[물리학] 1차원 운동의 그래픽 분석

그래프는 그림과 마찬가지로 천 마디 말보다 중요하다. 그래프에는 수치 정보뿐만 아니라 물리량 사이의 관계도 담겨 있다. 여기에서는 1차원 운동학을 설명하기 위해 위치, 속도, 가속도 및 시간 대비 그래프를 사용한다.

 

기울기와 일반 관계

먼저 이 텍스트의 그래프에는 가로축과 세로축이 수직축으로 되어 있다. 이러한 그래프에서 두 개의 물리량을 서로 비교하여 그릴 때 일반적으로 가로축은 독립 변수로, 세로축은 종속 변수로 간주한다. 그림과 같이 가로축을 $x$축, 세로축을 $y$축이라고 하면 직선 그래프는 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.

$$ y = mx + b $$

여기서 $m$은 기울기로, 증가량(rise)을 진행량(run)(그림에서 볼 수 있듯이)으로 나눈 값으로 정의한다. 문자 $b$는 선이 수직축과 교차하는 지점인 $y$값을 사용한다.

위치 대 시간 그래프($a = 0$, 따라서 $v$는 상수)

시간은 일반적으로 위치 등 다른 수치가 의존하는 독립 변수이다. 따라서 위치 대 시간의 그래프는 세로축과 가로축이 있다. 다음 그림은 바로 이러한 직선 그래프이다. 다음 그림은 자동차의 위치 대 시간 그래프이다.

 

종속 변수와 독립 변수 사이의 관계를 사용하여 그래프의 기울기는 평균 속도 $ \bar v$이고, 절편은 시간 0의 위치, 즉 $x_0$임을 알 수 있다. 이 기호를 $ y = mx + b $로 대입하면 다음과 같다.

$$ x = \bar{v}t + x_0 $$ 또는 $$ x = x_0 + \bar{v}t$$가 된다.

따라서 위치 대 시간 그래프는 변위(위치 변화), 속도, 시간  사이의 일반적인 관계를 보여줄 뿐만 아니라 특정 상황에 대한 자세한 수치 정보도 제공한다.
 
위치 $x$와 시간 $t$의 기울기는 속도 $v$이다.

$$ slope = {{\Delta x} \over {\Delta x}} = v $$

이 방정식은 다른 운동 방정식에서 대수적으로 도출된 방정식과 같다.
 
그림에서 자동차가 0.50초에는 525m, 6.40초에는 2000m의 위치에 있음을 알 수 있다. 다른 시간대의 위치는 그래프에서 읽을 수 있으며, 속도와 가속도에 대한 정보도 그래프에서 얻을 수 있다.

 

가속도가 일정하지만 $ a \ne 0$일 때, 운동의 그래프

아래 그림의 그래프는 자동차가 최고 속도를 향해 가속할 때의 움직임을 나타내지만 가속도가 일정한 시간 동안만 나타난다. 이 운동에서 시간은 0에서 시작하며(마치 스톱워치로 측정하는 것처럼), 위치와 속도는 처음에 각각 200m와 15m/s이다.

가속도가 일정한 시간 동안 자동차의 운동 그래프이다. (a) $x$ 대 $t$ 그래프의 기울기는 속도이다. 이것은 두 지점에 표시되어 있으며, 얻어진 순간 속도는 다음 그래프에 그려져 있다. 어떤 지점의 순간 속도는 그 지점에서의 접선의 기울기이다. (b) 운동의 이 부분에서 $v$ 대 $t$ 그래프의 기울기는 일정하며, 이는 일정한 가속도를 나타낸다. (c) 가속도는 시간 간격 동안 $5.0 m/s^2 $의 일정한 값을 가진다.

 

그림 (a)의 위치 대 시간 그래프는 직선이 아닌 곡선이다. 곡선의 기울기는 시간이 지남에 따라 가파르게 나타나며, 시간이 지남에 따라 속도가 증가하고 있음을 보여준다. 위치 대 시간 그래프에서 어떤 지점의 기울기는 해당 지점의 순간 속도이다. 관심 지점에서 곡선에 접하는 직선을 그리고 이 직선의 기울기를 구하면 구할 수 있다. 그림 (a)에는 두 지점에 대한 접선이 표시되어 있다. 곡선의 모든 지점에서 이 작업을 수행하고 그 값을 시간에 대해 그리면 그림 (b)에 표시된 속도 대 시간 그래프가 얻어진다. 또한 속도 대 시간 그래프의 기울기는 가속도이며, 이는 그림 (c)에 나와 있다.

