[CAE] 헤르츠 응력(Hertzian stresses)

서로 눌리는 두 물체의 내부에 발생한 응력 상태는 일부 특별한 경우 수 계산으로 분석적으로 계산할 수 있는 복잡한 비선형 현상이다. 여기에서는 두 개의 구체와 두 개의 같은 길이의 원통 사이에 강제 접촉으로 발생하는 헤르츠 응력(Hertzian stresses)에 관해 설명할 것이다.

 

 

지름이 $d_1$과 $d_2$ 인 두 개의 구체를 힘 $F$가 작용하여 접촉했을 때, 그 접촉면의 반지름($a$)은 다음 식으로 계산할 수 있다. 

$$ a = \sqrt [3] {{{3F \over 8 }{{(1 - v_1 ^2 ) / E_1 + (1 - v_2 ^2 )/E_2} \over {1/d_1 + 1/d_2}}}} $$

여기서 $E_1$, $E_2$, $\nu_1$, $\nu_2$는 각각 두 구체의 탄성계수와 푸아송비이다. 이 접촉면의 중심에는 다음 식과 같은 최대 압력($p_{max}$)이 발생한다. 

$$ P_{max} = {{3F} \over {2 \pi a^2}} $$

평면에 접촉 원이 있고, 축이 하나의 구체에 수직인 중심점에 좌표계를 배치하면 주응력은 이 축과 일치하며, 다음 식과 같이 $z$좌표의 함수이다.

$$ \sigma_x = \sigma_y = -p_{max} \left[ \left( 1 - {z \over a} \tan^{-1} {1 \over {z/a}} \right) (1 + \nu ) - {1 \over {2(1 + z^2 / a^2)}} \right] $$

$$ \sigma_z = {{-p_{max}} \over {1+z^2 / a^2}} $$

여기서 $\nu$는 구체의 푸아송비이다. 최대 주축 전단 응력은 다음 식으로 계산한다.

$$ \tau_{xz} = \tau_{yz} = {{\sigma_x - \sigma_z} \over {2}} = {{\sigma_y - \sigma_z} \over {2}} $$

세 개의 수직 응력은 압축응력이고, 접촉면에서 가장 높지만, 전단 응력은 이 접촉면 약간 아래에서 최댓값에 도달한다는 것을 유의해야 한다.

길이가 $l$로 같고, 지름이 $d_1$과 $d_2$인 두 실린더의 접촉면은 길이가 $l$이고 폭이 $2b$인 직사각형 접촉면이다. 여기서 $b$는 다음 식과 같다. 

$$ b = \sqrt {{{2F} \over {\pi l}} {{(1- \nu_1^2)/E_1 + (1- \nu_2^2)/E_2} \over {1/d_1 + 1/d_2}}} $$

최대 압력은 사각형의 길이 방향 중심선을 따라 발생한다.

$$ P_{max} = {{2F} \over {\pi b l}} $$

이 접촉면에서 비슷한 좌표계를 위치시키고, 실린더의 축에 평행한 $x$축 방향으로 정의하면 수직 주응력은 다음 식과 같다.

$$ \sigma_x = -2 \nu p_{max} \left( \sqrt {1+ {z^2 \over b^2}} - {z \over b}\right) $$

$$ \sigma_y = -p_{max} \left[ \left( 2 - {1 \over {1+z^2/b^2}} \right) \sqrt {1 + {z^2 \over b^2}} -2 {z \over b} \right] $$

$$ \sigma_z = {{-p_{max}} \over {\sqrt{1+ z^2 /b^2}}} $$

또한, 주축의 전단 응력은 다음 식과 같다.

$$ \tau_{xy} = {{\sigma_x - \sigma_y} \over 2} $$

$$ \tau_{xz} = {{\sigma_x - \sigma_z} \over 2} $$

$$ \tau_{yz} = {{\sigma_y - \sigma_z} \over 2} $$

여기서 수직 응력은 압축응력이고, 접촉면에서 최댓값이다. 최대 전단 응력($\tau_{zy}$)은  근처에서 발생한다. 
구체나 원통이 평면과 접촉할 때 평면의 지름($d$)을 무한대로 대체하고, 구체나 원통이 내부에서 다른 구체나 원통과 접촉할 때 지름을 음수로 대체하면, 이 절에서 제시한 식들을 그대로 사용할 수 있다.