[수학] 움푹 팬 부분을 집계 표시로

움푹 팬 부분이 있는 뼈 유물은 구석기 시대의 사람들이 기원전 3만 년 전에 하나로 묶어서 집계하는 방법을 생각했던 것으로 보인다. 가장 인상적인 예는 1937년 체코 슬로바키아에서 발견된 어린 늑대의 정강이뼈이다. 길이가 약 7인치인 뼈에는 깊게 움푹 팬 부분이 55개가 새겨져 있으며, 길이는 거의 같으며 묶음으로 배열되어 있다. 유사한 표기법을 아직도 여전히 사용한다. 작은 마을의 투표 결과는 여전히 우리의 먼 조상들이 고안한 방식으로 집계한다. 수년 동안 이런 톱니 모양의 뼈는 사냥 기록으로 해석되었으며, 자른 것은 죽은 것으로 추측하였다. 하지만 최근의 이론은 고대인들의 첫 번째 기록이 시간 계산과 관련 있다는 것이다. 1880년대 후반 프랑스 동굴 유적지에서 발견된 뼈의 흔적은 달의 연속적인 위상에 포함된 일수와 일치하는 일련의 반복되는 숫자로 묶여 있다는 것이다. 누군가는 이 절개된 뼈들이 음력을 나타낸다고 주장하기도 한다.

 

벨기에 왕립 자연과학 연구소에 전시된 이상고 뼈

 

절개된 뼈의 또 다른 놀라운 예는 나일강의 상류 중 하나인 에드워드 호숫가 근처의 이상고(Ishango)라는 곳에서 발굴되었다. 최고의 고고학적, 지질학적 증거는 기원전 17,500년, 나일강 유역에 최초의 정착 농경 공동체가 나타나기 약 12,000년 전으로 거슬러 올라간다. 이 화석 조각은 아마도 조각, 문신, 심지어 어떤 식으로든 글씨를 쓰는 데 사용되는 도구의 손잡이였을 것이다. 여기에는 세 개의 명백한 열로 배열된 움푹 팬 부분의 묶음이 포함되어 있다. 이상하고 불규칙한 구성을 보면 장식은 아닐 것이다. 열 개 중 한 묶음은 11, 21, 19 및 9개의 움푹 팬 부분으로 구성된다. 기본 형태는 10+1, 20+1, 20-1 및 10-1일 수도 있다. 다른 열의 움푹 팬 부분은 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7의 순서로 8개 묶음으로 나타난다. 이 배열은 중복 또는 2를 곱하는 개념에 대한 인식을 암시하는 것 같다. 마지막 열에는 11, 13, 17 및 19개의 움푹 팬 부분으로 구성된 4개의 묶음이 있다. 이 유형은 우연일 수 있으며, 일부 권위자가 추론한 것처럼 반드시 소수를 의미하는 것은 아니다. 11+13+17+19+60이거나 11+21+19+9+60이기 때문에 이상고 뼈의 표시는 음력과 관련 있다고 주장할 수 있으며, 첫 번째와 세 번째 열은 음력 2개월을 나타낸다.

 

계산을 기록하려고 집계 표시를 사용하는 것은 중동의 선사 시대 사람들 사이에서 두드러졌다. 고고학 발굴을 통해 많은 수의 작은 점토판이 발굴되었는데, 이 점토판은 내구성을 높이려고 햇빛에 말렸다. 이 손으로 만든 유물은 다양한 모양으로 발견되었으며, 가장 일반적인 것은 원형 디스크, 삼각형 및 원뿔이었다. 기원전 약 8000년 전으로 거슬러 올라가는 가장 오래된 점토판은 평평한 표면에 평행선으로 표현되었다. 때때로, 뼈나 나무 막대기의 뭉툭한 끝으로 점토에 구멍을 뚫은 것 같은 둥근 형태의 무늬가 있었다. 사람이 처음으로 정착하여 농업 생활을 채택한 시대로 거슬러 올라가므로 이 점토판은 원시 계산 장치였을 것이다. 그래서 ‘계수기(counter)’ 또는 ‘토큰(token)’으로 알려졌다. 모양이 다른 상품을 나타낼 가능성도 크다. 예를 들어, 특정 유형의 토큰은 한 무리의 동물 수를 나타내는 데 사용할 수 있으며, 다른 토큰은 곡물 단위를 계산할 수 있다. 수천 년 동안 토큰은 다양한 표시와 새로운 모양으로 점점 더 복잡해졌다. 결국 16가지 주요 형태의 토큰이 만들어졌다. 많은 것들은 작은 구멍이 뚫려 있어서 안전하게 보관할 수 있도록 함께 묶을 수 있었다. 정보를 기록하는 토큰 개념은 기원전 3000년경에 점토판에 글을 쓰는 것이 빠르게 채택되면서 인기를 잃었다.

