구하는 데 사용할 수 있다. 여기서 압력은 다음 식과 같이 반경 방향의 간섭량(interference, $ \delta $)의 함수로 주어진다. 

 

$$ p = { \delta \over R } \left[ {1 \over E_0 } \left( {{r_o^2 + R^2} \over {r_o^2 - R^2}} + \nu_0 \right) + {1 \over E_i } \left( {{{R^2 + r_i^2} \over {R^2 - r_i^2}} - \nu_i} \right) \right]^{-1} $$

 

여기서 그림을 참조하면, $ r_i $는 안쪽 원통의 내부 반지름이고, $ r_o $는 바깥쪽 원통의 외부 반경($R$)은 두 원통 경계에서의 반경, 그리고 $E_i$, $E_o$ , $\nu_i$ , $\nu_o$는 각각 안쪽과 바깥쪽 원통 재료의 탄성계수와 푸아송비이다.