[CAE] 압축을 받는 물체의 응력

그림과 같이 내부와 외부로부터 압력을 받는 원통형 압력용기는 접선 방향과 반경 방향, 길이 방향으로 수직 응력이 발생한다. 내부 반지름($r_i$), 내부 압력($p_i$), 외부 반지름($r_o$), 외부 압력($p_o$)인 원통에서, 반경이 $r$인 위치의 접선 방향과 반경 방향의 응력은 다음 식으로 계산할 수 있다.

$${\sigma }_t=\frac{p_i{r}_i^2-p_o{r}_o^2-r_i^2{r}_o^2(p_o-p_i)/r^2}{r_o^2-r_i^2}$$

$${\sigma }_r=\frac{p_i{r}_i^2-p_o{r}_o^2+r_i^2{r}_o^2(p_o-p_i)/r^2}{r_o^2-r_i^2}$$

 

여기서 접선 응력($\sigma_t$)을 원통의 원주(hoop) 응력이라고 한다.
뚜껑에 압력이 작용하면 길이 방향 응력은 원통 전체에 일정하며 다음 식과 같다.

$${\sigma }_l=\frac{p_i{r}_i^2-p_o{r}_o^2}{r_o^2-r_i^2}$$

두께가 반지름의 1/20 이하인 얇은 두께 $t$의 원통에서는 내압($p$)으로 발생한 최대 접선 응력과 일정한 길이 방향 응력과 무시할 수 있는 외압은 다음 식으로 계산된다.

$${\sigma }_{t,max}=\frac{p(d_i+t)}{2t}$$

$${\sigma }_l=\frac{p{d}_i}{4t}$$

 

물론 이 경우 반경 방향의 응력은 원통 내부는 간단히 내압과 같고, 외부는 ‘0’이다.

 

같은 길이의 두 원통을 억지 끼워 맞춤으로 발생하는 압력을 알고 있다면, $\sigma_t$와 $\sigma_r$의 식은 내부 및 외부 원통에 발생하는 응력을 구하는 데 사용할 수 있다. 여기서 압력은 다음 식과 같이 반경 방향의 간섭량(interference, $\delta$)의 함수로 주어진다. 

 

$$p=\frac{\delta }{R}{[\frac{1}{E_0}(\frac{r_o^2+R^2}{r_o^2-R^2}+{\nu }_0)+\frac{1}{E_i}\left(\frac{R^2+r_i^2}{R^2-r_i^2}-{\nu }_i\right)]}^{-1}$$

 

여기서 그림을 참조하면, $r_i$는 안쪽 원통의 내부 반지름이고, $r_o$는 바깥쪽 원통의 외부 반경($R$)은 두 원통 경계에서의 반경, 그리고 $E_i$, $E_o$ , $\nu_i$ , $\nu_o$는 각각 안쪽과 바깥쪽 원통 재료의 탄성계수와 푸아송비이다.