[Abaqus] 동적 진동 감쇠(Abaqus/Explicit)

모델에 감쇠를 추가하는 이유는 수치 진동을 제한하고 구조에 물리적 감쇠를 추가하는 두 가지 종류가 있다. Abaqus/Explicit는 감쇠를 해석에 도입하는 여러 가지 방법을 제공한다.

1) 체적 점성

체적 점성은 체적 변형과 관련된 감쇠를 도입한다. 그 목적은 고속 동적 현상의 모델링을 개선하는 것이다. Abaqus/Explicit는 선형과 2차 체적 점성이 있다. 기본 체적 점성 변수는 단계 정의에서 수정할 수 있다. 그러나 기본값을 수정하는 것은 거의 없다. 체적 점성 압력은 수치 효과가 목적이므로 재료 점의 응력에 포함되지 않는다. 따라서 재료 구성 응답의 일부로 간주하지 않는다.

 

기본적으로 선형 체적 점성은 항상 고려되며, 요소의 최고 주파수에서 ‘링잉’을 감쇠시킨다. 이것은 체적 변형률에서 선형 체적 점성 압력을 다음 식에 따라 발생시킨다.

$$ p_1 = b_1 / \rho c_d L^e {\dot{\varepsilon}}_{vol} $$

여기서, $ b_1 $는 감쇠 계수(기본값은 0.06), $ \rho $는 현재 재료 밀도, $ c_d $는 현재 소밀파 속도, $ L^e $는 특성 요소 길이, $ {\dot{\varepsilon}}_{vol} $는 체적 변형률이다.

 

2차 체적 점성은 연속체 요소(평면 응력 요소 CPS4R 제외)만 고려하며, 체적 변형률이 압축인 경우만 적용한다. 체적 점성 압력은 변형률에 대하여 2차이며, 다음 공식을 따른다.
$$ p_2 = \rho \left ( b_2 L^e \right )^2 \left |  {\dot{\varepsilon}}_{vol} \right | min \left ( 0, {\dot{\varepsilon}}_{vol} \right ) $$
여기서 $ b_2 $는 감쇠 계수(기본값은 1.2)이다.

2차 체적 점성은 충격파의 면을 여러 요소에 걸쳐 매끄럽게 하고 극도로 큰 속도 구배에서 요소의 붕괴(파손)를 방지하기 위해 도입된다. 다음 그림과 같이 요소의 한쪽 끝 절점이 고정되고, 반대쪽 가장자리의 절점에 고정 절점 방향으로 초기 속도가 주어지는 간단한 단일 요소 문제를 고려한다.

그림. 고정 절점과 규정된 속도를 가진 요소

안정 시간 증분의 크기는 소밀파가 이 요소를 가로지르는 데 걸리는 시간이다. 따라서 초기 절점 속도가 재료의 소밀파 속도와 같으면 요소가 한 시간 증분으로 부서지고, 체적이 ‘0’이 된다. 2차 체적 점성의 압력은 요소가 부서지지 않도록 저항하는 압력을 도입한다.

 

체적 점성 압력은 각 요소의 소밀파 모드만 기초한다. 요소의 고차 모드에서 임계 감쇠비는 다음 식으로 주어진다.

$$ \zeta = b_{1} - b_{2}^{2} {{L^{e}} \over {c_{d}}} min(0, {\dot{\varepsilon  _{vol}}} ) $$

여기서 $ \zeta $는 임계 감쇠비이다. 선형 항은 단독으로 임계 감쇠의 6%를 나타낸다. 대조적으로, 보통 2차 항은 그것보다 훨씬 작다.

2) 점성 압력

점성 압력 하중은 구조와 준정역학 문제에서 낮은 주파수의 동적 효과를 억제하는 데 자주 사용하며, 결과적으로 최소 증가 수로 정적 평형에 도달할 수 있다. 이 하중은 다음 식으로 정의된 분포 하중으로 적용된다.
$$ p = -c_v \left ( \bar {v} \bullet \bar {n} \right ) $$
여기서 $ p $는 물체에 가해지는 압력, $ c_v $는 점성 계수(하중의 크기로서 데이터 행에 부여), $ \bar {v}$는 점성 압력이 작용하는 표면 위 포인트의 속도 벡터, $ \bar {n}$는 그것과 같은 포인트의 표면에 대한 단위 외향 법선 벡터이다. 일반적인 구조 문제로 이 모든 에너지를 흡수할 필요는 없다. 보통 진행 중인 동적 효과를 최소화하는 효과적인 방법으로 양의 작은 비율(아마도 1 또는 2%)과 같도록 설정된다.

3) 재료 감쇠

재료 모델은 그 자체가 소성 소산이나 점탄성 형태로 감쇠를 제공할 수 있다. 대부분 문제는 이 감쇠로 충분하다. 다른 옵션으로 Rayleigh 감쇠를 사용할 수 있다. Rayleigh 감쇠는 질량에 비례하는 감쇠($ \alpha_R $)와 강성에 비례하는 감쇠($ \beta_R $)의 두 가지 감쇠 계수가 있다.

 

$ \alpha_R $계수는 요소의 질량 행렬에 비례하는 감쇠 기여율을 정의한다. 도입된 감쇠력은 모델 절점의 절대 속도 때문에 발생한다. 결과 효과는 점성 유체 안을 움직이는 모델에 비유할 수 있으며, 모델의 모든 지점의 움직임은 감쇠력을 만든다. 질량에 비례하는 감쇠를 적절하게 설정하면 안정 한계를 많이 감소시키지 않는다.

 

$ \beta_R $계수는 재료의 탄성 강성에 비례하는 감쇠를 정의한다. 총 변형률 속도에 비례하는 ‘감쇠 응력’은 다음 식을 사용하여 도입한다.
$$ {\tilde {\sigma}}_d = \beta_R {\tilde {D}}^{el} \dot{\varepsilon} $$
여기서 $ \dot{\varepsilon} $는 변형률 속도이다. 초탄성 재료와 초탄성 발포 재료에서 $ {\tilde {D}}^{el} $는 초기 탄성 강성이다. 다른 모든 재료의 경우 {\tilde {D}}^{el}는 재료의 현재 탄성 강성이다. 이 감쇠 응력은 적분점에서 발생하는 구성 응답의 응력에 동적 평형 방정식으로 합산되지만, 응력 출력에는 포함되지 않는다. 감쇠는 모든 비선형 해석에서 도입할 수 있으며, 선형 해석에서 표준 Rayleigh 감쇠를 사용할 수 있다. 선형 해석의 경우 강성에 비례하는 감쇠는 $ \beta_R$과 강성 행렬을 곱한 것과 같은 감쇠 행렬을 정의하는 것과 완벽히 같다. 강성에 비례하는 감쇠는 안정 한계를 크게 줄일 수 있으므로 신중하게 사용해야 한다. 안정 시간 증분의 급격한 감소를 피하려면 강성에 비례하는 감쇠 계수( \beta_R $)를 감쇠가 없을 때 초기 안정 시간 증분보다 작거나 같은 값으로 설정한다.

4) 이산 대시 포트

또 다른 옵션은 대시 포트 요소를 개별적으로 정의하는 방법이다. 각 대시 포트 요소는 이를 구성하는 두 절점의 상대 속도에 비례하는 감쇠력을 제공한다. 이 방법의 장점은 감쇠가 필요하다고 판단된 지점에만 감쇠를 적용할 수 있다는 것이다. 대시 포트는 안정 한계가 많이 감소하지 않도록 항상 다른 요소(스프링과 트러스 등)와 병렬로 사용된다.