 

여기서 한 걸음 더 나아가 속도 대 시간 그래프의 기울기는 가속도라는 것을 알 수 있다. 기울기는 증가량을 진행량으로 나눈 값이며, $v$ 대 $t$ 그래프에서 증가량 = 속도의 변화 $ \Delta v$, 진행량 = 시간의 변화 $ \Delta t $이다.

 

속도 $v$와 시간 $t$의 기울기는 가속도 $a$이다.

$$ slope = {{\Delta v} \over {\Delta x}} = a $$

그림 (b)의 속도 대 시간 그래프는 직선이므로 기울기가 모든 곳에서 동일하므로 가속도가 일정하다는 것을 의미한다. 가속도 대 시간은 그림 (c)에 그래프로 표시되어 있다.

 

추가적인 일반 정보는 직선의 표현식인 y=mx+b에서 얻을 수 있다.

 

이 경우 수직축 $y$는 $V$, 절편 $b$는 $v_0$, 기울기 $m$은 $a$, 수평축 $x$는 $t$이다. 이 기호를 대입하면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$ v = v_0 + at $$

속도, 가속도, 시간에 대한 일반적인 관계를 그래프에서 다시 얻었다. 이 방정식도 1차원에서 일정한 가속도를 위한 운동 방정식의 다른 운동 방정식으로부터 대수적으로 도출된 것임을 알 수 있다.

 

대수적 기법과 그래픽 분석에서 동일한 방정식이 얻어지는 것은 우연이 아니다. 실제로 물리적 관계를 발견하는 중요한 방법은 다양한 물리량을 측정한 다음 한 양을 다른 양과 비교하여 그래프를 만들어 어떤 식으로든 상관관계가 있는지 확인하는 것이다. 상관관계는 물리적 관계를 의미하며 위와 같은 부드러운 그래프로 나타낼 수 있다. 이러한 그래프에서 수학적 관계를 가정할 수 있다. 그런 다음 가설된 관계의 타당성을 확인하기 위해 추가 실험을 수행한다.

 

가속도가 일정하지 않은 운동 그래프

이제 그림에 그래프로 표시된 것처럼 자동차가 165m/s에서 최고 속도인 250m/s로 이동하는 동작을 생각해 보자. 시간은 다시 0에서 시작하고 초기 속도는 165m/s이다. (그림에 그래프로 표시된 운동에서 자동차의 최종 속도는 이 속도이다.) 가속도는 자동차가 250m/s에 도달하면 0에서 점차 감소한다. 가속도는 55초까지 증가하다가 55초에서 0으로 감소하고 그 이후에는 0으로 유지되므로 속도는 일정해진다.

 

그림은 자동차가 최고 속도에 도달할 때의 운동 그래프이다. 그림의 운동이 끝나는 지점에서 이 운동이 시작된다. (a) 속도는 점차 최고 값에 가까워진다. 이 그래프의 기울기는 가속도이다. 이 그래프는 최종 그래프에 그려져 있다. (b) 속력이 일정해지면 가속도는 점차 0으로 감소한다. 그래프 각각에서 가속도가 0으로 떨어지고 속도가 평준화되는 것을 확인할 수 있다. 그 결과 거의 선형에 가까운 위치-시간 그래프가 생성된다. 위치 시간 그래프를 자세히 보면 속도 그래프에서 볼 수 있듯이 약간의 곡률이 나타난다.

 

위치 대 시간 그래프를 사용하여 속도 대 시간 그래프를 생성할 수 있고, 속도 대 시간 그래프를 사용하여 가속도 대 시간 그래프를 생성할 수 있다. 이를 위해 모든 지점에서 그래프의 기울기를 구한다. 그래프가 선형(즉, 기울기가 일정한 선)인 경우 어느 지점에서나 기울기를 쉽게 찾을 수 있으며 모든 지점에 대한 기울기를 알 수 있다. 운동에 대한 그래픽 분석은 운동학의 특정 특성과 일반적인 특성을 모두 설명하는 데 사용할 수 있다. 그래프는 물리학의 다른 주제에도 사용할 수 있다. 물리적 관계를 탐색하는 데 있어 중요한 측면은 그래프를 그려서 근본적인 관계를 찾는 것이다.

 

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