[Abaqus] 외연적 동적 유한요소법

이 절은 Abaqus/Explicit의 알고리즘에 대한 설명을 내연적 시간 적분과 외연적 시간 적분을 비교하고, 외연적 동적 해법의 이점을 설명한다.

 

1) 외연적 시간 적분

Abaqus/Explicit는 중앙 차분법을 사용하여 운동 방정식을 외연적으로 시간 적분한다. 따라서 현재 증분의 운동학 조건을 사용하여 다음 증분의 운동학 조건을 계산한다. 증분이 시작할 때, 이 프로그램은 동적 평형 해결책을 찾는다. 이것은 절점 질량 행렬($ M $)에 절점 가속도($ \ddot{u} $)를 곱한 값이 주어진 외력($ P $)과 요소의 내력($ I $)의 차이와 같다는 것을 의미한다.

$$ M \ddot{u} = P - I $$

현재 증가(시간 $ t $) 시작 시의 가속도는 다음과 같이 계산된다.

$$ \ddot {u}  \left |_{(t)} = \left ( M \right )^{-1} \bullet \left ( P - I \right ) \right |_{(t)} $$

외연적 절차는 항상 대각선(집중) 질량 행렬을 사용하므로 가속도 계산에 걸리는 시간이 적으며 연립 방정식의 해를 구할 필요가 없다. 절점의 가속도는 절점의 질량과 절점에 작용하는 순 힘으로부터 완벽히 계산하므로 절점의 계산량은 매우 적다.

 

이 가속도는 중앙 차분법을 사용하여 시간 적분한다. 이것은 가속도가 일정하다고 가정하여 속도 변화량을 계산한다. 이 속도의 변화량은 직전 증분의 중앙에서 속도에 가산되어, 현재 증분의 중앙에서 속도를 구한다. 이 속도는 시간 적분하고, 증분이 시작할 때 변위에 더해지고 증분의 끝에서 변위를 결정한다. 따라서 증분이 시작할 때 동적 평형을 만족하면 가속도를 얻을 수 있다.

 

가속도, 속도, 변위는 시간 방향으로 ‘외연적(explicitly)’으로 진행되는 것을 알 수 있다. ‘외연적’이라는 용어는 증분의 끝에 있는 상태가 다음 증분의 시작 부분에서 변위, 속도 및 가속도에 근거한다는 사실을 의미한다.

 

이 방법은 일정한 가속도를 정확하게 적분한다. 이 방법으로 정밀한 결과를 얻으려면 증분 내에서 가속도가 거의 일정하도록 시간 증분을 상당히 줄여야 한다. 시간 증분을 줄여야 하므로 해석에서는 보통 수천 개의 증분이 필요하다. 다행히 연립 방정식을 풀 필요가 없으므로 각 증가율은 계산량이 적다. 계산량 대부분은 각 절점에 작용하는 요소의 내력을 결정하는 요소 계산 때문이다. 이 요소 계산은 요소 변형을 결정하고, 재료의 구성 관계(요소 강성)를 적용하여 요소 응력과 그에 따른 내력을 구하는 것이 포함된다.

 

2) 내연적 시간 적분 절차와 외연적 시간 적분 절차의 비교

내연적 시간 적분과 외연적 시간 적분 절차에서 평형은 주어진 외력($ P $), 요소의 내력( $ I $ ), 절점 가속도로 정의한다.
$$ M \ddot{u} = P - I $$
여기서 은 질량 행렬이다. 두 절차 모두 절점 가속도의 해를 구하고, 같은 요소 계산을 사용하여 요소의 내력을 결정한다. 이 두 절차 사이의 가장 큰 차이점은 절점 가속도를 계산하는 방법이다. 내연적 절차에서 연립 선형 방정식의 해는 직접 해법으로 결정된다. 계산량이 상당히 적은 외연적 방법의 절점 계산과 비교하면, 이 연립 방정식을 풀기 위한 계산량은 상당히 많다.

 

Abaqus/Standard는 전체 뉴턴 반복 해법을 바탕으로 자동 시간 증분 기능을 사용한다. 뉴턴 해법은 시간이 지나면서 증분이 끝날 때 동적 평형을 만족하고 그때의 변위를 계산하려고 시도한다. 내연적 해법은 무조건 안정이므로 시간 증분은 외연적 방법으로 사용되는 시간 증분과 비교하여 상당히 크다. 보통 비선형 문제는 각 증분에서 지정된 허용 범위 안에서 해를 얻으려면 여러 번 반복해야 한다. 각 뉴턴 반복 해법은 변위 증가에 대한 보정량을 찾는다. 각 반복에서 연립 방정식의 해를 구해야 한다.

$$ {\hat { K}}_{j} c_{j} = P_{j} - I_{j} - M_{j} { \ddot{u}}_{j} $$

이것은 모델이 커지면 계산량이 상당히 많아지는 작업이다. 유효 강성 행렬( ${\hat { K}}_{j} $)은 반복에서 접선 강성 행렬과 질량 행렬의 선형 결합이다. 이런 반복은 잔류 힘, 변위 보정량과 같은 여러 양이 지정된 허용 범위 안에 있을 때까지 계속된다. 매끄러운 비선형 응답의 경우 뉴턴 해법은 다음과 같이 2차 속도로 수렴한다.

반복	상대 오차
1	1
2	10-2
3	10-4
.	.
.	.
.	.

 

그러나 모델에 접촉이나 마찰 미끄럼과 같은 불연속성이 강한 과정이 포함되면, 2차 수렴성을 손실할 수 있으며, 많은 반복이 필요할 수 있다. 또한 평형 조건을 만족시키려면 시간 증분 크기의 컷백이 필요할 수 있다. 극단적인 경우, 내연적 해석에 사용되는 시간 증분 크기는 외연적 해석의 보통 안정 시간 증분과 같을 수도 있지만 내연법의 반복에 필요한 계산량은 여전히 많을 수 있다. 어떤 때는 내연법을 사용하여 수렴하지 못할 수 있다.

 

내연적 해석의 각 반복은 대규모 연립 선형 방정식을 풀어야 하며, 이는 상당한 계산량, 디스크 공간과 메모리 용량이 필요한 작업이다. 대규모 문제에서 이런 방정식 계산 요구 사항은 요소 계산과 재료 계산 요구 사항을 초과한다. 이것은 Abaqus/Explicit의 해석도 마찬가지이다. 문제의 크기가 증가하면 방정식 계산 요구 사항이 급속히 증가하므로 주어진 컴퓨터에서 계산할 수 있는 내연적 해석의 최대 크기는 현실적으로 필요한 계산 시간이 아니라 컴퓨터에서 사용할 수 있는 디스크 공간과 메모리 용량에 따라 다르다.

 

3) 외연적 시간 적분법의 장점

외연법은 고정밀 해를 얻기 위해 다수의 작은 증분이 필요한 고속 동적 현상을 해결하는 데 특히 적합하다. 현상의 지속 시간이 짧으면 해를 효율적으로 얻을 수 있다.

 

접촉 조건과 같은 불연속성이 강한 현상은 외연적 방법으로 쉽게 공식화되며, 반복을 사용하지 않는 절점 기반 방법으로 제공할 수 있다. 접촉 중에 외력과 내력이 균형을 이루도록 절점 가속도가 조정된다.

외연법으로 가장 눈에 띄는 특징은 내연법에 필요한 전체 접선 강성 행렬이 존재하지 않는다는 것이다. 모델의 상태는 외연적으로 진행되므로 반복과 허용치가 필요 없다.