 

다양한 시간과 장소에서 사용된 집계 방법은 움푹 팬 부분이 있는 막대기와 관련 있다. 이 장치가 기록을 남기는 가장 초기 형태 중 하나이지만, 그 사용은 결코 ‘원시인들’이나 먼 과거의 사람들에게 국한된 것은 아니었다. 약속 어음이나 환어음으로 집계 막대기를 받아들인 것은 12세기 이후 정부 기록의 필수적인 부분을 만든 영국 재무부 집계에서 가장 높은 수준의 발전에 도달했다. 이 경우, 표시는 길이가 약 6~9인치이고, 두께가 최대 1인치인 개암나무 조각이었다. 다양한 크기와 유형의 움푹 팬 부분으로 표시했으며, 각 움푹 팬 부분은 금액을 나타낸다. 그리고 그 표시의 너비가 값을 결정한다. 예를 들어, £1000을 나타내는 움푹 팬 부분은 손 너비만큼 컸다. 엄지손가락 두께만큼 큰 것은 £100을 나타낸다. 그리고 £20에 작은 손가락의 너비였다. 대출할 때 적절한 움푹 팬 홈을 만들고, 막대기를 두 조각으로 나누어 각 부분에 홈이 생기도록 하였다. 채무자가 한 조각을 보관하고 채권자는 다른 조각을 보관하므로 두 부분을 함께 묶고 움푹 팬 부분이 일치하는지 알아차려서 거래를 쉽게 확인할 수 있었다. 아마도 두 반쪽이 일치했을 때 채권자는 그 부분을 불태우거나 홈을 잘라 다시 매끄럽게 만들어 파괴했지만, 어떤 채무자는 장래 기록을 위해 보관했을 것이다. 관습에 대해 완고한 사람은 이 나무를 이용한 회계는 은행이 부상하고, 현대 계산이 그 관행을 쓸모없게 만든 후에도 오랫동안 사용하였다. 1826년에 발효된 의회 법안이 통과되면서 이 관습은 폐지되었다. 1834년, 상원의원들이 발의하여 오랫동안 축적된 집계가 사라졌을 때, 더욱 일반적인 집계가 시작되었다.

 

 

영국은 이중 집계 막대기의 독특한 품질에 주목했다. 이전에는 누군가가 영국중앙은행에 돈을 빌려주면 그 금액을 집계 막대기로 깎은 다음 나눴다. 은행이 보유하고 있는 부분은 호일(foil)로 알려졌고, 스톡(stock)으로 알려진 나머지 절반은 지급한 금액에 대한 영수증으로 대출자에게 주어졌다. 그리하여 그는 ‘주주(stockholder)’가 되어 정부에서 발행한 지폐와 같은 가치를 지닌 ‘은행 주식(bank stock)’을 소유하게 되었다. 주식 소유자가 돌아왔을 때, 주식은 주의 깊게 확인되었고, 은행이 소유하고 있는 호일과 비교하였다. 그들이 동의하면 소유자의 조각은 통화로 상환된다. 그러므로, 송금을 위해 제시된 서면 증명서가 나중에 ‘수표(check)’라고 불리게 되었다.

 

채무 기록에 나무 집계를 사용하는 것은 대부분 유럽 국가에서 일반적이었고, 꽤 최근까지 계속되었다. 예를 들어, 금세기 초에 스위스의 일부 외딴 계곡에서는 ‘우유 막대기’가 한 무리의 소를 소유한 농부들 사이에서 거래되었다는 증거가 남아 있다. 날마다 우두머리 목동은 물푸레나무로 6면이나 7면의 막대를 깎아 붉은 분필로 색칠하여 절개된 선이 선명하게 두드러지게 하였다. 각 농부의 개인 상징 아래에 어떤 농부의 소가 생산하는 우유, 버터, 치즈의 양을 표시했다. 매주 일요일 교회가 끝나면 모든 당사자가 모여서 결산했다. 집계 막대기, 특히 이중 집계 막대기는 1800년대까지 법적으로 유효한 문서로 인정되었다. 1804년 나폴레옹이 공포한 프랑스 최초의 근대적 법전인 민법전에는 다음과 같은 조항이 포함되어 있다.

 

그들의 주식과 일치하는 집계 막대기는 이러한 방식으로 그들이 만들거나 받은 배달을 선언하는 데 익숙한 사람들 사이에 계약의 힘을 가지고 있다.

 

실제 집계 방법의 다양성이 너무나 다양하므로 여기서는 자세한 설명을 하는 것이 불가능할 것이다. 그러나 끈으로 묶인 매듭을 사용하여 날짜와 물체를 모두 계산하는 절차는 언급할 가치가 있을 정도로 오랜 전통을 가지고 있다. 이 장치는 고대 그리스에서 자주 사용되었으며, 헤로도토스(기원전 5세기)의 작품에서 이를 참조했다. 그는 역사에서 페르시아 왕 다리우스가 이오니아인들에게 달력으로 사용할 매듭이 있는 끈을 건네주었다고 전해 준다.

 

“왕은 가죽끈을 가져다가 60개의 매듭을 묶고, 이오니아의 폭군들을 불러 모아 이렇게 말했다. 매듭이 풀리는 마지막 날까지 내가 돌아오지 않으면, 너희의 주둔지를 떠나 너희의 여러 집으로 돌아가라."